Nombre

De Viquip??dia

Sistema de nombres en matem??tiques

Conjunts de nombres

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? Naturals ??? Negatius Enters ??? Racionals ??? Irracionals Reals ??? Complexos ???

Nombres destacables

?? ??? 3,14159265... e ??? 2,7182818284... ?? ??? 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seq????ncia d'enters Constants matem??tiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeraci??

??rab, Armeni, ??tica (grega), Babil??nica, Xinesa, Cir??l??lica, Eg??pcia, Etrusca, Grega, Hebrea, ??ndia, J??nica (grega), Japonesa, J??mer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

Un nombre ??s el concepte que sorgeix del resultat de comptar les coses que formen un agregat, o una generalitzaci?? d'aquest concepte. Aquesta ??s la definici?? que hi dona el diccionari del institut d'estudis catalans. En aquesta definici?? hi queden clarament inclosos tots els tipus de nombres de que tracten les matem??tiques perqu?? tots s??n generalitzacions del concepte dels nombres que es fan servir per a comptar (els nombres naturals).

No tots els idiomes donen exactament el mateix significat a la traducci?? de la paraula catalana nombre.

En espanyol segons el diccionari de la real acad??mia de la llengua espanyola la paraula ???n??mero??? significa la expressi?? de la quantitat computada en relaci?? a una unitat. Aquesta definici?? fa dif??cil d'incloure dins el seu significat tipus de nombres com els nombres complexos o els nombres hiperreals. A m??s, en espanyol nombre significa tamb?? el signe o conjunt de signes que representen el nombre.

En angl??s, segons el diccionari Oxford, ???number??? ??s una idea, un s??mbol o una paraula que indiquen una quantitat d'unitats.

El nombres es fan servir per a comptar i per a mesurar. Dels signes que serveixen per a representar els nombres en un sistema de numeraci?? se'n diu xifres, per?? habitualment la paraula nombre es fa servir tant per a designar el concepte com el signe. En matem??tiques el concepte de nombre s'ha anat generalitzant i abasta nombres tals com el 0, els nombres negatius, els nombres racionals, els nombres irracionals, i els nombres complexos.

D'una regla que permet obtenir un nombre d'un conjunt, a partir d'un parell de nombres del mateix conjunt, se'n diu operaci??. Exemples d'operacions s??n la suma, la resta, la multiplicaci??, la divisi?? i la pot??ncia

La ci??ncia que estudia els nombres ??s l'aritm??tica. Els nombres van sorgir a la prehist??ria, amb la necessitat de comptar, sobretot per motius econ??mics, els objectes i pertinences. Aix?? no obstant, hi ha cultures que no han desenvolupat un sistema de numeraci??, i que tenen ??nicament els conceptes d'un, dos (o plural) i molts.

Taula de continguts 1 Nocions a distingir 2 Definicions de nombre 3 Tipus de nombres 3.1 Resum 3.2 Nombres naturals 3.3 Nombres enters 3.4 Nombres racionals 3.5 Nombres reals 3.6 Nombres complexos 3.7 Altres tipus 4 Hist??ria 4.1 Historia dels enters 4.1.1 Els primers nombres 4.1.2 Historia del zero 4.1.3 Historia dels nombres negatius 4.2 Hist??ria dels nombres racionals, irracionals i reals 4.2.1 Hist??ria dels nombres racionals 4.2.2 Hist??ria dels nombres irracionals 4.2.3 Nombres transcendents i reals 4.3 Infinit 4.4 Hist??ria dels nombres complexos 4.5 Nombres primers 5 Refer??ncies 6 Vegeu tamb?? 7 Enlla??os externs

[edita] Nocions a distingir

Xifra

Una Xifra ??s qualsevol dels signes que serveixen per a representar els nombres en un sistema de numeraci??. Un error molt freq??ent ??s el de confondre la xifra amb el nombre. Les xifres emprades per escriure els nombres am base deu s??n : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En el sistema de numeraci?? romana les xifres s??n: {I, V, X, L, C, D, M}

Nombre

El concepte que sorgeix del resultat de comptar i les seves generalitzacions. El nombre ??s el concepte abstracte no ??s ni la xifra ni la combinaci?? de xifres ni la quantitat d'objectes concrets que representen sin?? el que representen en sentit abstracte.

N??mero

Un n??mero es simplement una combinaci?? de xifres (que no t?? perqu?? respectar pas una enumeraci??) i que juga el rol d'una etiqueta num??rica. Exemple: Visc al n??mero 293 del carrer...

[edita] Definicions de nombre

Diversos pensadors han definit el concepte de nombre de diverses formes.

En Pompeu Fabra dona la definici?? que emprem avui en dia:

??	Un nombre ??s el concepte que sorgeix del resultat de comptar les coses que formen un agregat, o una generalitzaci?? d'aquest concepte.	??

Altres definicions de nombre fetes per diferents pensadors son:

• Nombre ??s la ess??ncia i el principi de totes les coses (Pit??gores).
• Nombre ??s la relaci?? entre la quantitat i la unitat (Isaac Newton).
• Nombre ??s un compost d'unitats (Euclides)
• Nombre ??s el resultat de la mesura d'una grand??ria (Brennes).
• Nombre ??s una col??lecci?? d'objectes de la naturalesa dels quals en fem abstracci?? (Boutroux).
• Nombre ??s el resultat de la comparaci?? de qualsevol grand??ria amb la unitat (Benjamin Constant).
• Nombre ??s el moviment accelerat o retardat (Arist??til).
• Nombre ??s la representaci?? de la pluralitat (Kambly).
• Nombre ??s una col??lecci?? d'unitats (Condorcet).
• Nombre ??s la pluralitat mesurada per la unitat (Schuller, Natucci).
• Nombre ??s una expressi?? que determina una quantitat de coses de la mateixa esp??cie (Baltzer).
• Nombre ??s la classe de totes les classes equivalents a una classe donada (Bertrand Russell).

