L??mit

De Viquip??dia

En matem??tiques, la noci?? de l??mit ??s for??a intu??tiva, malgrat la seva formulaci?? abstracta. Per a donar-ne una introducci?? simple, aqu?? tractarem nom??s el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Taula de continguts

1 L??mit d'una successi??
2 L??mits de funcions
3 Lligam entre els l??mits de successions i de funcions
4 Complements

[edita] L??mit d'una successi??

[edita] Introducci??

Les successions s??n les funcions amb domini de definici?? ???, o, a vegades ??? (sobretot en an??lisi de Fourier). Aqu?? tractarem nom??s el primer cas.

Ara, cada enter ??s un punt a??llat; en altres mots, no podem acostar-nos a $n\in\mathbb N$ mitjan??ant diferents punts de ???. Aix?? implica que no es considera la idea de l??mit d'una successi?? en un enter finit: hi ha de fet nom??s el seu valor.

Considerem doncs nom??s la noci?? de l??mit per a $n\to+\infty$ ; l'anomenarem ??l??mit de la successi????.

[edita] Definici??, converg??ncia, diverg??ncia

Cas del l??mit finit $l\in\R\,\!$ : per a tot ??descart de toler??ncia?? $\epsilon > 0\,\!$ existeix un ??enter de confid??ncia?? $N_0 \in \mathbb N \,\!$ tal que, per a tot n m??s gran que $N_0 \,\!$ , el valor $u_n \,\!$ ??s prop de l per a menys de ??: $n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!$ .

Quan existeix, el l??mit l ??s ??nic ; s'escriu llavors $\lim (u_n)_n = l \,\!$ , i es diu que $(u_n)_n \,\!$ tendeix (o tamb?? convergeix) cap a l.

Una successi?? que admet un l??mit finit ??s anomenada convergent. Hom t?? el teorema seg??ent: Cada successi?? convergent ??s fitada.

Cas del l??mit infinit: distingim dos casos:

A) $+\infty\,$ i B) $-\infty\,$ .

Per a cada ?? llindar de toler??ncia ?? $M>0 \,\!$ cal que es pugui trobar un ?? enter de confid??ncia ?? $N_0 \in \N \,\!$ a partir del qual els valors de $\vert (u_n) \vert\,$ siguin superiors a $M \,\!$ i els $(u_n) \,$ es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

$n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ per a $\lim (u_n) = +\infty \,\!$
$n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\!$ per a $\lim (u_n) = -\infty \,\!$ .

A m??s, en el cas A) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\!$ i en el cas B) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!$ .

Se diu llavors que $(u_n) \,\!$ tendeix (o divergeix) a: A) $+\infty \,\!$ , B) $-\infty \,\!$ .

NB: Es parla de successi?? convergent nom??s quan una successi?? admet un l??mit finit, de successi?? divergent en els casos A) i B), de successi?? indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot tamb?? parlar de l??mit $\infty \,\!$ quan $\lim {1\over u_n} =0$ . Aix?? resumeix els casos A) i B) i, a m??s, el cas on $n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ per?? els $(u n)$ poden cambiar signe de manera arbitr??ria.

[edita] Sub-successions

Es parla de sub-successi?? de la successi?? $(u_n) \,\!$ quan es seleccionen "nom??s uns quants" elements de $(u_n) \,\!$ : aix?? es considera nom??s una part de l'informaci??. L'exemple m??s cl??ssic ??s aquell de les sub-successions $(u_{2n}) \,\!$ dels termes de rang parell, i $(u_{2n+1}) \,\!$ dels termes de rang imparell.

M??s generalment, es designa amb el terme ?? extracci?? ?? cada aplicaci?? $\phi \ : \ \N \to \N \,\!$ estrictament creixent. Llavors una sub-successi?? ??s una successi?? de la forma $(u_{\phi(n)}) \,\!$ .

Una proprietat important ??s que una successi?? $(u_n) \,\!$ admet l??mit (finit o infinit) si i nom??s si cada sub-successi?? $(u_{\phi(n)}) \,\!$ admet el mateix l??mit.

[edita] Linealitat del passatge al l??mit

L'operaci?? de passatge al l??mit ??s lineal en el sentit seg??ent :

si (x_n) i (y_n) s??n unes successions reals convergents i tals que lim x_n = L i lim y_n = P, llavors

la successi?? (x_n + y_n) convergeix a L + P.
Si a ??s un nombre real, llavors la successi?? (a x_n) convergeix a aL.

