Integral de superf??cie

De Viquip??dia

En matem??tiques, una integral de superf??cie ??s una integral definida calculada sobre una superf??cie (la qual pot ser corbada); Es pot pensar en la relaci?? entre la integral de superf??cie i la integral doble com l???equivalent en dues dimensions de la relaci?? entre la integral curvil??nia i la integral normal. Donada una superf??cie, es pot integrar sobre ella camps escalars (es a dir funcions que a cada punt de l???espai li assignen un nombre) i camps vectorials (es a dir funcions que a cada punt de l???espai li assignen un vector

Les integrals de superf??cie tenen aplicaci?? en f??sica, per exemple en la teoria cl??ssica del electromagnetisme.

La definici?? de la integral de superf??cie descansa en dividir la superf??cie en petits elements de superf??cie.

Una il???lustraci?? de un element de superf??cie individual. Aquests elements es fan infinitesimalment petits de forma que la uni?? de tots ells aproximen la superf??cie amb un error que tendeix a zero.

Taula de continguts

1 Integrals de superf??cie i camps escalars
2 Integrals de superf??cie de camps vectorials
3 Integrals de superf??cie de 2-formes diferencials
4 Teoremes que impliquen integrals de superf??cie
5 Questions avan??ades
6 Vegeu tamb??
7 Enlla??os externs

[edita] Integrals de superf??cie i camps escalars

Sia una superf??cie S sobre la que hi ha definit un camp escalar f. Per exemple la pot??ncia calor??fica per unitat de superf??cie radiada en cada punt x de S, el nombre f(x) ??s la densitat de pot??ncia a x, llavors la integral de superf??cie de f sobre S ??s la pot??ncia total radiada per la superf??cie S. Una forma de calcular la integral de superf??cie ??s partir la superf??cie en mols bocins petits, suposar que a cada boc?? la densitat de pot??ncia emesa ??s pr??cticament constant, trobar la pot??ncia emesa per cada boc?? multiplicant la densitat de pot??ncia per la seva ??rea, y, finalment, sumant les potencies emeses per tots els elements de superf??cie per trobar la potencia total emesa per tota la superf??cie S'.

Per trobar una f??rmula expl??cita que permeti calcular una integral de superf??cie, cal parametritzar S construint sobre S un sistema de coordenades curvil??nies (com la latitud i la longitud en una esfera), sia aquesta parametritzaci?? x(s, t), on (s, t) varia en alguna regi?? T del pla. Llavors, la integral de superf??cie ve donada per

$\int_S f \,dS = \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right| ds\, dt$

On l???expressi?? de la dreta entre barres ??s la magnitud del producte vectorial de les derivades parcials x(s, t).

Per exemple, si es vol calcular l?????rea superficial del gr??fic d???una funci?? de dues variables qualsevol, com $z=f\,(x,y)$ , es t??

$A = \int_S \,dS = \iint_T \left|{\partial \mathbf{r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right| dx\, dy$

on $\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))$ . Per tant, ${\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, f_x(x,y))$ , i ${\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, f_y(x,y))$ . Per tant,

$\begin{align} A &{} = \iint_T \left|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right| dx\, dy \\ &{} = \iint_T \left|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right| dx\, dy \\ &{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, dx\, dy \end{align}$

Que ??s la f??rmula habitual per a calcular l?????rea d???una superf??cie. Es pot recon??ixer el vector de la segona l??nia de dalt com el vector normal a la superf??cie.

Fixeu-vos que degut a la pres??ncia del producte vectorial, les f??rmules anteriors nom??s s??n v??lides per superf??cies en un espai tridimensional.

[edita] Integrals de superf??cie de camps vectorials

Un camp vectorial sobre una superf??cie.

Sia un camp vectorial v en S, es a dir, per a cada x de S, v(x) ??s un vector. Per exemple, en el cas d???un fluid que flueix a traves de S, de forma que v(x) determina la velocitat del fluid a x. El cabal es defineix com el volum de fluid que passa a traves de S per cada unitat de temps.

Aquesta il???lustraci?? implica que si el camp vectorial ??s tangent a S a cada punt, llavors el cabal ??s zero, perqu?? el fluid flueix precisament en paral???lel a S, i ni entra ni surt. Aix?? tamb?? implica que si v no flueix precisament al llarg de S, es a dir, si v t?? tant un component tangencial com un component normal, llavors nom??s el component normal contribueix al cabal. En base en aquest raonament, per a calcular el cabal, cal calcular el producte escalar de v pel vector unitari normal a la superf??cie S a cada punt, aquest producte donar?? un camp escalar, i llavors integrant el camp obtingut tal com s???ha fet abans. Es troba la f??rmula

$\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) ds\, dt.$

El producte vectorial de la ma dreta ??s una normal a la superf??cie determinat per la parametritzaci??.

