Gradient
De Viquip??dia
Un gradient d'un camp escalar en un punt ??s el vector definit com l'??nic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcci?? com a
on ??s un vector unitari i
la derivada direccional de ?? en la direcci?? de
(que informa sobre la ra?? de variaci?? del camp escalar al despla??ar-nos segons aquesta direcci??):
Una forma equivalent de definir el gradient ??s com l'??nic vector que, multiplicat per qualsevol despla??ament infinitesimal, d??na el diferencial del camp escalar
Amb la definici?? anterior, el gradient est?? caracteritzat de forma un??voca.
El gradient s'expressa alternativament mitjan??ant l'??s de l'operador nabla
[edita] Expressi?? en diferents sistemes de coordenades
A partir de la definici?? de gradient, es pot trobar l'expressi?? en diferents sistemes de coordenades. Aix??, en coordenades cartesianes, ??s
En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjan??ant l'expressi??
Per coordenades cil??ndriques (h?? = hz = 1, ) resulta
i finalment per coordenades esf??riques (hr = 1, h?? = r, )
[edita] Exemple
Donada la funci?? ?? = 2x + 3y2 ??? sin(z), el seu gradient associat ??s: