Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Potencial vectorial - Viquip??dia

Potencial vectorial

De Viquip??dia

En c??lcul vectorial, un potencial vectorial ??s un camp vectorial el rotacional del qual ??s un camp vectorial donat. ??s un concepte an??leg al de potencial escalar, que ??s un camp escalar el gradient del qual ??s un camp vectorial donat.

Formalment, donat un camp vectorial v, es defineix un potencial vectorial A de manera que

\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.

Si un camp vectorial v admet un potencial vectorial A llavors, a partir de la igualtat

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(la diverg??ncia del rotacional ??s igual a zero) hom obt??

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

que implica que v ha de ser un camp vectorial amb diverg??ncia igual a zero (anomenat camp vectorial solenoidal). Una q??esti?? interessant ??s saber si qualsevol camp vectorial solenoidal admet un potencial vectorial. La resposta ??s afirmativa si el potencial vectorial compleix determinades condicions.

El potencial vectorial per a un camp qualsevol no ??s ??nic. Si A ??s un potencial vectorial per a v, tamb?? ho ??s

\mathbf{A} + \nabla m

on m ??s qualsevol funci?? escalar cont??nua i diferenciable. Aix?? ??s conseq????ncia del fet que el rotacional del gradient ??s igual a zero.


[edita] Obtenci?? d'un potencial vectorial donat v

Fins ara hem donat una definici?? de potencial vectorial, per?? donat un determinat camp vectorial v amb diverg??ncia zero, com podem obtenir el seu potencial vector? El seg??ent teorema ens proporciona un m??tode.

Sigui

\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3

un camp vectorial solenoidal continu i diferenciable dues vegades i suposem que v(x) disminueix prou r??pidament a mesura que |x|??????. Llavors,

\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{|\mathbf{x} -\mathbf{y} |} \, d\mathbf{y}.

??s un potencial vectorial per a v, ??s a dir,

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

Una generalitzaci?? d'aquest teorema ??s la descomposici?? de Helmholtz que afirma que qualsevol camp vectorial es pot descomposar com a suma d'un camp vectorial solenoidal i un camp vectorial irrotacional.