Funci?? de Weierstrass

De Viquip??dia

Gr??fica de la funci?? de Weierstrass a l???interva [???2, 2]. La funci?? t?? un comportament fractal: cada zoom (cercle vermell) ??s semblant a la gr??fica global.

En matem??tiques, la funci?? de Weierstrass ??s un exemple patol??gic de una funci?? real. Aquesta funci?? t?? la propietat de que ??s cont??nua a tot arreu per?? no ??s derivable en lloc. Rep aquest nom en honor al seu descobridor Karl Weierstrass. Hist??ricament, la funci?? de Weierstrass ??s important, perqu?? va ser el primer exemple publicat d???una funci?? que desmenteix la noci?? de que tota funci?? cont??nua havia de ser derivable excepte en un conjunt de punts a??llats.

[edita] Construcci?? de la funci?? de Weierstrass

A l???article original de Weierstrass, la funci?? es definia com

on 0 < a < 1, b ??s un enter parell positiu, i

Aquesta construcci??, conjuntament amb la demostraci?? de que no ??s derivable enlloc, va ser donada per primer cop per Weierstrass en un article presentat a la 'K??nigliche Akademie der Wissenschaften' el 18-07-1872.

La demostraci?? de que aquesta funci?? ??s cont??nua a tot arreu ??s elemental. Donat que els termes de la s??rie infinita que la defineix s??n afitats pels termes de la successi?? i la s??rie que es forma amb els termes d???aquesta successi?? ??s convergent per a 0 < a < 1, la converg??ncia uniforme d???aquesta s??rie est?? garantida pel Test M de Weierstrass amb M_n = aⁿ. Com que cada suma parcial ??s cont??nua i el l??mit uniforme d???una funci?? cont??nua ??s continu, f ??s cont??nua.

Per a demostrar que no ??s derivable enlloc, es considera un punt arbitrari i es domestra que la funci?? no ??s derivable en aquest punt. Per a fer-ho, es construeixen dues successions de punts x_n i x'_n que s??n totes dues convergents cap a x, i tenen la propietat de que

Ing??nuament, es podria esperar que una funci?? cont??nua hagu??s de tenir una derivada, o que el conjunt de punts on no fos derivable hagu??s de ser 'petit' en algun sentit. Segons en Weierstrass en el seu article, els matem??tics anteriors, incloent-hi Gauss sovint havien suposat que aix?? era cert. Aix?? devia ser degut a que ??s dif??cil de dibuixar o visualitzar una funci?? cont??nua tal que el conjunt de punts on no ??s derivable sigui altre cosa que un conjunt finit de punts. Resultats an??legs existeixen per a classes de funcions amb exig??ncies m??s estrictes en el comportament pel que fa a continu??tat, les exemple les funcions Lipschitz cont??nues, per a les quals el conjunt de punts on no ??s derivable ha de tenir una mesura de Lebesgue nul???la. Quant es dibuixa la gr??fica d???una funci?? cont??nua qualsevol, normalment el que es dibuixa ??s una funci?? que ??s Lipschitz cont??nua i que t?? altres propietats atractives.

La funci?? de Weierstrass poder es podria descriure com un dels fractals m??s antics, tot i que aquest terme no es va fer servir fins molt m??s tard. La funci?? t?? detall a tots els nivells, aix?? en ampliar un boc?? de la corba no es presenta esdevenint cada cop m??s i m??s propera a una l??nia recta. Sin?? que entre qualsevol parell de punts, no importa lo propers que estiguin entre ells, la funci?? no ser?? mon??tona. Kenneth Falconer en el seu llibre 'The Geometry of Fractal Sets' (La Geometria dels Conjunts Fractls), observa que la dimensi?? Hausdorff de la funci?? de Weierstrass cl??ssica ??s afitada per damunt per , (on a i b s??n les constants de la construcci?? de m??s amunt) i generalment es creu que ??s exactament aquest valor, per?? aix?? no ha estat demostrat rigorosament.

El terme funci?? de Weierstrass sovint ??s emprat en an??lisi real per a funcions amb propietats i sistema de construcci?? similars als del exemple original de Weierstrass. Per exemple, la funci?? cosinus, es pot substituir en la s??rie infinita per una funci?? lineal a trossos fent ziga-zaga. En G.H. Hardy ha demostrat que la funci?? constru??da aix?? no ??s derivable enlloc si 0 < a < 1, (Hardy G.H., Weierstrass's nondifferentiable function, Trans - Amer. Math. Soc, 17(1916), 301-325).

[edita] Densitat de les funcions no derivables enlloc

Resulta que la funci?? de Weierstrass est?? lluny de ser un exemple a??llat: tot i que ??s "patol??gic", tamb?? ??s "t??pic" de les funcions cont??nues:

• En un sentit topol??gic: es pot demostrar que el conjunt de les funcions reals en [0, 1] no derivables enlloc ??s un conjunt dens en l???espai vectorial C([0, 1]; R) de totes les funcions reals cont??nues en [0, 1] amb la topologia de la converg??ncia uniforme.
• En el sentit de la Teoria de la mesura: quant l???espai C([0, 1]; R) ??s dotat de la mesura cl??ssica de Wiener ??, el conjunt de funcions que s??n derivables en un o m??s punts de [0, 1] t?? ??-mesura zero. Aix?? ??s cert fins i tot si es prenen "llesques" de dimensi?? finita de C([0, 1]; R): el conjunts de les funcions que no s??n derivables enlloc formen un subconjunt prevalent de C([0, 1]; R).

[edita] Refer??ncies

• B.R. Gelbaum and J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher (June 1964).
• Karl Weierstrass, ??ber continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die f??r keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
• G.H. Hardy, Weierstrass's nondifferentiable function, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
• K. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Oxford (1984).

[edita] Enlla??os externs

• Weierstrass function on MathWorld (angl??s)
• Nowhere differentiable continuous function proof of existence using Banach's Contraction Principle. (angl??s)
• Nowhere monotonic continuous function proof of existence using the Baire Category Theorem. (angl??s)
• Johan Thim. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. Data d'acc??s 28 July, 2006.(angl??s)
• Weierstrass function in the complex plane Beautiful fractal. (angl??s)