Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Morfisme - Viquip??dia

Morfisme

De Viquip??dia

En matem??tiques, un morfisme (o un homomorfisme) ??s, en general, una aplicaci?? entre dos conjunts dotats d'una mateixa estructura algebraica, que ??s respectada per l'aplicaci??.

Sin??nim: homomorfisme, que no s'ha de confondre amb homeomorfisme.

Aquesta noci?? ??s un dels conceptes b??sics de la teoria de les categories, on se li d??na una definici?? formal molt m??s ??mplia. Aix??, un morfisme no ??s obligat??riament una funci??, ??s simplement una relaci?? entre dues classes que poden no ser conjunts.

Els morfismes es poden classificar en:

  • un endomorfisme ??s un morfisme d'una estructura en ella mateixa.
  • un isomorfisme ??s un morfisme f\, entre dos conjunts dotats de la mateixa mena d'estructura, tal que existeix un morfisme g\, en el sentit invers, tal que f\circ g\, i g\circ f\, s??n la identitat de les estructures.
  • un automorfisme ??s un isomorfisme d'una estructura en ella mateixa.
  • un epimorfisme ??s un morfisme f:A \to B\, tal que per a tot parella de morfismes del tipus g,h:B \to C\,, si g\circ f=h\circ f\,, llavors ha de ser g=h\,.
  • un monomorfisme ??s un morfisme f:A \to B\, tal que per a tot parella de morfismes del tipus g,h:C \to A\,, si g\circ f=h\circ f\,, llavors ha de ser g=h\,.

Exemple: la identitat d'un conjunt ??s sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I ??s un automorfisme.


Taula de continguts

[edita] Cas dels grups

En el cas que els dos conjunts siguin dos grups, per tal que una certa aplicaci??

f:(A,*) \to (B,\star)\,

sigui un morfisme ha de verificar que:

\forall x,y \in A, \ \ f(x*y)=f(x)\star f(y)\,

[edita] Cas dels anells

En el cas de dos anells (A,+,*)\, i (B,\bar{+},\star )\, amb elements neutres 0_A,1_A\,, per al conjunt A\,, i 0_B,1_B\,, per al conjunt B\,, una aplicaci??

f:A \to B\,

ha de verificar:

\forall a,b \in A, \ \ f(a+b)=f(a)\bar{+}f(b)\,

i

\forall a,b \in A, \ \ f(a*b)=f(a)\star f(b)\,

Si els anells considerats a m??s a m??s, s??n unitaris, ser?? necessari que es compleixi:

f(1_A)=1_B\,
.

Cal fer notar que un morfisme d'anells entre anells unitaris, pot no ser unitari.

[edita] Cas dels espais vectorials

En el cas de dos \mathbb K-espais vectorials (A,+,*)\, i (B,\bar{+},*)\, , un morfisme verifica:

f\, ??s un morfisme de grup per a (A,+)\, i (B,\bar{+})\,
\forall x\in A , \forall \lambda\in\mathbb{K}, \ \ f(\lambda *x ) = \lambda *f(x)\,

Que ??s equivalent a::

\forall x,y\in A, \forall \lambda \in\mathbb{K}, \ \ f(\lambda *x + y) = \lambda *f(x) + f(y) \,

O dit d'una altra forma, un morfisme d'espais vectorials, no ??s res m??s que una aplicaci?? lineal.

[edita] Cas de conjunts ordenats

Un morfisme entre dos conjunts ordenats ??s una aplicaci?? creixent (una aplicaci?? que conserva l'ordre):

Si ( A, ??? ) i ( B, ??? ) s??n conjunts ordenats i f ??s una funci?? de A en B, f ??s un morfisme si per a tot x i y de A tals que x ??? y, f(x) ??? f(y).

En la teoria dels ordres, es diu sovint funci?? mon??tona a la funci?? creixent.

[edita] Conjunts isomorfs

Es diu que els conjunts A\, i B\, s??n isomorfs si existeix un isomorfisme de A\, en B\, .

Saber que dos conjunts s??n isomorfs t?? molt inter??s ja que aix?? permet traspassar resultats i propietats demostrades d'un a l'altre conjunt.

Exemple: El grup de Klein ??s isomorf a \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z.

[edita] Aplicacions pr??ctiques

L'estudi dels morfismes t?? aplicacions particularment importants en la F??sica moderna i en particular, a la Mec??nica qu??ntica