Nombre real

De Viquip??dia

Sistema de nombres en matem??tiques

Conjunts de nombres

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

Naturals ???
Negatius
Enters ???
Racionals ???
Irracionals
Reals ???
Complexos ???

Nombres destacables

?? ??? 3,14159265...
e ??? 2,7182818284...
?? ??? 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seq????ncia d'enters
Constants matem??tiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeraci??

??rab, Armeni, ??tica (grega), Babil??nica, Xinesa, Cir??l??lica, Eg??pcia, Etrusca, Grega, Hebrea, ??ndia, J??nica (grega), Japonesa, J??mer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

Els nombres reals es defineixen de manera intu??tiva com el conjunt de nombres que es troben en relaci?? bijectiva amb els punts d'una recta infinita: la recta num??rica. El conjunt dels nombres reals s'expressa per la lletra ??? ( $\mathbb{R}$ ). El nom de "nombre real" es propos?? com a ant??nim de "nombre imaginari".

La recta num??rica.

El concepte de nombre real es va originar quan es va constatar l'exist??ncia dels nombres irracionals. Aix??, el conjunt dels nombres reals s'origina com la uni?? del conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels irracionals. Igualment inclou tamb?? els nombres naturals i els nombres enters. Per tant, els nombres reals poden ser racionals o irracionals, algebraics o relevants; i positius, negatius, o nuls.

[edita] Notaci??

Els nombres reals mesuren quantitats cont??nues que s'expressen amb fraccions decimals que tenen una successi?? infinita de d??gits a la dreta de la coma decimal, com per exemple 324,8232. Sovint tamb?? es subrepresenten amb res punts consecutius al final (324,823211247???), la qual cosa significaria que encara falten m??s d??gits decimals, per?? que es consideren sense import??ncia.

Les mesures a les ci??ncies f??siques s'expressen gaireb?? sempre com a nombres reals. Els nombres reals s'estudien a l'an??lisi real.

La mesura a les ci??ncies f??siques s??n sempre una aproximaci?? a un nombre real. No tan sols ??s m??s conc??s escriue'ls amb forma de fracci?? decimal (??s a dir, nombres racionals que poden ser escrits com a ratios, amb un denominador expl??cit) sin?? que, en qualsevol cas, abasta ??ntegrament el concepte i significat del nombre real. En l'an??lisi matem??tica els nombres reals s??n objecte principal d'estudi.

Es diu que un nombre real ??s recursiu si els seus d??gits es poden especificar per un algoritme recursiu. Un nombre no-recursiu ??s aquell que ??s impossible especificar expl??citament. Tot i aix??, l'escola russa de constructivisme suposa que tots els nombres reals s??n recursius.

Els ordinadors nom??s poden aproximar els nombres reals per nombres racionals; de tota manera, alguns programes d'ordinador poden tractar un nombre real de manera exacta usant la seva definici?? algebraica (per exemple, " $\sqrt{2}$ ") en voltes de la respectiva aproximaci?? decimal.

Els matem??tics fan servir el s??mbol R (altrament, $\Bbb{R}$ ), la lletra "R" amb forma grotesca) per a representar el conjunt de tots els nombres reals. La notaci?? matem??tica Rⁿ es refereix a un espai dimensional n dels nombres reals; per exemple, un valor de R³ consisteix de tres nombres reals i determina un lloc en un espai de tres dimensions.

En matem??tiques, la paraula "real" es fa servir com a adjectiu, amb el significat de que el cos subjacent ??s el cos dels nombres reals. Per exemple, matriu real, polinomi real, i ??lgebra de Lie real.

[edita] Hist??ria

Els egipcis utilitzaren per primera vegada les fraccions vulgars prop de l'any 1000 aC; prop del 500 aC el grup de matem??tics grecs encap??alats per Pit??gores se'n adonaren de la necessitat dels nombres irracionals. Els nombres negatius van ser inventats per matem??tics indis prop del 600, i possiblement reinventats a la Xina poc despr??s, i no es van fer servir a Europa fins al segle XVII, si b?? a finals del XVIII Leonard Euler descart?? soluciones negatives per a les equacions perqu?? ho considerava irreal. En Eixe segle, al c??lcul s'utilitzava un conjunt de nombres reals sense una definici?? concisa, cosa que finalment esdevingu?? amb la definici?? rigorosa feta per Georg Cantor en 1871.