[edita] Tipus de nombres

Els nombres es poden classificar en conjunts, anomenats tipus de nombres. (Per als diferents m??todes d'expressar els nombres per mitj?? de s??mbols, tals com els nombres romans, vegeu sistema de numeraci??).

Els diferents tipus de nombres es poden introduir per dos m??todes diferents: axiom??tic i constructivista.

El m??tode axiom??tic consisteix en adoptar un conjunt d'axiomes. A partir d'aquests axiomes, per deducci?? l??gica, es demostren els teoremes. Aquest plantejament se centra en estudiar les conseq????ncies d'un conjunt que compleixi els axiomes per?? no li busca cap significat a aquest conjunt, no es preocupa de que existeixi cap conjunt que compleixi els axiomes. De fet, si hi ha molts conjunts diferents que els compleixen tots, els teoremes que s'hagin demostrat seran v??lids per a tots ells.

El m??tode constructivista introdueix els diferents tipus de nombres per mitj?? de la construcci?? d'un conjunt d'elements.

[edita] Resum

Els nombres m??s intu??tius s??n els nombres naturals 0, 1, 2... que s'utilitzen per comptar objectes. Si s'afegeixen nombres negatius s'obtenen els enters. Els quocients d'enters generen els nombres racionals. Si s'hi inclouen tots els nombres que s??n expressables amb decimals per?? que no s??n fraccions d'enters, s'obtenen els nombres reals; si a aquests se'ls afegeix el producte d'un real per la arrel de -1 s'obtenen els nombres complexos, que s??n tots els nombres necessaris per a resoldre qualsevol equaci?? algebraica. Es poden ampliar encara m??s els nombres, si s'afegeixen els infinits i els transfinits.

Entre els nombres reals, n'hi ha que no s??n solucions d'una equaci?? polinomial o algebraica. Reben el nom de transcendents. L'exemple m??s fam??s d'aquests nombres ??s el nombre ?? (pi), un altre exemple fonamental i igual d'important ??s el e, base dels logaritmes naturals o neperians. Aquests dos nombres estan relacionats entre si per la identitat d'Euler e^i?? + 1 = 0, tamb?? anomenada la f??rmula m??s important del m??n ja que relaciona la unitat amb -possiblement- els tres nombres m??s coneguts i ??tils en el m??n de les matem??tiques:

• el nombre i (),
• el nombre e (2.71828183...),
• el nombre ?? (3.14159265...).

Exemples dels diferents tipus de nombres:

NOM	S??MBOL	EXEMPLES
NATURALS		1, 2, 3, 4,...
ENTERS		1, -1, 2, -2, 3, -3,...
RACIONALS		1, 1/2, 4/3, -1/4,...
IRRACIONALS		nombre e, nombre pi,
REALS		1, 1/2,
COMPLEXOS		on

[edita] Nombres naturals

Un nombre natural ??s el que indica la quantitat d'elements de qualsevol conjunt finit. Els nombres naturals serveixen per a comptar i s??n el 0,1,2,3... Alguns autors no consideren la quantitat d'elements del conjunt buit (el zero) com un dels elements del conjunt dels nombres naturals, llavors s??n 1,2,3...

En el sistema de numeraci?? en base deu els s??mbols per escriure els nombres naturals empren deu xifres: 0,1,2,3,4,5,6,7,8, i 9. En aquest sistema de numeraci?? en base deu, el d??git de m??s a la dreta indica les unitats, el seg??ent les desenes, el seg??ent les centenes i aix?? successivament cada d??git representa la quantitat de vegades el valor de la seva posici?? i aquest valor ??s deu cops mes gran que el valor de la posici?? del d??git de la seva dreta.

Aquest sistema de numeraci?? va ser introdu??t a Catalunya per la influ??ncia del ??rabs i des de aqu?? es va divulgar per primer cop a la resta d'Europa occidental pel Papa Silvestre II al voltant de l'any 1000. L'havia apr??s a Vic i a Ripoll on va estudiar sota la protecci?? del Comte Borrell II de Barcelona.

El s??mbol que representa el conjunt de tots els nombres naturals ??s N, tamb?? s'escriu com a .

La axiomatitzaci?? dels nombres naturals la va fer per primer cop en Giuseppe Peano (vegeu els axiomes de Peano). Per fer-ho, fa servir la funci?? simbolitzada per S (abreviatura de successor) i els axiomes s??n:

• Existeix un nombre natural 0.
• Cada nombre natural a t?? un successor que es diu Sa.
• No hi ha cap nombre natural que tingui com a successor el 0.
• Si dos nombres naturals s??n diferents, llavors tenen successors diferents: si .
• Si el nombre 0 t?? una propietat i per a cada nombre que tingui aquesta propietat tamb?? la t?? els seu successor, llavors tots els nombres naturals tenen aquesta propietat.

[edita] Nombres enters

El conjunt dels nombres enters es construeix estenent els nombres naturals a base d'afegir-los-hi els nombres negatius.

Els nombres negatius es construeixen a base de fer que la operaci?? de restar tingui sempre un resultat.

Si cada nombre natural representa la quantitat d'elements d'un conjunt, es defineix la suma de dos nombres n₁ i n₂ com el nombre n₃ (n₃ = n₁ + n₂ ) tal que representa la quantitat d'elements del conjunt uni?? dels altres dos.