Aix??, el conjunt C de totes les successions reals convergents ??s un espai vectorial real i l'operaci?? de passatge al l??mit ??s una forma lineal real sobre C. Si (x_n) i (y_n) s??n unes successions reals convergents amb l??mits L i P respectivament, llavors la successi?? (x_ny_n) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C ??s de fet una ??lgebra real.

Si P no ??s 0, llavors es pot trobar $N\in{\mathbb N}$ tal que la successi?? (x_n/y_n), amb $n\geq N$ ??s b?? definita i convergent amb l??mit L/P.

Cada successi?? convergent ??s fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del l??mit. Si (x_n) ??s una successi?? de reals, fitada damunt i creixent (-o tamb?? fitada davall i decreixent-), llavors ??s convergent.

Cada successi?? de Cauchy de nombres reals ??s convergent, o m??s simplement: el conjunt dels nombres reals ??s complet.

[edita] Exemples

La successi?? (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals ??s convergent, amb l??mit 0.
La successi?? (3, 3, 3, 3, 3, ...) ??s convergent de l??mit 3.
La successi?? $n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...)$ no ??s convergent, per?? les seves sub-successions $n\mapsto u(2n)$ i $n\mapsto u(2n+1)$ ho s??n.
La successi?? (1, -2, 3, -4, 5, ...) t?? l??mit $\infty$ .
La successi?? (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) ??s convergent, amb l??mit 1. Aquesta successi?? ??s un exemple de s??rie geom??trica.
Si a ??s un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successi?? de terme general aⁿ t?? l??mit 0.
Si a >0, llavors la successi?? de terme general a^1/n t?? l??mit igual a 1.
La successi?? $n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n}$ convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successi?? $n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n}$ convergeix a $e x$ .

[edita] L??mits de funcions

Conv?? distingir el cas del l??mit en un punt real finit i el cas del l??mit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

[edita] L??mit d'una funci?? a un punt a

[edita] L??mits finits

Si $\ f$ ??s una funci?? real de variable real i $\ a$ un punt del domini de definici?? de f, es diu que $\ l\in\R$ ??s el l??mit de $\ f$ en $\ a$ si :

intu??tivament, $\ f(x)$ s'acosta a $\ l$ en la mesura que $\ x$ s'acosta a $\ a$ ;
amb m??s rigor, per a tot ?? descart de toler??ncia ?? $\ \epsilon > 0$ es pot trobar un ?? descart de confid??ncia ?? $\ \delta > 0$ tal que, quan $\ x$ ??s prop de $\ a$ a menys de $\ \delta$ , llavors $f (x)$ ??s prop de $\ l$ a menys de $\ \epsilon$ .

En s??mbols: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

(il??lustraci?? 1)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$ .

En aquest cas, s'escriu $\lim_{x \to a}f(x) = l\,\!$ .

[edita] L??mits infinits

Pot tamb?? succeir que al punt $a\,\!$ la funci?? $f\,\!$ no hi hagi l??mit finit, sin?? infinit. Aix?? vol dir que, s'acostant a $a\,\!$ el valor de $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty\,\!$ o a $-\infty\,\!$ ; ??s a dir, esdeven grand quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ).

La formulaci?? matem??tica ??s llavors la seg??ent : per a cada ?? llindar de toler??ncia ?? $M>0\,\!$ es pot trobar un ?? descart de confid??ncia ?? $\delta > 0\,\!$ tal que, d??s que $x\,\!$ ??s prop de $a\,\!$ a menys de $\delta\,\!$ , llavors $\vert f(x) \vert\,\!$ ??s major que $M\,\!$ i $f\!$ es manten de signe constant: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ i: $f (x) > 0$ per al cas del l??mit $+\infty$ , $f (x) < 0$ per al cas del l??mit $-\infty$ .

(il??lustraci?? 2)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$ .

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\!$ (o $\lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!$ ).

[edita] Infinit sense signe

NB: Tamb?? per a les funcions de variable real (per?? ??s m??s utilitzat a l'an??lisi complexa), es pot parlar de l??mit $\infty \,\!$ , quan $\lim_{x \to a} {1/f(x)} =0$ . Aix?? resumeix els casos $\pm\infty \,\!$ i, a m??s, el cas on $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ per?? $f$ pot cambiar signe de manera arbitraria. Aix?? no pot succeir per a funcions cont??nues en $(a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta)$ .

[edita] L??mits per l'esquerra, per la dreta

Pot succeir tamb?? que el comportament local de la funci?? $f\,\!$ sigui different ?? per l'esquerra ?? de $a\,\!$ (??s a dir per a les $x<a\,\!$ ) i ?? per la dreta ?? de $a\,\!$ (??s a dir per a les $x>a\,\!$ ). Per exemple, una funci?? pot admetre un l??mit per la dreta i no per la esquerra, o tamb?? admetre dos l??mits diferents de cada costat.

