Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Regla del producte triple - Viquip??dia

Regla del producte triple

De Viquip??dia

La regla del producte triple, coneguda tamb?? com la regla de la cadena c??clica]], relaci?? c??clica, o la regla de la cadena de Euler, ??s una f??rmula que relaciona les derivades parcials de tres variables independents. La regla t?? aplicacions a termodin??mica, on sovint les tres variables es poden relacionar amb una funci?? de la forma f(x, y, z) = 0, aix?? cada variable ve donada per una funci?? implicita de les altres dues. Per exemple la equaci?? d???estat de un fluid relaciona la temperatura, la pressi?? i la densitat. La regla del producte triple per a variables x, y, and z interrelacionades entre elles d???aquesta forma, s???obt?? emprant la relaci?? entre la funci?? inversa i la derivada amb la el resultat del teorema de la funci?? impl??cita per a dues variables i diu:

\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1.
Nota: La tercera variable ??s considerada una funci?? impl??cita de les altres dues.

Aqu?? els sub??ndex indiquen quines variables es mantenen constants al calcular les derivades parcials. Es a dir, per a obtenir expl??citament la derivada parcial de x respecte de y amb z constant, s???ha d???escriure x com a funci?? de y i z i calcular la derivada parcial d???aquesta funci?? ??nicament respecte de y.

L???avantatge de la regla del producte triple ??s que reordenant els termes, es pot obtenir un nombre d???identitats que permeten que derivades parcials que s??n dif??cils d???avaluar anal??ticament, de mesurar experimentalment, o d???integrar; es puguin substituir per quocients de derivades parcials amb les quals ??s mes f??cil treballar-hi. Per exemple,

\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z = - \frac{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x}{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y}

A la literatura es presenten diverses formes m??s que es poden obtenir a base de permutar les variables {x, y, z}.

[edita] Demostraci??

Tot seguit es dona una demostraci?? informal. Suposeu que f(x, y, z) = 0. S???escriu z com a funci?? de x i de y. Aix?? la derivada total dz ??s

dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x dy

Suposeu que es mou al llarg de la corba amb dz = 0, on la corba est?? parametritzada per x. Per tant y es pot escriure en termes de x, aix?? en aquesta corba

dy = \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z dx

Per tant la equaci?? per a dz = 0 esdev??

0 = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z dx

Dividint entre dx i reordenant els termes dona

\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z

Dividint per les derivades del cant?? dret s???obt?? la regla del producte triple

\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1

Fixeu-vos que aquesta demostraci?? fa moltes suposicions impl??cites referents a l???exist??ncia de derivades parcials, l???exist??ncia de la derivada total dz, la possibilitat de construir una corba en algun entorn amb dz = 0, i que les derivades i les seves inverses tinguin valors diferents de zero. Una demostraci?? formal ha d???eliminar aquestes ambig??itats potencials i zones grises.

[edita] Vegeu tamb??

  • Diferencial exacte
  • Derivada total

[edita] Refer??ncies

  • Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.