La resta es defineix com la operaci?? inversa de la suma, aix?? si n₃ = n₁ + n₂ llavors n₁ = n₃ ??? n₂ i n₂ = n₃ ??? n₁.

El conjunt dels nombres naturals es diu que ??s tancat respecte de la suma perqu?? per a qualsevol parella de nombres naturals, el resultat de la seva suma ??s tamb?? un nombre natural.

Ara b??, resulta que el conjunt de nombres naturals no ??s tancat respecte de la resta perqu??, per exemple, no existeix cap nombre natural que sumat a 1 doni zero, per tant 0-1 no t?? cap resultat dins del conjunt dels nombres naturals.

El nombre negatiu -n ( oposat de n) es defineix com el nombre que sumat a n dona zero.

Els nombres negatius es poden interpretar com la quantitat d'elements, de conjunts amb elements especials, que en unir-se amb els conjunts que tenen elements normals es neutralitzen o cancel??len o anul??len. Per exemple una quantitat negativa de diners es pot emprar per a representar un deute de tal manera que en unir-se amb la mateixa quantitat per?? positiva es cancel??la el deute. La c??rrega el??ctrica d'un determinat nombre de part??cules es pot representar amb un nombre negatiu de tal manera que en reunir-se amb un nombre igual de part??cules que tenen la mateixa quantitat de c??rrega per?? oposada es cancel??len m??tuament i en resulta una mat??ria el??ctricament neutra.

Els nombres negatius s'escriuen afegint un signe menys davant del nombre del qual en s??n oposats. Aix?? l'oposat del 7 s'escriu ???7. Quant el conjunt de nombres negatius s'uneix amb el conjunt dels nombres naturals (incl??s el zero), s'obt?? el conjunt dels nombres enters Z (Del alemany Zahl, plural Zahlen, que vol dir nombre), tamb?? s'escriu com a .

[edita] Nombres racionals

Un nombre racional ??s el que es pot expressar com a una ra?? entre dos nombres enters. Es a dir el quocient d'una quantitat (dita antecedent) dividida per un altra quantitat (dita conseq??ent) que no pot ser zero.

Una ra?? es pot escriure com una fracci?? amb un numerador enter i un denominador natural diferent de zero.

La fracci?? m/n o

Representa la mida de reunir m parts iguals tals que cada una d'aquestes parts t?? una grand??ria tal que n parts juntes tenen la mateixa mida que la unitat. Dues fraccions diferents poden correspondre al mateix nombre racional; per exemple 1/2 i 2/4 s??n iguals, es a dir:

.

Si el valor absolut de m ??s m??s gran que n, llavors el valor absolut de la fracci?? ??s m??s gran que 1. Les fraccions poden ser m??s grans que, m??s petites que, o iguals a 1 i tamb?? poden ser positives, negatives o zero. El conjunt de totes les fraccions inclou els enters donat que tot enter pot ser escrit com una fracci?? amb denominador 1. Per exemple ???7 es pot escriure ???7/1.

El s??mbol per a representar el conjunt dels nombres racionals ??s Q (de quocient), tamb?? s'escriu .

El sistema de numeraci?? decimal s'est??n per a representar els nombres racionals a base d'afegir una coma (als Estats Units i al Regne Unit en comptes d'una coma s'empra un punt) que separa la part entera de la part decimal del nombre. Els d??gits de la dreta de la coma representen la quantitat de d??cimes, cent??simes, mil??l??simes etc.

Tot nombre racional t?? una representaci?? decimal que o b?? s'acaba o b?? arriba un punt on una seq????ncia de xifres, anomenada per??ode, es repeteix infinitament. Per exemple 1/2=0.5 o 1/3 = 0,3333.... o 157/13=12,076923076923076923... 076923...

Aix?? ??s f??cil de veure amb l'algoritme de la divisi??, el residu de dividir el nombre ha de ser necess??riament m??s petit que el quocient, per a calcular la primera xifra decimal es multiplica per deu el residu i es divideix pel quocient si el nou residu ??s zero ja s'ha acabat, si ??s igual que l'anterior residu la xifra decimal es repeteix infinitament. Si ??s diferent de l'anterior residu es continua l'algoritme, per?? la quantitat de nombres diferents m??s petits que el quocient ??s finita per tant tard o d'hora es repetir?? un residu i a partir d'aqu?? la successi?? de xifres decimals es repetir?? infinits cops.

[edita] Nombres reals

Els nombres reals s??n els que serveixen per a mesurar la quantitat de les coses reals que puguin ser dividides en fragments indefinidament petits. Com ara s'ha suposat que poden ser dividits la mat??ria, el temps, l'espai, la for??a, etc??tera.

Els nombres racionals no s??n adequats per a representar les quantitats que es poden obtenir a base d'agregar infinites quantitats cada cop m??s petites, encara que la uni?? de totes doni una quantitat finita.

Per exemple, si a una magnitud unitat se li afegeix un nombre aleatori de d??cimes, un nombre aleatori de cent??simes, un nombre aleatori de mil??l??simes i aix?? fins a l'infinit s'obt?? una quantitat que, necess??riament no ??s m??s gran que 2, per?? que, en general, no pot ser representada com a un nombre racional, perqu??, en general, ni s'acaben les xifres decimals (arriba un punt on nom??s s??n zero), ni t?? perqu?? tenir un per??ode (una successi?? de xifres que es repeteixen indefinidament).

Els nombres reals es poden construir com a l??mit de successions creixents i afitades de nombres racionals. Tamb?? es poden construir (amb el que es pot entendre com a un subconjunt d'aquestes successions) com a: els nombres que es poden representar en forma decimal amb una part entera i una part decimal que t?? infinites xifres decimals.

