Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Recta - Viquip??dia

Recta

De Viquip??dia

Una recta, o l??nia recta, ??s un objecte geom??tric format per un conjunt d'infinits punts infinitament llarg, i infinitament prim que no t?? curvatura. Tamb?? es diu que els punts d'una recta estan alineats.

Taula de continguts

[edita] Posicions relatives de les rectes

  • Dues rectes s??n coplan??ries si poden estar contingudes en un mateix pla. En cas contrari es diu que les rectes es creuen.
  • Dues rectes s??n paral??leles si s??n coplan??ries i no tenen cap punt en com??.
  • Dues rectes s'intersequen o es tallen si tenen un sol punt en com??. En aquest cas, tamb?? s??n coplan??ries (vegeu la demostraci?? m??s endavant).

[edita] Les rectes en geometria

En geometria, la recta ??s un conjunt d'infinits punts, subconjunt parcial dels infinits punts que formen un pla i que compleix unes determinades propietats. ??s un ens fonamental (juntament amb el punt i el pla) que no admet una definici?? m??s concreta. Simplement, s'enuncien les propietats i se n'accepta l'exist??ncia de forma axiom??tica (vegeu axiomes de la geometria). Aquestes propietats (no demostrables) s??n les seg??ents:

1. Per dos punts diferents hi passa una recta i nom??s una.

2. Si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta tamb?? estan continguts en aquest pla.

3. La recta ??s un conjunt de punts linealment ordenat, obert i dens, on:

  • Linealment ordenat significa que, donada una terna de punts, A, B i C, si A precedeix B i B precedeix a C, llavors A precedeix a C.
  • Obert significa que no existeix ni un primer ni un ??ltim punt.
  • Dens significa que entre dos punts d'una recta sempre n'hi ha infinits m??s, de manera que no existeixen punts consecutius.

4. Tota recta continguda en un pla estableix una divisi?? dels punts del pla no continguts en la recta en dues ??niques regions tals que tot punt del pla exterior a la recta pertany a una o altra regi??, i de manera que, escollits dos punts que pertanyin a diferents regions, la recta que els cont?? t?? un punt situat entre ells que pertany a la recta original i viceversa.

5. Per un punt exterior a una recta, hi passa una (i nom??s una) recta tal que les dues estan contingudes en un mateix pla i no tenen entre elles cap punt en com?? (paral??lela).

6. Donada una classificaci?? dels punts d'una recta en dues regions que compleix:

  • Existeixen punts de la recta d'una i altra regi??.
  • Tot punt de la recta pertany a una o altra regi??.
  • Tot punt d'una regi?? precedeix a tot punt de l'altra regi??.
llavors existeix un sol punt de la recta tal que tots els punts que el precedeixen pertanyen a la primera regi?? i tots els punts que el segueixen pertanyen a la segona regi??.

Temes relacionats amb els punts 4 i 6: semipl??, semirecta.


[edita] Altres propietats de les rectes

  • Una recta i un punt no contingut en ella determinen un pla que passa per ells.
Demostraci??: per definici?? de recta, aquesta est?? formada per infinits punts, dels quals se'n consideren dos. Aix??, es t?? un conjunt de 3 punts no alineats. Una de les propietats axiom??tiques del pla ??s que per tres punts no alineats hi passa un pla i nom??s un. Aquest pla que passa pels tres punts passa pel punt no contingut en la recta i tamb?? per la recta, ja que una de les propietats axiom??tiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta tamb?? estan continguts en aquest pla, QED.
  • Dues rectes que es tallen determinen un pla que passa per elles (i per tant, s??n coplan??ries).
Demostraci??: per definici?? de recta, aquesta est?? formada per infinits punts, dels quals se'n considera un d'una de les rectes que interseca. Aplicant la propitat anterior, se segueix que existeix un pla que passa per aquest punt i que cont?? tota l'altra recta, en particular el punt com?? entre les dues rectes. Aquest pla, tamb?? cont?? la primera recta, ja que una de les propietats axiom??tiques de la recta (la segona) diu que si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta tamb?? estan continguts en aquest pla, QED.
  • Si una recta (a) talla a una altra recta b, llavors a tamb?? talla totes les paral??leles a b contingudes en el pla que determinen a i b.
Demostraci??, per reducci?? a l'absurd: se suposa a que no talla a una paral??lela de b (c), continguda en el mateix pla que defineixen a i b, que intersequen al punt I. Llavors, pel punt I, exterior a c existirien dues rectes paral??leles a c, cosa que entra en contradicci?? amb una propietat axiom??tica de la recta (la cinquena).
  • Si dues rectes (a i b) s??n paral??leles a una tercera (c), llavors s??n paral??leles entre s?? (propietat transitiva).
Demostraci?? (encara no disponible a Viquip??dia).

[edita] Les rectes en matem??tiques

En un espai vectorial (per exemple R2 o R2) es defineix la recta r com:

r = \{\vec{a}+t\vec{b}\mid t\in\mathbb{R}\}

on \vec{a} i \vec{b} s??n vectors (per exemple de R2 o R3) fixos i \vec{b} ??s no nul. t ??s un par??metre real lliure que ??s el par??metre arc quan \vec{b} ??s unitari. El vector b descriu la direcci?? de la recta i \vec{a} ??s un punt de la recta. Aquesta equaci?? ??s l'anomenada equaci?? vectorial d'una recta.

