Producte vectorial

De Viquip??dia

En matem??tiques, el producte vectorial o producte extern ??s una operaci?? entre dos vectors d'un espai euclidi?? tridimensional orientat que retorna un altre vector ortogonal als dos vectors originals.

??s diferent doncs, del producte escalar o producte intern que retorna un escalar.

[edita] Definici?? de producte vectorial

Il??lustraci?? del producte vectorial i de la seva anticonmutativitat en un sistema de coordenades de m?? dreta.

El producte vectorial de dos vectors a i b s'expressa $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ o alternativament $\mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ i el resultat en forma vectorial ??s:

$\mathbf{c} = \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\a_z b_x - a_x b_z\\a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix}$

Tamb?? es pot determinar el producte vectorial entre a i b com:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\vec{n}}$

on $??$ ??s l'angle entre a i b (entre 0 i ?? radians), a i b s??n els m??duls dels vectors a i b, i $\mathbf{\vec{n}}$ ??s el vector unitari ortogonal al pla que cont?? a i b. Si els vectors a i b s??n colinears (??s a dir, l'angle $??$ entre ells ??s 0 o ?? radians), el producte vectorial entre ells ??s el vector zero 0.

Com trobar la direcci?? del producte escalar amb la regla de la m?? dreta.

En un sistema de coordenades de m?? dreta el sentit del vector $\mathbf{\vec{n}}$ ve donat per la regla de la m?? dreta, on si l'index est??s de la m?? dreta ??s la direcci?? de a i si el dit mitj?? plegat en perpendicular ??s en la direcci?? de b aleshores el vector $\mathbf{\vec{n}}$ t?? la direcci?? del polze (vegeu la figura a la dreta).

Un sistema de coordenades ortonormal de m?? dreta ??s tal que els vectors unitaris i, j, i k corresponents a les direccions x, y, i z satisfan les seg??ents equacions:

i ?? j = k j ?? k = i k ?? i = j

En f??sica i enginyeria ??s pr??ctica habitual i per tant hom pressuposa l'??s de sistemes de coordenades de m?? dreta.

Tamb?? es pot trobar el producte vectorial com el determinant de la seg??ent matriu:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

on i, j, i k s??n els vectors unitaris del sistema de coordenades.

[edita] Interpretaci?? geom??trica

L'??rea del paral.lelogram del producte vectorial.

El m??dul del producte vectorial es pot interpretar com l'??rea del paral??lelogram que t?? costats a i b.

$| \mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | \mathbf{a} | | \mathbf{b}| \sin \theta. \,\!$

La direcci?? del producte vectorial ??s perpendicular als dos vectors a i b i el sentit ve donat per la regla de la m?? dreta.

[edita] Propietats del producte vectorial

El producte vectorial ??s anticommutatiu:

a ?? b = -b ?? a

??s distributiu en respecte de la suma:

a ?? (b + c) = (a ?? b) + (a ?? c)

No ??s associatiu, per?? satisf?? l' identitat de Jacobi:

a ?? (b ?? c) + b ?? (c ?? a) + c ?? (a ?? b) = 0

??s compatible amb la multiplicaci?? escalar:

(r a) ?? b = a ?? (r b) = r (a ?? b)

Satisf?? l'identitat de Lagrange

a ?? (b ?? c) = b(a ?? c)??? c(a ?? b)

Un cas particular de la qual ??s:

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f} \end{matrix}$

Un altre identitat de Lagrange ??s:

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$

Altres propietats del producte vectorial

a ??? (b ?? c) = det (a, b, c)

(a ?? b) ?? (c ?? d) = det (a, b, d) c + det (a, b ,c) d

Derivaci?? temporal d'un producte vectorial

$\frac {d} {dt} [a(t) \times b(t)] = a(t) \times \frac {d b(t)} {dt} + \frac {d a(t)} {dt} \times b(t)$

Dos vectors no nuls a i b s??n paral??lels si i nom??s si a ?? b = 0.

[edita] Aplicacions

El producte vectorial s'empra en la f??rmula de l'operador vectorial rotacional.

Tamb?? s'usa per descriure la For??a de Lorentz experimentada per una c??rrega el??ctrica en moviment en un camp magn??tic. Les definicions de parell i moment angular inclouen el producte vectorial.

El producte vectorial s'empra tamb?? per calcular la normal a un triangle o pol??gon, una operaci?? freq??ent en gr??fics d'ordinador.