Cada nombre racional ??s tamb?? un nombre real.

Els nombres reals que no s??n racionals es diuen irracionals. Els nombres irracionals no es poden escriure com a una fracci??.

Hist??ricament el primer nombre irracional que es va saber que ho era, va ser , en tractar de mesurar la diagonal d'un quadrat sabent que el costat mesura una unitat. D'acord amb el teorema de Pit??gores el quadrat d'aquesta diagonal ha de mesurar 2. Per?? ??s impossible que el quadrat de cap fracci?? mesuri 2. Per a veure-ho, se suposa que n'hi ha una i es redueix, dividint el numerador i el denominador entre el m??xim com?? denominador de tots dos, de forma que no tinguin cap divisor com??. Llavors quedaria una fracci?? p/q tal que (p / q)² = 2, per?? llavors hauria de ser p² = 2q², per tant p hauria de ser m??ltiple de 2 i si p ??s m??ltiple de 2, p² ??s m??ltiple de quatre. Si p² ??s m??ltiple de 4 es pot escriure com a p² = 4r per algun nombre natural r. Per tant, hauria de ser 4r = 2q² i 2r = q². O sigui que q tamb?? hauria de ser m??ltiple de 2, per tant (com que el numerador i el denominador no tenen cap divisor com??) ??s impossible que el quadrat de cap fracci?? sigui 2.

Tal com s'han definit els nombres irracionals ??s evident que cada nombre real e b?? ??s racional o b?? ??s irracional. Cada nombre real es correspon amb un punt de la recta real. Els nombres reals tenen la propietat de que tot subconjunt afitat superiorment admet un extrem superior que tamb?? ??s un nombre real.

El s??mbol per a representar els nombres reals ??s R o .

Axiom??ticament els nombres reals es poden definir amb els seg??ents axiomes:

• Els conjunt dels nombres reals R ??s un cos.
• El cos R ??s ordenat.
• El cos R es arquimedi??. Es a dir, per a tot parell d'elements de R x,y tals que 0>x>y existeix un nombre natural n tal que y>nx.
• Per a tot subconjunt de R afitat superiorment (diferent del conjunt buit) existeix un element de R que ??s la m??s petita de totes les fites superiors. D'aquest element se'n diu extrem superior.

[edita] Nombres complexos

Els nombres complexos s??n una extensi?? dels nombres reals. Hist??ricament, aquest conjunt va sorgir a partir de la q??esti?? de si un nombre negatiu podia tenir arrel quadrada. Aquesta q??esti?? condueix a la invenci?? d'un nou nombre: la arrel quadrada de -1. La arrel quadrada de -1 va ser designada amb la lletra i per Leonhard Euler (en electrot??cnia es fa servir la lletra j per no confondre-la amb la intensitat del corrent el??ctric) i se n'hi diu la unitat imagin??ria. Els nombres complexos s??n tots els nombres de la forma:

On a i b s??n nombres reals. A l'expressi?? a + bi, del nombre real a se'n diu la part real i de b se'n diu la part imaginaria. Si la part real d'un nombre complex ??s zero, llavors es diu que ??s un nombre imaginari; si la part imaginaria ??s zero, llavors el nombre ??s un nombre real. Per tant els nombres reals es poden considerar un subconjunt dels nombres complexos. Si les parts real i imagin??ria d'un nombre complex s??n totes dues enters, llavors es diu que el nombre ??s un enter gaussi??.

El s??mbol que representa els nombres complexos ??s C o .

En ??lgebra abstracta, els nombres complexos s??n un exemple d'un cos algebraicament tancat, aix?? vol dir que tot polinomi amb coeficients complexos pot ser descompost en factors de primer grau (o factors lineals). Aix?? ??s el Teorema fonamental de l'??lgebra.

Igual que el conjunt dels nombres reals, el conjunt dels nombres complexos ??s un cos i ??s complert per?? a difer??ncia dels reals no ??s totalment ordenat. Es a dir, no t?? sentit dir que i ??s m??s gran que1, com tampoc en t?? de dir que i ??s m??s petit que 1.

Per a representar els nombres complexos es fa servir el pla complex. A cada nombre complex se li fa correspondre un punt que t?? com a ordenat la part real i com a abscissa la part imagin??ria.

Amb aquesta representaci?? cada nombre complex es pot representar com el vector que va des de l'origen fins al punt en q??esti??. Aquest vector t?? per m??dul: i angle: . On a ??s la part real i b la part imagin??ria.

Per tant el nombre complex tamb?? es pot escriure com a i en multiplicar dos nombres complexos resulta:

= M₁M₂(cos(??₁)cos(??₂) ??? sin(??₁)sin(??₂)) + i(cos(??₁)sin(??₂) + sin(??₁)cos(??₂))

I tenint en compte les expressions de l sinus i el cosinus de la suma d'angles (veure trigonometria) resulta:

M₁(cos(??₁) + isin(??₁)) * M₂(cos(??₂) + isin(??₂)) = M₁ * M₂(cos(??₁ + ??₂) + i(sin(??₁ + ??₂)).

Es a dir el producte de dos nombres complexos ??s un nombre complex que t?? per m??dul el producte de m??duls i per angle la suma d'angles.

Per tant si els m??duls s??n unitaris els producte de nombres complexos dona lloc a la suma d'angles. Aquesta propietat ??s la que obre la porta a la relaci?? entre els nombres complexos, les funcions trigonom??triques i les funcions exponencials. A partir d'aquesta relaci?? els nombres complexos tenen moltes aplicacions en la resoluci?? d'equacions diferencials, en regulaci?? autom??tica, en vibracions, ones, electrot??cnia,i electromagnetisme etc.

