Geometria euclidiana
De Viquip??dia
La geometria euclidiana ??s la part de la geometria que estudia els objectes o figures i les seves relacions en un espai on es compleixen els cinc postulats d'Euclides i les cinc nocions comunes.
Aquests postulats i nocions comunes varen ser recollides en un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria que constava de tretze llibres i que es deia els Elements
La caracter??stica fonamental de la geometria euclidiana ??s, pel cas del pla, l'exist??ncia i unicitat d'una recta paral??lela a un recta donada que passi per un punt determinat exterior a la recta. Per a dimensions superiors es poden enunciar proposicions an??logues.
Taula de continguts |
[edita] Les nocions comunes i els postulats d'Euclides
Les cinc nocions comunes enunciades per Euclides fan refer??ncia a la magnitud. Serveixen per a calcular la longitud de rectes, angles, ??rees, arcs de circumfer??ncia, etc.
Les cinc nocions comunes s??n:
- Coses iguals a una mateixa cosa, s??n iguals entre elles.
- Si a coses iguals s'afegeixen coses iguals, els totals seran iguals.
- Si de coses iguals se'n resten coses iguals, les difer??ncies seran iguals.
- Coses iguals que coincideixin a una tercera s??n iguals entre elles.
- El tot ??s major que les parts.
Els cinc postulats d'Euclides s??n enunciats senzills i evidents de la geometria plana. El fet que siguin evidents en fa impossible una demostraci?? absolutament rigurosa i s'admeten com a certs sense necessitat de demostrar-los.
Els cinc postulats s??n els seg??ents:
- Dos punts diferents es poden unir per una recta.
- Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjan??ant una recta.
- Donats un segment rectilini i un punt qualsevols, existeix una circumfer??ncia de centre aquest punt i radi el segment donat.
- Tots els angles rectes s??n iguals.
- Si dues rectes intersecten amb un tercera de manera que la suma dels angles interiors a un costat ??s menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.
El cinqu?? postulat, anomenat de les paral??leles, tradicionalment s'ha substitu??t pel postulat equivalent: Donats una recta i un punt exterior a la recta, existeix una ??nica recta que cont?? aquest punt i que ??s paral??lela a la recta donada.
M??s endavant es va veure que faltaven postulats. Per exemple, Euclides assumeix que una recta cont?? al menys dos punts. Aquest resultat, que no pot ser dedu??t dels cinc postulats anteriors, ??s doncs necess??riament, un altre postulat. Aquest fet, va fer que a partir del segle XIX ??s proposessin nous sistemes axiom??tics m??s consistents. Els m??s coneguts s??n els de Hilbert, Birkhoff i Tarski.
[edita] Els Elements
Els Elements ??s un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria a principis del segle III aC on es descriu el primer sistema formal de geometria. Ha sigut un dels llibres m??s influents i revolucionaris en les matem??tiques, tant pel m??tode utilitzat com pel seu contingut. El m??tode consistia en assumir com a certs una petita llista d'enunciats (postulats o axiomes) i a partir d'ells deduir altres propietats m??s complexes. Encara que molts dels resultats que apareixen als Elements ja eren coneguts per matem??tics anteriors a Euclides, ??s ell el primer que els inclou tots dins d'una mateixa estructura l??gica d'on en pot ser dedu??da la seva veracitat.
El llibre tracta de la geometria plana, de s??lids en tres dimensions i fa una extensa discussi?? sobre les magnituds des d'un punt de vista geom??tric. En posterioritat algun d'aquests resultats formaran part del que es coneix com a teoria de nombres.
[edita] El postulat de les paral??leles
Dels cinc postulats d'Euclides n'hi ha un que sobresurt respecte els altres per la seva complexitat. Mentre que els quatre primers s??n nocions molt simples i evidents, la veracitat del cinqu?? postulat ??s, a priori, m??s discutible. D'aquest fet se'n van adonar molts matem??tics que creien que era possible deduir-lo dels quatre anteriors i, per tant, podia ser eliminat. Es creu que el mateix Euclides tamb?? n'era conscient, perqu?? estructura les proposicions dels Elements de manera que les primeres no necessiten el cinqu?? postulat per ser demostrades i les darreres s??. Tots els intents posteriors van ser en va. Fins el 1763, es van publicar almenys 28 demostracions diferents del cinqu?? postulat, per?? totes eren incorrectes.
[edita] La geometria euclidiana anal??tica
Gr??cies a Descartes i l'??s de coordenades, a partir del segle XVII va ser possible comen??ar a estudiar la geometria utilitzant els principis de l'??lgebra. Va ser un fet revolucionari que va permetre descobrir nous resultats i facilitar-ne la demostraci?? d'altres. Eren els inicis de la geometria anal??tica.
[edita] Extensi?? a d'altres dimensions
Tot i que els postulats d'Euclides eren per la geometria plana, es podien extendre a tres dimensions fent reformulacions an??logues.
Per exemple, el tercer postulat diu: Donats un segment rectilini i un punt qualsevols, existeix una circumfer??ncia de centre aquest punt i radi el segment donat. Aquest postulat pot ser reformulat en l'espai de tres dimensions de la seg??ent manera: Donats un segment rectilini i un punt qualsevols, existeix una esfera de centre aquest punt i radi el segment donat.
Per a dimensions superiors el procediment ??s similar i se'n poden deduir resultats equivalents.
[edita] La geometria no euclidiana
L'enigma al voltant del postulat de les paral??leles va ser resolt definitivament el 1829 pel matem??tic rus Lobachevsky en publicar un tractat en geometria hiperb??lica. Fins aquell moment i durant m??s de dos mil anys, l'adjectiu euclidiana per referir-nos a la geometria havia sigut innecessari car era l'??nic tipus de geometria conegut.
La geometria hiperb??lica considera que per un punt exterior a una recta hi passen m??s d'una recta paral??lela. Posteriorment, Riemann, a m??s a m??s de treballar en la geometria hiperb??lica, va descobrir la geometria el??l??ptica, que estableix que per un punt exterior a una recta no hi passa cap recta paral??lela, o en altres paraules, que no existeixen rectes paral??leles. Naixia la geometria no euclidiana, que negava el cinqu?? postulat d'Euclides.
Definitivament, el cinqu?? postulat era necessari, ja que a partir d'un postulat alternatiu totalment diferent se'n podien deduir propietats i resultats geom??trics totalment consistents amb les noves regles l??giques.
Per exemple, l'enunciat que la suma dels angles d'un triangle ??s de 180?? nom??s ??s v??lid per la geometria euclidiana. En la geometria hiperb??lica aquesta suma ??s sempre inferior a 180?? i pot aproximar-se a 0, mentre que en la geometria el??l??ptica la suma ??s superior a 180??.
El descobriment de la geometria no euclidiana va tenir implicacions en la f??sica durant el segle XX. Per exemple, donada la limitaci?? de la velocitat de la llum, la suma de velocitats necessita l'??s de la geometria hiperb??lica, i la Teoria de la Relativitat d'Einstein descriu l'espai normalment com a una forma plana (??s a dir, euclidi??) per?? amb curvatura el??l??ptica (??s a dir, no euclidi??) en les regions properes on hi ha mat??ria.
