Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Gradient - Viquip??dia

Gradient

De Viquip??dia

Un gradient d'un camp escalar en un punt ??s el vector definit com l'??nic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcci?? com a


\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n

on \hat n ??s un vector unitari i \partial\phi/\partial n la derivada direccional de ?? en la direcci?? de \hat n (que informa sobre la ra?? de variaci?? del camp escalar al despla??ar-nos segons aquesta direcci??):


\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0} 
\frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon}

Una forma equivalent de definir el gradient ??s com l'??nic vector que, multiplicat per qualsevol despla??ament infinitesimal, d??na el diferencial del camp escalar


d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r

Amb la definici?? anterior, el gradient est?? caracteritzat de forma un??voca.

El gradient s'expressa alternativament mitjan??ant l'??s de l'operador nabla


{\rm grad}\phi = \nabla\phi

[edita] Expressi?? en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definici?? de gradient, es pot trobar l'expressi?? en diferents sistemes de coordenades. Aix??, en coordenades cartesianes, ??s

\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}},  
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix}

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjan??ant l'expressi??


\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1
+\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+
\frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3

Per coordenades cil??ndriques (h?? = hz = 1, h_\varphi=\rho) resulta


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+
\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

i finalment per coordenades esf??riques (hr = 1, h?? = r, h_\varphi=r {\rm sin}\theta)


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r}
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+
\frac{1}{r\,{\rm sin}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}

[edita] Exemple

Donada la funci?? ?? = 2x + 3y2 ??? sin(z), el seu gradient associat ??s:

\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}},  
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}.

[edita] Vegeu tamb??