Cada un dels tipus de nombres que s'ha mencionat anteriorment ??s un subconjunt propi del tipus seg??ent. Simb??licament, N ??? Z ??? Q ??? R ??? C.

[edita] Altres tipus

Els nombres hiperreals s??n una extensi?? dels nombres reals feta a base d'afegir-los nombres infinitesimalment petits i nombres infinitament grans. En c??lcul infinitesimal permeten simplificar els c??lculs, les demostracions i en general la seva aplicaci?? a la f??sica i a la t??cnica sense p??rdua de rigor. En enginyeria seguint la notaci?? de Leibniz s`han aplicat sempre, fins i tot abans que es definissin rigorosament, i hi ha molts llibres que aparentment tenen manca de rigor si no es llegeixen com a emprant nombres hiperreals per a designar quantitats infinitament petites (diferencial de...) de les que despr??s, per sumar-ne una quantitat infinita, es calcula una integral, o que despr??s, es divideixen entre elles i en resulta una derivada, o al sumar-les, algunes desapareixen per qu?? ???s??n infinit??sims d'ordre superior???...

S'ha suggerit que els nombres hiperreals s??n els que s'haurien de fer servir en l'ensenyament elemental del c??lcul infinitesimal.

Els nombres p-??dics La idea que hi ha al darrere dels nombres p-??dics ??s

Mentre els nombres reals tenen una representaci?? digital amb infinites xifres a la dreta de la coma decimal, els nombres p-??dics permeten expressions infinitament llargues a l'esquerra de la coma. El conjunt de nombres que en resulta dep??n de la base que es fa servir pels d??gits. Qualsevol base ??s possible, per?? els sistemes que obtenen les propietats matem??tiques m??s interessants s??n els que fan servir com a base un nombre primer.

Per tractar amb conjunts infinits (comptar el nombre dels seus elements), s'han generalitzat els nombres naturals creant els nombres ordinals i els nombres cardinals. Els primers donen la ordenaci?? del conjunt mentre els ??ltims donen la seva grand??ria. Per als conjunts finits, els nombres ordinals i cardinals s??n equivalents, per?? en els casos infinits difereixen.

Tamb?? hi altres conjunts de nombres que es fan servir per a aplicacions especialitzades. Alguns s??n subconjunts dels nombres complexos. Per exemple, els nombres algebraics s??n les arrels dels polinomis amb coeficients racionals. Dels nombres complexos que no s??n algebraics se'n diu nombres transcendents.

Altres no s??n subconjunts dels nombres complexos er exemple els quaternions H, inventats per William Rowan Hamilton, en ells la multiplicaci?? no ??s commutativa, i els octonions, en els quals la multiplicaci?? no ??s associativa.

[edita] Hist??ria

[edita] Historia dels enters

[edita] Els primers nombres

S'especula que els primers usos coneguts dels nombres es retrotrauen a fa m??s e 30.000 anys, s'han trobat ossos i altres objectes amb marques tallades damunt seu que sovint s'han considerat marques per a dur el compte d'alguna cosa. S'ha suggerit que la utilitzaci?? d'aquestes marques podria tenir quelcom a veure amb dur el compte del temps, com per exemple un nombre de dies, o mantenir enregistrades quantitats.

Els sistemes de marques no tenen el concepte de valor posicional (tal com t?? l'actual sistema de numeraci?? decimal), aix?? limita la seva aplicaci?? a l'hora de representar nombres grans. Sovint s'ha considerat que aquest ??s el primer tipus de sistema abstracte que es podria haver fet servir, i que podria ser considerat un Sistema de Numeraci??.

El primer sistema conegut amb valor posicional va ser el Mesopot??mic, un sistema en base 60 3400 AC) i el sistema en base 10 m??s antic que es coneix data del 3100 AC a Egipte. [1]

[edita] Historia del zero

La utilitzaci?? del zero com a nombre s'ha de distingir del seu ??s com a element per a ocupar un lloc en els sistemes de numeraci?? en que el valor de les xifres dep??n de la seva posici??. Molts textos indis antics fan servir la paraula Shunya en s??nscrit per a referir-se al concepte de buit; en matem??tiques, aquesta paraula sovint es podria fer servir per a referir-se al nombre zero.

Els registres mostren que els antics grecs semblaven insegurs respecte del estatus del zero com a nombre: es preguntaven "c??m 'no res' pot ser res?", arribant a interessants filosofies i, durant el per??ode medieval, arguments religiosos sobre la naturalesa i l'exist??ncia del zero i del buit. Les Paradoxes de Zen??| paradoxes]] de Zen?? de Elea depenen en gran mesura de interpretacions incertes del zero. (Els antics grecs, fins i tot es q??estionaven si l'1era un nombre).

Els Olmeques poblaci?? al sud i centre de M??xic varen comen??ar a fer servir el zero (un s??mbol en forma de closca) al Nou Mon, possiblement als voltants del Segle IV AC per?? amb tota certesa a l'any 40 DC, el qual va esdevenir una part integral dels Nombres maies i del Calendari maia, per?? no va tenir cap influencia en els sistemes de numeraci?? del Vell Mon.

Als voltants de l'any 130, Tolomeu, influenciat per Hiparc de Nicea i els babilonis, utilitzava un s??mbol per a representar el zero (un cercle petit amb una llarga ratlla al damunt) dins d'un sistema de numeraci?? sexagesimal en comptes d'utilitzar els numerals grecs alfab??tics. Com que el feia servir tot sol, no nom??s com un s??mbol per a ocupar l'espai, aquest zero hel??len??stic va ser el primer ??s documentat d'un aut??ntic zero al Vell Mon. En manuscrits bizantins posteriors de la seva Sintaxis Matem??tica (Almagest), el zero hel??len??stic es va transformar en la lletra grega ??micron (que altrament significava 70).