(il??lustraci?? 3)

Hom ??s doncs portat a introduir les nocions de l??mit per la dreta i per l'esquerra ; la sola difer??ncia amb els l??mits ?? normals ?? ??s que la proximitat de $f(x)\,\!$ amb $l\,\!$ o $\pm\infty\,\!$ ??s demanada nom??s per a un costat de $a\,\!$ . Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

per al l??mit per l'esquerra :

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\!$ quan

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\!$ quan

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

per al l??mit per la dreta :

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\!$ quan

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\!$ quan

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

Les nocions de l??mit per la dreta i per l'esquerra s??n menys resrictives que la noci?? cl??ssica de l??mit ?? bilateral ?? : una funci?? pot tenir un l??mit per l'esquerra i un l??mit per la dreta sense tenir un l??mit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funci?? t?? un l??mit en un punt $a \,\!$ si i nom??s si t?? un l??mit per l'esquerra $l_e\,\!$ i un l??mit per la dreta $l_d\,\!$ i aquests s??n iguals : $l_g=l_d\,\!$

[edita] L??mit d'una funci?? a l'infinit

Ara considerem el comportament d'una funci?? f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- ?? als l??mits ?? del domini de definic??, sigui quan $x\,\!$ creix indefinidament (l??mit en $+\infty$ ), sigui quan $x\,\!$ decreix indefinidament (l??mit en $-\infty$ ).

Es pot notar que, en aquest context, la noci?? de l??mit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els l??mits en $+\infty$ s??n sempre uns l??mits per l'esquerra i els l??mits en $-\infty$ s??n sempre uns l??mits per la dreta.

[edita] L??mits finits

El l??mit de una funci?? a m??s infinit ??s L si, per a tot ?? > 0 existeix S > 0 ; tal que |f(x)-L| < ?? per a tot x > S.

Direm que la funci?? $f\,\!$ admet el l??mit finit $l\,\!$ en $+\infty$ si $f(x) \,\!$ s'acosta a $l\,\!$ en la mesura que $x\,\!$ esdeven m??s gran (o ?? tendeix a $+\infty\,\!$ ??).

Matem??ticament, aix?? es traduit mitjan??ant el fet que, per a tot ?? descart de toler??ncia ?? $\epsilon>0 \,\!$ es pot trobar una ?? llindar de confid??ncia ?? $M>0 \,\!$ despr??s de la qual la nostra funci?? prendr?? valors dintre de l'interval de toler??ncia, de centre $l\,\!$ i radi $\epsilon \,\!$ , ??s a dir: $x \geq M \ \Rightarrow$ $\ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, a partir d'una llindar convenient, ??s a dir prou gran. En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!$ .

Tot aix?? s'adapta senzillament al cas del l??mit en $-\infty$ : es diu que $f(x)\,\!$ tendeix a $l\,\!$ quan $x$ tendeix a $-\infty$ si per a tot descart $\epsilon > 0 \,\!$ es pot trobar una llindar $M < 0 \,\!$ tal que: $x \leq M \$ $\Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$ , i s'escriur?? $\lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!$ .

[edita] L??mits infinits

Direm que la funci?? $f\,\!$ admet el l??mit $\pm\infty\,\!$ en $+\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ esdev?? arbitr??riament gran en la mesura que $x\,\!$ esdev?? m??s gran (o ?? tendeix a $+\infty\,\!$ ??). De m??s, $f(x)\,\!$ resta amb signe positiu ( $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ) per a tals x . La perman??ncia del signe no ??s demanada si hom parla nom??s de l??mit $\infty\,\!$ .

Matem??ticament, aix?? es tradueix mitjan??ant el fet que, per a tot ?? llindar de toler??ncia ?? $K>0 \,\!$ es pot trobar un ?? llindar de confid??ncia ?? $M>0 \,\!$ despr??s del qual la nostra funci?? prendr?? valors dintre de l'interval de toler??ncia, ??s a dir $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) o $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(il??lustraci?? 5)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty\,\!$ (o $\infty\,\!$ ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, ??s a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ o $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

Tot aix?? s'adapta senzillament al cas del l??mit en $-\infty$ : direm que la funci?? $f\,\!$ admet el l??mit $\pm\infty\,\!$ en $-\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ esdeven arbitr??riament gran en la mesura que $x\,\!$ esdeven m??s gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o ?? tendeix a $-\infty\,\!$ ??). De m??s, $f\,\!$ resta amb signe positiu ( $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ) per a tals x.

