Geometria riemanniana
De Viquip??dia
En geometria diferencial, la geometria riemanniana ??s l'estudi de les varietats diferencials amb m??trica de Riemann, ??s a dir, d'una aplicaci?? que a cada punt de la varietat li assigna una forma quadr??tica definida positiva al seu espai tangent, una aplicaci?? que varia lleugerament d'un punt a un altre. Aix?? d??na lloc a idees locals de (entre d'altres magnituds) angle, longitud de corba i de volum. A partir d'aquestes magnituds, es poden obtenir altres magnituds per integraci?? de les magnituds locals.
Aix?? va ser proposat de forma general per primera vegada per Bernhard Riemann durant el segle XX. Com a casos especials particulars apareixen els dos tipus convencionals (geometria el??l??ptica i geometria hiperb??lica) de geometria no euclidiana i tamb?? la geometria euclidiana. Totes aquestes geometries s??n tractades sobre la mateixa base, de la mateixa manera que una ??mplia gamma de geometries amb propietats m??triques que varien de punt a punt.
Qualsevol varietat diferenciable admet una m??trica de Riemann i aquesta estructura adicional sovint ajuda a solucionar problemes de topologia diferencial. Tamb?? serveix com a nivell d'entrada per a l'estructura m??s complicada de les varietats pseudo-Riemann, les quals (en el cas particular de tenir dimensi?? 4) s??n objectes principals de la teoria de la relativitat.
No hi ha una introducci?? f??cil a la geometria riemanniana, ara b??, els seg??ents articles poden fer-ne la funci??:
- Tensor m??tric
- Varietat de Riemann
- Connexi?? de Levi-Civita
- Curvatura
- Tensor de curvatura
[edita] Teoremes cl??ssics de la geometria riemanniana
Ara ve una llista no completa dels teoremes m??s cl??ssics de la geometria riemanniana. L'elecci?? s'ha fet depenent de la seva import??ncia i la seva simplicitat de la formulaci??.
[edita] Teoremes generals
- Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en una varietat riemanniana compacta de 2 dimensions ??s igual a 2????(M), aqu?? ??(M) denota la caracter??stica d'Euler de M.
- Teorema d'immersi?? de Nash tamb?? anomenat Teorema Fonamental de la geometria riemanniana. Indica que cada varietat de Riemann pot estar isom??tricament submergida en un espai euclidi?? Rn.