[edita] Definici??

[edita] Amb els nombres racionals

El conjunt dels nombres reals pot ser definit com un complement del conjunt dels nombres racionals, entre d'altres formes de construir nombres reals.

[edita] Aproximaci?? axiom??tica

Fet un conjunt de tots els nombres reals expressat per $\Bbb{R}$ , aleshores:

El conjunt $\Bbb{R}$ ??s un cos, amb la qual cosa es defineixen la suma i la multiplicaci??, i tenen unes propietats comunes que s??n l'associativa, la commutativa, la distributiva, aix?? com l'exist??ncia de l'element neutre, l'element nul, els oposats, i els inversos.
El cos de $\Bbb{R}$ ??s ordenat, ??s a dir, existeix una ordenaci?? completa ??? tal que, per a tots els nombres reals x, y, i z:
- si x ??? y aleshores (x+z) ??? (y+z);
- si x ??? 0 i y??? 0 aleshores xy ??? 0.
L'ordenaci?? completa dels Talls de Dedekind, per exemple, cada conjunt no buit de S o R amb una cota superior en R t?? una cota superior menor (tamb?? anomenat "suprema") en R.

La darrera propietat ??s en qu?? difereixen els nombres reals dels nombres racionals. Per exemple, un conjunt de nombres racionals amb un quadrat inferior a 2 t?? una cota superior (per exemple, 1,5) per?? no t?? cap suprema, perqu?? l'arrel quadrada de 2 no ??s racional.

Els nombres reals s'especifiquen inequ??vocament per les propietats de dalt. M??s concretament, fet dos cossos amb l'ordenaci?? completa de Dedekind R₁ i R₂, hi existeix un ??nic isomorfisme de cossos des de R₁ a R₂, per la qual cosa es considerarien essencialment un mateix objecte matem??tic.

[edita] Conjunt est??s de nombres reals

Es defineix el conjunt est??s de nombres reals i s'indica $\tilde{\R}$ el conjunt $\R$ com la suma de dos punts $- \infty + \infty$ .

$\tilde{\R} = \R \cup \{- \infty, + \infty\}$ .

L'ordenaci?? s'est??n a aquest nou punt posant-hi: $- \infty \,<\, x , x \,<\, + \infty$ per a cada $x \in \R$ .

La import??ncia d'aquest conjunt deriva del fet que nom??s en $\tilde{\R}$ est??s pot donar-se una definici?? inequ??voca del concepte de l??mit, mitjan??ant l'extensi?? de la definici?? d'entorn d'un punt, en qu?? es fa una refer??ncia cap als "punts" $- \infty , + \infty$ .

[edita] Propietats

[edita] Completesa

La ra?? principal que ha comportat la introducci?? dels nombres reals ??s que hi contenen tots els l??mits. Concretament, el conjunt dels nombres reals ??s complet, en el sentit de l'espai m??tric o de l'espai uniforme: aix?? significa que tota successi?? de Cauchy ??s convergent.

Es recorda que una successi?? (x_n) de nombres reals es diu Successi?? de Cauchy si per a qualsevol ?? > 0 hi existeix un nombre natural N (generalment depenent de ??) tal que la dist??ncia |x_n ??? x_m| ??s menor que ?? per a tota parella (n, m) de naturals superiors o iguals a N.

[edita] Error absolut i error relatiu

Abans de tot, hem de saber que hi ha dues maneres de representar els nombres racionals:

Amb fraccions (no hi pot haver error).
Amb decimals, i com que moltes vegades els decimal s??n infinits, amb l'error relatiu i l'absolut podem calcular el marge d'error d'aquest nombre.

Error absolut.

L'error absolut d'una aproximaci?? ens indica en quina quantitat ens hem equivocat respecte al nombre que necessit??vem. Es calcula de la seg??ent manera:

Error absolut= |valor real-aproximaci??|

Error relatiu.

??s el quocient entre l'error absolut i l'error per unitat.

Error relatiu= |Error relatiu/Valor real|

Categoria: Nombres

Categoria oculta: Viquip??dia:Articles destacats en franc??s