Un altre zero verdader es va fer servir en les taules de nombres romans pel 525 (primer ??s conegut va ser per Dionysius Exiguus), per?? com a paraula, nulla que significa no res, no com a un s??mbol. Quan una divisi?? donava zero de residu, es feia servir nihil, que tamb?? significa no res. Aquests zeros medievals varen ser fets servir per tos els calculistes medievals posteriors. Un ??s a??llat de la seva inicial N, va ser fet servir en una taula de numerals romans per Bede o algun col??lega seu al voltants del 725, un aut??ntic s??mbol zero.

Un ??s documentat del zero per Brahmagupta (en el Brahmasphutasiddhanta) data del 628. Va tractar el zero com un nombre i va discutir les operacions en que estava involucrat incloent-hi la divisi??. Per aquella ??poca (segle VII) el concepte s'havia assolit clarament, i la documentaci?? demostra que la idea es va estendre m??s tard a la Xina i al m??n isl??mic.

[edita] Historia dels nombres negatius

El concepte abstracte de nombres negatius va ser reconegut entre el 100 AC - 50 AC. El xin??s ???Nou cap??tols sobre el art de les matem??tiques??? (Jiu-zhang Suanshu) cont?? m??todes per a trobar ??rees de figures; es feien servir barres vermelles per a denotar coeficients positius i barres negres per als negatius. Aquesta ??s la menci?? dels nombres negatius m??s antiga coneguda a l'Est; la primera refer??ncia en un treball occidental va ser al segle III a Gr??cia. Diofant d'Alexandria va fer refer??ncia a l'equaci?? que avui s'escriuria com a 4x + 20 = 0 (la soluci?? ha de ser negativa) a Aritm??tica, dient que l'equaci?? donava un resultat absurd.

Durant els anys 600, els nombres negatius s'usaven de forma habitual a la India per a representar deutes. La refer??ncia anterior de Diofant va ser discutida de forma m??s expl??cita pel matem??tic indi Brahmagupta, a Brahma-Sphuta-Siddhanta 628, qui va fer servir nombres negatius per a produir la forma general de la f??rmula quadr??tica que es continua fent servir avui en dia. Per??, al segle XII a la India, Bhaskaraobt?? les arrels negatives de les equacions quadr??tiques per?? diu que el valor negatiu "en aquest cas no s'ha de adoptar, perqu?? ??s inadequat; la gent no aprova les arrels negatives".

Els matem??tics europeus, majorit??riament,es varen resistir al concepte de nombres negatius fins al segle XVII, tot i que Fibonacci admetia solucions negatives en problemes financers on es podien interpretar com a deutes (cap??tol 13 del Liber Abaci, 1202) i m??s tard en el cas de p??rdues (a Flos). Al mateix temps, els xinesos indicaven els nombres negatius a base de dibuixar una ratlla diagonal travessant el d??git de m??s a la dreta diferent de zero del corresponent nombre positiu Plantilla:Fact. El primer ??s dels nombres negatius en un treball europeu va ser fet per Chuquet durant el segle XV. Els va fer servir com a exponents, per?? es referia a ells com a ???nombres absurds???.

Fins i tot en dates tant recents com al segle XVIII, el matem??tic Su??s Leonhard Euler creia que els nombres negatius eren m??s grans queinfinitPlantilla:Fact, i era pr??ctica habitual de ignorar qualsevol resultat negatiu que donessin les equacions en base a la suposici?? de que no eren significatius, tal com va fer Ren?? Descartes amb les solucions negatives de un sistema cartesi?? de coordenades.

[edita] Hist??ria dels nombres racionals, irracionals i reals

[edita] Hist??ria dels nombres racionals

Es versemblant que el concepte de nombre fraccionari dati dels temps prehist??rics. Fins i tot els antics egipcis varen escriure textos matem??tics que descrivien com convertir fraccions fraccions generals en les seves fraccions amb notaci?? especial. Els matem??tics indis i de la gr??cia cl??ssica varen fer estudis sobre la teoria dels nombres racionals, com a part del estudi general de la teoria de nombres. El millor conegut de tos ??s els Elements d'Euclides, que data aproximadament del 300 AC. Dels textos indis el m??s rellevant ??s el Sthananga Sutra, el qual tamb?? cobreix la teoria de nombres com a part de un estudi general de matem??tiques.

El concepte de fracci?? decimal est?? lligat estretament a la notaci?? amb valor posicional decimal; tots dos sembla que s'hagin desenvolupat en paral??lel. Per exemple, es habitual en les matem??tiques de Sutra de incloure c??lculs de aproximacions en fraccions decimals de pi o de la arrel quadrada de dos. De forma similar, els textos matem??tics Babilonis havien fet servir sempre fraccions sexagesimals amb gran freq????ncia.

[edita] Hist??ria dels nombres irracionals

L'??s m??s antic conegut de nombres irracionals va ser al Sulba Sutras composat entre 800-500 AC. Plantilla:Fact Les primeres demostracions de la exist??ncia dels nombres irracionals s'atribueix habitualment a Pit??gores, de forma m??s espec??fica al Pitag??ric Hippasus de Metapontum, que va obtenir una demostraci?? (molt probablement geom??trica) de la irracionalitat de la arrel quadrada de dos. La llegenda diu que Hippasus va descobrir els nombres irracionals quan intentava de representar la arrel quadrada de dos com una fracci??. Per?? en Pit??gores creia en lo absolut dels nombres, i no podia acceptar l'exist??ncia dels nombres irracionals. No podia demostrar la seva inexist??ncia amb la l??gica, per?? la seva creen??a no podia acceptar la exist??ncia dels nombres irracionals i per aix?? va sentenciar a Hippasus a morir ofegat.

