Funci?? caracter??stica (teoria de la probabilitat)
De Viquip??dia
En teoria de la probabilitat, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real ??s una eina matem??tica que proporciona informaci?? completa sobre la distribuci?? de probabilitat de la variable aleat??ria i sovint en facilita l'estudi. A m??s, amb les funcions caracter??stiques es disposa, gr??cies al teorema de continu??tat de L??vy, d'un m??tode senzill i potent per estudiar la converg??ncia en distribuci?? d'una successi?? de variables aleat??ries.
Donada una variable aleat??ria real definida sobre un espai de probabilitat
, la seva funci?? caracter??stica ??s la funci??
(??s a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relaci?? seg??ent (on
, i2 = ??? 1 i
denota l'operador esperan??a) :

[edita] Expressions de la funci?? caracter??stica
[edita] Expressions integrals generals
Per definici?? de :
Denotant per la distribuci?? de probabilitat de la variable aleat??ria X :
- (segons el teorema de la mesura imatge)
Remarques :
- es tracta aqu?? d'integrals de Lebesgue ;
- la definici?? (1) t?? sentit perqu?? per a tot real t, la variable aleat??ria complexa
-
- ??s fitada (t?? m??dul 1) i per tant ??s integrable respecte a la mesura de probabilitat
;
- l'equaci?? (2) significa que la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real X ??s la transformada de Fourier de la seva distribuci?? de probabilitat
, mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable)
, on
??s la sigma-??lgebra de Borel de
[edita] Casos particulars importants
- Quan X ??s discreta, amb valors xk tals que per a tot k,
aleshores :
- (suma finita o s??rie absolutament convergent)
- Quan X ??s absolutament cont??nua, amb funci?? de densitat de probabilitat fX aleshores :
- (integral de Lebesgue ; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)
[edita] Propietats elementals
La funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real X :
- compleix la relaci?? :
- ??s fitada :
- ??s uniformement cont??nua en
- ??s herm??tica :
(on
??s el conjugat del nombre complex z)
- compleix la identitat :
- i en particular :
;
- per tant si X i ??? X tenen la mateixa distribuci?? (dita sim??trica), la funci??
??s parella amb valors reals
(la tercera propietat es dedueix del teorema de la converg??ncia dominada ; les altres s??n immediates)
i per tant :
;
.
Ara b?? :
- i a m??s
Aleshores pel teorema de converg??ncia dominada (at??s que la variable aleat??ria constant amb valor 2 ??s integrable):
.
[edita] Exemples cl??ssics
[edita] Distribuci?? degenerada
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? degenerada de valor ?? (??s a dir : ; X ??s constant quasi segurament) aleshores :
[edita] Distribuci?? binomial
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? binomial (on
) aleshores :
d'on es dedueix (f??rmula del binomi de Newton):
[edita] Distribuci?? de Bernoulli
En particular, si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Bernoulli (on
) aleshores :
[edita] Distribuci?? geom??trica
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? geom??trica (on
) aleshores :
[edita] Distribuci?? de Poisson
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Poisson (on
) aleshores :
[edita] Distribuci?? uniforme cont??nua
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? uniforme cont??nua (on
i a < b) aleshores :
si
, i
.
En particular, si X segueix la distribuci?? (on
) aleshores :
si
, i
.
[edita] Distribuci?? exponencial
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? exponencial (on
) aleshores :
[edita] Distribuci?? normal est??ndard
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? normal est??ndard aleshores :



;
en integrar per parts :
.
Per tant, en resoldre aquesta equaci?? diferencial :
Per fi : , Q.E.D.
[edita] Distribuci?? de Cauchy sim??trica
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Cauchy sim??trica (on
) aleshores :
Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (an??lisi complexa).



Per a tot real R tal que R > 0, sigui el semidisc compacte
la vora del qual ??s , on ??R ??s el semicercle
.
Suposant R > ?? , el pol ??s l'??nic punt singular de la funci?? g en ??R ; per tant, segons el teorema dels residus, si R > ?? :
.
Si , aleshores
quan
.
En efecte : si i
,
,
i per tant, si R > ?? :
.
Per a tot real positiu t, passant al l??mit quan , s'obt?? :
.
Altrament dit :
.
Com que la distribuci?? estudiada ??s sim??trica, la funci?? ??s parella, i se'n dedueix :
, Q.E.D.
[edita] Aplicacions
[edita] Cas de la distribuci?? normal general
Sigui una variable aleat??ria X amb distribuci?? normal (on
). Aleshores :
.
segueix la distribuci?? normal est??ndard . Per tant (vegeu supra) :
.
Com que , se'n dedueix que :
.
[edita] Cas de la distribuci?? de Cauchy general
Sigui una variable aleat??ria X amb distribuci?? de Cauchy (on
). Aleshores :
.
segueix la distribuci?? de Cauchy sim??trica . Per tant (vegeu supra) :
.
Com que , se'n dedueix que :
.
[edita] Perqu?? la funci?? caracter??stica ??s anomenada aix??
Com el seu nom ho indica, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria (real) en caracteritza la distribuci?? de probabilitat : dues variables aleat??ries segueixen la mateixa distribuci?? si i nom??s si tenen la mateixa funci?? caracter??stica (??s el teorema d'unicitat ; vegeu infra).
Per aquesta ra??, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria X tamb?? ??s anomenada funci?? caracter??stica de la distribuci?? d'X. Per exemple, es pot parlar de la funci?? caracter??stica de la distribuci?? normal.
[edita] Teorema d'inversi??
Donada una variable aleat??ria real X, es denota per FX la seva funci?? de distribuci??. Per a tot parell de punts de continu??tat de FX es compleix la relaci?? seg??ent :
Aix?? ??s una variant probabilista del teorema d'inversi?? de la transformaci?? de Fourier.
[edita] Teorema d'unicitat
El teorema d'inversi?? permet reconstruir (almenys en teoria) la funci?? de distribuci?? d'una variable aleat??ria a partir de la seva funci?? caracter??stica. Una conseq????ncia ??s l'important teorema d'unicitat :
Dues variables aleat??ries reals s??n id??nticament distribu??des si i nom??s si tenen la mateixa funci?? caracter??stica.




