Producte escalar

De Viquip??dia

En matem??tiques el producte escalar ??s una operaci?? entre dos vectors de nombres reals en $R n$ que retorna un escalar definit en R (conjunt dels nombres reals).

Taula de continguts

1 Definici?? del producte escalar
2 Interpretaci?? geom??trica
3 Propietats del producte escalar
4 Enlla??os externs
5 Vegeu tamb??

[edita] Definici?? del producte escalar

?? ??s l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors $\vec{A}$ i $\vec{B}$ pertanyents a $R n$ ??s un escalar en R definit com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

On ?? ??s l'angle entre els dos vectors i $|\vec{A}|$ i $|\vec{B}|$ s??n els m??duls dels vectors.

La notaci?? habitual es el punt $\cdot$ per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal aix?? ??s, ortogonal i unit??ria (??s a dir, base amb vectors de m??dul = 1 i que s??n perpendiculars entres si), el producte escalar tamb?? pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1,b_2,b_3]=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Per exemple, el producte escalar de dos vectors en $R 3$ [1, 4, -3] i [2, ???1, -2] ??s:

$\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix} = (1)(2) + (4)(-1) + (-3)(-2) = 4.$

Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n??1, el producte escalar es pot escriure com:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \mathbf{B} \,$

on A^T denota la transposta de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, aix?? resultaria en una matriu 1??3 (vector fila) multiplicat per un vector 3??1 (que com a multiplicaci?? de matrius resultaria en una matriu 1??1, ??s a dir un escalar):

$\begin{bmatrix} 1&4&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\-1\\-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}.$

[edita] Interpretaci?? geom??trica

||???cos(??) ??s la projecci?? escalar de sobre

| $\vec{A}$ |???cos(??) ??s la projecci?? escalar de $\vec{A}$ sobre $\vec{B}$

A l'espai euclidi?? hi ha una forta relaci?? entre el producte escalar les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equaci?? abans esmentada:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

S'en deriva que l'angle entre els dos vectors ??s:

$\theta = \arccos \left( \frac {\vec{A} \cdot \vec{B}} {|\vec{A}| * |\vec{B}|}\right)$

Com cos 90?? = 0, si els vectors s??n ortogonals, el seu producte escalar ??s nul.

El m??dul d'un vector es pot trobar com:

$|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A} }$

El m??dul correspon a la longitud del vector.

Com $|\vec{A}| cos \theta$ ??s la projecci?? escalar del vector $\vec{A}$ sobre el vector $\vec{B}$ , el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecci?? per la longitud de $\vec{B}$ .

[edita] Propietats del producte escalar

Conmutativa:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Distributiva:

$\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Asociativa:

La propietat associativa no t?? sentit pel producte escalar perqu?? l'operaci?? $(\vec{A} \cdot \vec{B})\cdot \vec{C}$ ??s indefinida doncs $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ ??s un escalar.