El segle setze va veure la acceptaci?? definitiva per part dels europeus dels nombres enters negatius i no negatius i dels fraccionaris. El segle disset va veure les fraccions decimals amb la notaci?? moderna for??a generalment usada pels matem??tics. Per?? no va ser fins al segle dinou que els irracionals no varen ser separats entre algebraics i transcendents, i es va reprendre altre cop un estudi cient??fic de la teoria dels irracionals. Varen romandre gaireb?? dormint des de Euclides. L'any 1872 va veure la publicaci?? de les teories de Karl Weierstrass (pel seu alumne Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), i Richard Dedekind. M??ray va adoptar al 1869 el mateix punt de partida que Heine, per?? la teoria es referida habitualment a l'any 1872. El m??tode de Weierstrass ha estat completament desenvolupat per Salvatore Pincherle (1880), i el de Dedekind ha agafat rellev??ncia addicional a traves del treball posterior de l'autor (1888) la confirmaci?? recent de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, i Heine basen les seves teories en series infinites, mentre Dedekind fonamenta les seves en la idea de una partici?? (Schnitt) en el sistema de nombres reals, separen tots els nombres racionals en dos grups que tenen certes propietats caracter??stiques. La mat??ria ha rebut contribucions posteriors a les mans de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), i M??ray.

Les Fraccions cont??nues, estretament relacionades amb els nombres irracionals (i degudes a, 1613), varen rebre atenci?? a les mans de Euler,i al comen??ament del segle dinou varen agafar import??ncia a trav??s dels escrits de Joseph Louis Lagrange. Altres contribucions dignes d'esment han estat fetes per Druckenm??ller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), i G??nther (1872). Ramus (1855) ??s el primer que va connectar la mat??ria amb els determinants, resultant-ne les subseg??ents contribucions de Heine, M??bius, i G??nther, en la teoria de Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet tamb?? va fer aportacions a la teoria general, aix?? com nombroses contribucions a la seva aplicaci??.

[edita] Nombres transcendents i reals

Els primers resultats referents als nombres transcendents varen ser les demostracions de Lambert's 1761 que ?? no pot ser racional, i tamb?? que eⁿ ??s irracional si n es racional (tret del cas n = 0). (La primera refer??ncia a la constant e va ser feta al treball de Napier 1618 sobre logaritmes.) En Legendre va estendre aquesta demostraci?? per demostrar que ?? no ??s la arrel quadrada de cap nombre racional. La cerca d'arrels de l'Equaci?? de cinqu?? grau i d'equacions de graus superiors va consuir a un desenvolupament important, El [[Teorema de Abel???Ruffini] (Ruffini 1799, Abel 1824) demostra que no es poden resoldre amb radicals (f??rmula que cont?? nom??s operacions aritm??tiques i arrels). A partir d'aqu?? va ser necessari de considerar un conjunt m??s ampli, el dels nombres algebraics (totes les solucions d'equacions polin??miques). Galois (1832) lligant les equacions polin??miques a la teoria de grups va crear el camp de la Teoria de Galois.

Fins i tot el conjunt dels nombres algebraics no ??s suficient i tot el conjunt dels nombres reals inclou els nombres transcendents. La exist??ncia dels quals va ser establerta per primer cop per Liouville (1844, 1851). Hermite va demostrar al 1873 que e ??s transcendent i Lindemann va demostrar al 1882 que ?? ??s transcendent. Finalment Cantor demostra que el conjunt de tots els nombres reals ??s infinit i incomptable per?? com que el conjunt de tots els nombres algebraics ??s infinit contable, hi ha d'haver una quantitat infinitament incomptable de nombres transcendents.

[edita] Infinit

La concepci?? m??s antiga coneguda de l'infinit matem??tic apareix a Yajur Veda, que en un determinat punt estableix que "si detreus una part de l'infinit o afegeixes una part a l'infinit, el que en roman ??s encara infinit". La infinitud va ser un tema popular d'estudi filos??fic entre els matem??tics Jain al voltant de 400 AC. Distingien entre cinc tipus d'infinitud: Infinit en una i dues direccions, infinit en ??rea, Infinit a tot arreu, i infinit perp??tuament.

A l'Oest, la noci?? tradicional de infinitud matem??tica va ser definida per Arist??til, que distingia entre infinit actual i infinit potencial; el consens general era que nom??s l'??ltim tenia un vertader valor. Les Dues noves ci??ncies de Galileu discuteix la idea de uni?? bijectiva entre conjunts infinits. Per?? el seg??ent aven?? important en la teoria va ser fet per Georg Cantor; en 1895 a publicar un llibre sobre la seva nova teoria de conjunts, introduint, entre altres coses, la hip??tesis de continu.

La geometria projectiva dona una visi?? moderna de la infinitud al introduir "punts ideals al infinit", un per a cada direcci?? de l'espai. Per a cada fam??lia de l??nies paral??leles en una direcci?? donada es postula que convergeix al corresponent punt ideal. Aquesta idea est?? estretament relacionada amb la idea dels punts de fuga de la perspectiva en la t??cnica del dibuix.