Aquest f??rmula ??s per definici?? la integral del camp vectorial vsobre S.

[edita] Integrals de superf??cie de 2-formes diferencials

Sia

$f=f_{1} dx \wedge dy + f_{2} dy \wedge dz + f_{3} dz \wedge dx$

una 2-forma diferencial definida sobre la superf??cie S,i sia

$\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!$

Una parametritzaci?? que preserva la orientaci?? de S amb $(s, t)$ en D. Llavors, la integral de superf??cie de f sobre S ve donada per

$\iint_D \left[ f_{1} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} + f_{2} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{3} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} \right]\, ds dt$

${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)$

??s la superf??cie normal a S.

Cal fixar-se que la integral de superf??cie d???aquesta 2-forma diferencial ??s la mateixa que la integral de superf??cie de del camp vectorial que t?? per components $f 1$ , $f 2$ i $f 3 .$

[edita] Teoremes que impliquen integrals de superf??cie

Emprant geometria diferencial i c??lcul vectorial es poden obtenir diversos resultats ??tils per les integrals de superf??cie tals com el teorema de la diverg??ncia, i la seva generalitzaci??, el, teorema de Stokes.

[edita] Questions avan??ades

Fixeu-vos que s???ha definit la integral de superf??cie emprant una parametritzaci?? de la superf??cie S. ??s sabut que una superf??cie pot tenir moltes parametritzacions. Per exemple, si es canvien les localitzacions dels pols nord i sud d???una esfera, la latitud i la longitud de tots els punts de l???esfera canvien. Una q??esti?? natural ??s en quins casos la integral de superf??cie dep??n de la parametritzaci?? escollida. Per a integrals de camps escalars la resposta a aquesta q??esti?? ??s simple, el valor de la integral de superf??cie ser?? el mateix, no importa quina parametritzaci?? es faci servir.

Per a integrals de camps vectorials, les coses s??n m??s complicades, degut a que la normal a la superf??cie hi est?? implicada. Es pot demostrar que donades dues parametritzacions de la mateixa superf??cie, tals que les seves normals apunten cap a la mateixa direcci??, s???obt?? el mateix valor per a la integral de superf??cie amb les dues parametritzacions. EN canvi, si les normals d???aquestes parametritzacions apunten cap a direccions oposades, el valor de la integral de superf??cie obtinguda emprant una parametritzaci?? ??s el negatiu de l??? obtingut via l???altre parametritzaci??. En conseq????ncia, donada una superf??cie, no cal buscar cap parametritzaci?? singular; per??, quant s???integren camps vectorials, cal decidir per avan??ada en quina direcci?? apuntar?? la normal i llavors triar alguna parametritzaci?? consistent amb aquella direcci??.

Un altre assumpte ??s que de vegades hi ha superf??cies que no tenen parametritzacions que cobreixin tota la superf??cie; aix?? passa per exemple en la superf??cie d???un cilindre (cal una parametritzaci?? per la superf??cie corba i dues m??s, una per cada una de les bases planes). La soluci?? obvia llavors ??s partir a superf??cie en diversos bocins, calcular la integral de superf??cie en cada boc??, i llavors sumar-los tots. Aix?? ??s com s???ha de fer, per?? en integrar camps vectorials, altre cop cal anar en compte amb com es tria la direcci?? cap a on apunten els vectors normals de cada boc?? de superf??cie, de forma que quan els bocins s???ajunten altre cop, els resultats siguin consistents. Pel cas d???un cilindre, aix?? significa que si es decideix que per la regi?? lateral la normal apuntar?? cap a fora del cos, llavors la normal de les bases circulars tamb?? ha d???apuntar cap a fora del cos.

Finalment, hi ha superf??cies que no admeten una normal a cada punt amb resultats consistents (per exemple la banda de M??bius. D???aquest tipus de superf??cies se???n diu no orientables, i en aquesta clase de superf??cies no es pot parlar d???integrar camps vectorials.

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Enlla??os externs

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa

Categories: Extensions de la integral | C??lcul vectorial

Integral de superf??cie

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Integrals de superf??cie i camps escalars

[edita] Integrals de superf??cie de camps vectorials

[edita] Integrals de superf??cie de 2-formes diferencials

[edita] Teoremes que impliquen integrals de superf??cie

[edita] Questions avan??ades

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Enlla??os externs

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es