La perman??ncia del signe no ??s demanada si hom parla nom??s de l??mit $\infty\,\!$ .

Matem??ticament, aix?? es tradueix mitjan??ant el fet que, per a tot ?? llindar de toler??ncia ?? $K>0 \,\!$ es pot trobar un ?? llindar de confid??ncia ?? $M<0 \,\!$ abans del qual la nostra funci?? prendr?? valors dintre de l'interval de toler??ncia, ??s a dir $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) o $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(il??lustraci?? 6)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty\,\!$ (o $\infty\,\!$ ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, ??s a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ o $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

L'operaci?? de passatge al l??mit (o al l??mit per la dreta/esquerra) ??s lineal tamb?? per a les funcions de variable real, en el sentit seg??ent: sigui x₀ un punt de la dreta real acabada, ??s a dir un nombre real finit o $\pm\infty$ .

Si f i g s??n unes funcions de variable real que admeten l??mits L i P a x₀, llavors tamb?? la funci?? f+g hi admet l??mit, i aquest l??mit ??s L+P.
Si a ??s un nombre real, llavors la funci?? a f admet l??mit a x₀, i aquest l??mit ??s aL.

Aix??, el conjunt K de totes les funcions que admeten l??mit a x₀ ??s un espai vectorial real i l'operaci?? de passar al l??mit ??s una forma lineal real sobre K.

Si f i g s??n unes funcions de variable real que admeten l??mits L i P a x₀, llavors tamb?? la funci?? fg hi admet l??mit, i aquest l??mit ??s LP, aix?? l'espai vectorial K es de fet una ??lgebra real.

Si P no ??s 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x₀ on f/g est?? ben definida; el seu l??mit a x₀ ??s L/P.

[edita] Exemples

El l??mit de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a $\pm\infty$ ??s igual a 0.

Clau de la demostraci?? per a $+\infty$ : si $x\geq M$ , llavors $\frac{1}{x}\leq 1/M$ .

El l??mit per la dreta de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0⁺) ??s $+\infty$ .

Clau de la demostraci??: si $0<x\leq \delta$ , llavors $\frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}$ .

El l??mit per l'esquerra de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0^-) ??s $-\infty$ .
El l??mit (bilateral) de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 ??s $\infty$ sensa signe, ??s a dir $x\mapsto \frac{1}{1/x}$ tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que $\frac{1}{1/x}=x$ . Recordeu que

$\infty$ sense signe ??s m??s utilitzat en an??lisi complexa. Vegeu tamb?? la nota anterior.

El l??mit de $x\mapsto x^2$ quan x tendeix a 3 ??s igual a 9 (En aquest cas la funci?? ??s definita i cont??nua en aquest punt, i el valor de la funci?? ??s igual al seu l??mit).

Clau de la demostraci??: si $2\leq x\leq 4$ , llavors $\vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert$ .

El l??mit de $x\mapsto \vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 1.
El l??mit de $x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 2a.
El l??mit per la dreta de $x\mapsto \frac{\vert x \vert}{x}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 1; el l??mit per l'esquerra ??s igual a -1.
El l??mit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 1.
El l??mit de $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 0.
El l??mit de $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a -1/2.
El l??mit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 2.
El l??mit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 ??s igual a 1.

[edita] Lligam entre els l??mits de successions i de funcions

Es pot provar que $\lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) = y_0$ per a cada successi?? $(u n) =$ tal que $\lim_{n \to \infty} (u_n) = x_0$ , ??s a dir per a cada successi?? convergent a $x 0$ .

[edita] Complements

Operacions amb els l??mits
Proprietats dels l??mits
L??mits de refer??ncia
Teorema dels gendarmes
Teorema del l??mit central

Categoria: An??lisi matem??tica

L??mit

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] L??mit d'una successi??

[edita] Introducci??

[edita] Definici??, converg??ncia, diverg??ncia

[edita] Sub-successions

[edita] Linealitat del passatge al l??mit

[edita] Exemples

[edita] L??mits de funcions

[edita] L??mit d'una funci?? a un punt a

[edita] L??mits finits

[edita] L??mits infinits

[edita] Infinit sense signe

[edita] L??mits per l'esquerra, per la dreta

[edita] L??mit d'una funci?? a l'infinit

[edita] L??mits finits

[edita] L??mits infinits

[edita] Exemples

[edita] Lligam entre els l??mits de successions i de funcions

[edita] Complements

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es