De forma m??s abstracte, hom sovint assumeix que els punts d'una recta es corresponen un a un amb els nombres reals.

[edita] La recta en R2

[edita] Equacions de la recta en R2

  • Equaci?? vectorial: r:(x,y)=(x_0,y_0)+{\lambda} \cdot (v_1,v_2) on:
    • \vec{a}=(x_0,y_0) ??s un punt per on passa la recta.
    • ?? ??s un par??metre tal que {\lambda} \in \mathbb{R}
    • \vec{b}=(v_1,v_2) ??s un vector que d??na la direcci?? de la recta i s'anomena vector director de la recta.
  • Equacions param??triques: r:\{\begin{matrix} x=x_0+{\lambda}\cdot v_1 \\ y=y_0+{\lambda}\cdot v_2 \end{matrix}.
S'obtenen directament de desglossar l'equaci?? vectorial.
  • Equaci?? cont??nua: r:\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}
S'obt?? de plantejar la igualaci?? del par??metre ?? de les dues equacions param??triques. Les rectes paral??leles a algun dels eixos coordenats, no es poden expressar amb aquesta forma, ja que tindrien algun denominador nul.
  • Equaci?? general o impl??cita: r: A \cdot x+B \cdot y + C = 0
amb A, B i C, coeficients reals fixos tals que A i B s??n no nuls.
Aquesta equaci?? s'obt?? de l'equaci?? cont??nua considerant:
A = v2
B = - v1
C=v_1 \cdot y_0 - v_2 \cdot x_0.
  • Equaci?? expl??cita r: y=m \cdot x + n
S'obt?? a??llant y en l'equaci?? anterior i considerant:
m=-\frac{A}{B}
n=- \frac{C}{B}, on
  • m s'anomena pendent de la recta i el seu valor ??s el de la tangent de l'angle (??) que forma la recta amb l'eix x.
  • n ??s l'ordenada del punt d'intersecci?? entre la recta i l'eix y.
  • Equaci?? can??nica r: \frac{x}{p}+\frac{y}{n}=1
Obtinguda dividint l'equaci?? impl??cita per C i anomenant
p=- \frac{C}{A}
n=- \frac{C}{B}.
Els par??metres resulten ser tals que la recta interseca amb els eixos de coordenades en els punts (p,0) i (0,n).
  • Equaci?? punt-pendent r: y-y_0=m \cdot (x-x_0)
S'obt?? a??llant y ??? y0 de l'equaci?? cont??nua i considerant:
m= \frac{v_2}{v_1}, que torna a ser el pendent de la recta ja que A = v2, B = - v1 i s'havia definit m com m=-\frac{A}{B}


Imatge:La recta en coordenadas cartesianas.png

[edita] Rectes notables R2

  • L'equaci?? d'una recta vertical, com la v, respon a l'equaci??
x = xv (constant).
  • L'equaci?? d'una recta horitzontal, como la h, respon a l'equaci??
y = yh (constant).
  • Una recta qualsevol que passi per l'or??gen O (0,0), com la s, complir?? la condici?? n = 0, i la seva equaci?? expl??cita ser?? de la forma r: y=m \cdot x .

[edita] Paral??lelisme i perpendicularitat

Dues rectes qualssevol (una representada amb primes (') sobre els seus par??metres i l'altre no)

  • Seran paral??leles si i nom??s si (els seg??ents tres punts s??n equivalents):
    • els seus vectors directors s??n paral??lels, cosa que passa quan \frac{v_1}{v'_1} = \frac{v_2}{v'_2}
    • \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'}
    • m = m'
  • Seran perpendiculars (o ortogonals) si i nom??s si (els seg??ents punts tamb?? s??n equivalents)
    • els seus vectors directors s??n ortogonals, cosa que passa quan el seu producte escalar ??s nul: v_1 \cdot v'_1 + v_2 \cdot v'_2 = 0
    • A \cdot A' + B \cdot B' = 0
    • m \cdot m' = -1

[edita] Angles i dist??ncies

Angle entre dues rectes: Dues rectes que es tallen defineixen quatre angles iguals dos a dos. L'angle (??) que formen les rectes es defineix tal que est?? entre 0 i 90??. Coneguts els vectors directors amb l'expressi?? que defineix el que formen els seus vectors directors \vec {v} i \vec {w} , es pot calcular l'angle que formen amb l'expressi??:

cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{w}|}{|\vec{v}| |\vec{w}|}

Dist??ncia entre un punt i una recta: La dist??ncia entre una recta (r: A \cdot x+B \cdot y + C = 0 ) i un punt P(p1,p2) exterior a r ??s la menor de les dist??ncies entre el punt P i qualsevol dels punts de la recta r. Aquesta dist??ncia es minimitza amb la projecci?? ortogonal de P sobre r, i l'expressi?? que d??na la dist??ncia entre P i r' ??s:

d(P,r) = \frac{|A \cdot p_1 + B \cdot p_2 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Dist??ncia entre dues rectes: la dist??ncia entre dues rectes ??s la menor dist??ncia entre punts d'una i altra recta. Si les rectes tenen algun punt en com??, la dist??ncia ??s 0; si s??n paral??leles, la dist??ncia entre elles ve donada per la dist??ncia entre un punt d'una recta i l'altre, ja que aquest valor ??s independent del punt triat.