[edita] Hist??ria dels nombres complexos

Les primeres per?? ef??meres refer??ncies a arrels de nombres negatius es donen en els treballs del matem??tic e inventor Her?? d'Alexandria al segle I, quant estudiava el volum de un tronc impossible de una pir??mide. Al segle XVI varen esdevenir m??s freq??ents degut a que els matem??tics italians Niccolo Fontana Tartaglia i Gerolamo Cardano varen descobrir les f??rmules per a calcular les arrels de l'equaci?? de tercer grau i la de quart. Aviat s'adonaren de que aquestes f??rmules, fins i tot si nom??s s'est?? interessat en les solucions reals, de vegades requereixen la manipulaci?? d'arrels quadrades de nombres negatius.

Aix?? va ser doblement inquietant donat que en aquella ??poca fins i tot els nombres negatius encara no es considerava que tinguessin una fonamentaci?? gaire s??lida. El terme "imaginari" per aquestes quantitats va se encunyat per Ren?? Descartes al 1637. Un altre font de confusi?? va ser que l'equaci??:

Semblava ser capriciosament inconsistent amb la identitat algebraica:

,

La qual ??s v??lida per a nombres reals positius a i b, i que tamb?? va ser usada en c??lculs amb nombres complexos amb un dels a, b positiu i l'altre negatiu. L'??s incorrecte d'aquesta identitat i de la identitat relacionada:

Aquesta dificultat els va portar a la convenci?? de fer servir el s??mbol especial i en comptes de??????1 per a guardar-se'n d'aquest error.

El segle XVIII va veure les feines de Abraham de Moivre i Leonhard Euler. A De Moivre es deu (1730) la ben coneguda f??rmula que du el seu nom, F??rmula de De Moivre:

I a Euler (1748) la F??rmula de Euler de l'an??lisi complex:

L'exist??ncia dels nombres complexos no va ser completament acceptada fins que Caspar Wessel al 1799 va descriure la seva interpretaci?? geom??trica; aquesta interpretaci?? va ser redescoberta i popularitzada uns quants anys m??s tard per Carl Friedrich Gauss, i com a resultat la teoria dels nombres complexos va rebre una notable expansi??. Ara b??, la idea de la representaci?? gr??fica dels nombres complexos havia aparegut abans, ja al 1685, al De Algebra tractatus de Wallis.

Tamb?? al 1799, Gauss va obtenir la primera demostraci?? generalment acceptada del Teorema fonamental de l'??lgebra, mostrant que cada polinomi sobre els nombres complexos t?? un conjunt complert de solucions en aquest reialme. La acceptaci?? general dels nombres complexos no li de pas poc a les feines de Augustin Louis Cauchy i Niels Henrik Abel, i especialment a l'??ltim, que va ser el primer en usar atrevidament els nombres complexos amb un ??xit que ??s ben conegut.

En Gauss va estudiar els nombres complexos de la forma a + bi, on a i b s??n enters o racionals (i i ??s una de les dues arrels de x² + 1 = 0). El seu alumne, Ferdinand Eisenstein, va estudiar els tipus a + b??, on ?? ??s una arrel complexa de x³ ??? 1 = 0. Altres clases de nombres complexos com aquestes (anomenades camps c??clotomics) es deriven de les arrels de u x^k ??? 1 = 0 per a valors superiors de k. Aquesta generalitzaci?? ??s deguda a Ernst Kummer, que tamb?? va inventar els nombres ideals, els quals varen ser expressats com a identitats geom??triques perFelix Klein al 1893. La teoria general de camps va ser creada per ??variste Galois, que va estudiar els camps generats per les arrels de qualsevol equaci?? polin??mica F(x) = 0.

Al 1850 Victor Alexandre Puiseux va donar el pas clau de distingir entre punts polars i punts brancals, i va introduir el concepte de punts singulars essencials; aix?? conduiria cap al concepte de pla complex est??s.

[edita] Nombres primers

Els nombres primers han estat estudiats al llarg de tota la hist??ria. Euclides va dedicar un llibre dels Elements a la teoria dels nombres primers; en aquest llibre es demostra la infinitud dels nombres primers i el teorema fonamental de l'aritm??tica, i va presentar l'algoritme d'Euclides per a trobar el m??xim com?? divisor de dos nombres.

El 240 aC, Erat??stenes va fer servir el garbell d'Erat??stenes per a a??llar r??pidament els nombres primers de la resta. Per?? la majoria dels desenvolupaments posteriors de la teoria dels nombres primers a Europa data del Renaixement i de temps posteriors.

El 1796, Adrien-Marie Legendre va conjecturar el teorema dels nombres primers, descrivint la distribuci?? asimpt??tica dels nombres primers. Un altre resultat referent a la distribuci?? dels nombres primers inclou la demostraci?? d'Euler que la suma dels rec??procs dels nombres primers divergeix, i la conjectura de Goldbach, segons la qual qualsevol nombre parell m??s gran que dos ??s la suma de dos nombres primers. Encara una altra conjectura relativa a la distribuci?? dels nombres primers ??s la hip??tesi de Riemann, formulada per Bernhard Riemann al 1859. El teorema dels nombres primers va ser demostrat finalment per Jacques Hadamard i Charles de la Vall??e-Poussin el 1896.

[edita] Refer??ncies

• Erich Friedman, What's special about this number?
• Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 de gener de 1989, ISBN 0-15-543468-3.
• Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.
• Whitehead and Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.
• What's a Number? at cut-the-knot

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Enlla??os externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multim??dia relatiu a: Nombre

• Mesopotamian and Germanic numbers
• BBC Radio 4, In Our Time: Negative Numbers
• '4000 Years of Numbers', lecture by Robin Wilson, 07/11/07, Gresham College (available for download as MP3 or MP4, and as a text file).