El teorema de la mesura imatge (vegeu aqu?? la relaci?? (2)) t?? com a conseq????ncia immediata que si dues variables aleat??ries X i Y s??n id??nticament distribu??des (??s a dir ), aleshores
.
Rec??procament, siguin dues variables aleat??ries X i Y tals que . Aleshores, segons el teorema d'inversi??, per a tot parell
de punts de continu??tat de FX i FY es compleix la relaci?? seg??ent :
Ara b??, les funcions FX, FY s??n creixents, i per tant el conjunt dels punts de discontinu??tat de cadascuna ??s finit o numerable ; per conseg??ent :
- existeix una successi??
de punts de continu??tat de FX i FY tal que
;
- per a tot real x existeix una successi??
de punts de continu??tat de FX i FY que convergeix cap a x per la dreta.
Per a tot parell d'enters naturals :
Passant al l??mit quan , com que
, se'n dedueix :
Finalment, passant al l??mit quan , com que
per la dreta i que FX, FY s??n cont??nues per la dreta en tot punt :
; altrament dit :
.

[edita] Utilitzaci?? pr??ctica
El m??s sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera seg??ent per determinar la distribuci?? de probabilitat d'una variable aleat??ria real X : es calcula la funci?? caracter??stica i es reconeix la funci?? caracter??stica d'una distribuci?? cl??ssica que ??s, per tant, la distribuci?? de X (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).
[edita] Funci?? caracter??stica de la suma de variables aleat??ries independents
[edita] Suma de dues variables aleat??ries independents
Donades dues variables aleat??ries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relaci?? seg??ent :
.
En efecte,
.
At??s que X i Y s??n independents, tamb?? ho s??n, per a tot real t, les variables aleat??ries i
; per tant :
.
Remarca : el rec??proc ??s fals. Existeixen variables aleat??ries no independents les funcions caracter??stiques de les quals compleixen aquesta relaci??. Heus aqu?? un exemple ben conegut : donada una variable aleat??ria X amb distribuci?? de Cauchy sim??trica :
Per?? ??s clar que X i X no s??n independents.
[edita] Generalitzaci??
Donades n variables aleat??ries reals independents (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relaci?? seg??ent :
- (per conseg??ent, el producte de funcions caracter??stiques tamb?? ??s una funci?? caracter??stica).
Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convoluci?? ??s el producte ordinari de les transformades de Fourier.
Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relaci?? precedent s'interpreta aix?? : si les variables aleat??ries s??n independents, aleshores :
: la distribuci?? de probabilitat de la suma ??s el producte de convoluci?? de les distribucions dels termes.
Per determinar la distribuci?? de la suma, els dos punts de vista (producte de convoluci?? de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions caracter??stiques) s??n matem??ticament equivalents. Tanmateix, el m??tode de les funcions caracter??stiques ??s generalment m??s simple d'utilitzar.
[edita] Aplicaci?? : estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat
Siguin n variables aleat??ries reals independents .
- si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? binomial
, aleshores
segueix la distribuci?? binomial
- si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? de Poisson
, aleshores
segueix la distribuci?? de Poisson
- si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? normal
, aleshores
segueix la distribuci?? normal
- si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? de Cauchy
, aleshores
segueix la distribuci?? de Cauchy
- on
.


[edita] Funci?? caracter??stica i moments
Sigui una variable aleat??ria real X.
[edita] Teorema directe
Si el moment d'ordre m de X existeix (finit), aleshores :
- la funci?? caracter??stica
??s de classe
en
, i per tant :
, on
.
[edita] Rec??proc (parcial)
Si ??s m vegades derivable en el punt 0, aleshores :
- per a tot natural k tal que
el moment d'ordre k de X existeix i :
En particular, si ??s infinitament derivable en el punt 0, aleshores tots els moments de X existeixen.
[edita] Exemple
Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Poisson , la seva funci?? caracter??stica ??s infinitament derivable en
: tots els moments de X existeixen. Es comprova f??cilment que :
.
Per tant :
,
, i
(tamb?? es poden calcular directament com a sumes de s??ries convergents).
[edita] Teorema de continu??tat de L??vy
Aquest teorema permet estudiar la converg??ncia en distribuci?? de les successions de variables aleat??ries per mitj?? de la converg??ncia puntual de les seves funcions caracter??stiques.
[edita] Enunciat
Una successi?? de variables aleat??ries reals convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria real X si i nom??s si :
quan
, on
??s una funci?? cont??nua en el punt 0.
En aquest cas, ??s la funci?? caracter??stica de X.
[edita] Versi?? m??s simple
Una successi?? de variables aleat??ries reals convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria real X si i nom??s si :
quan
.
La segona versi?? exigeix que sigui coneguda per endavant la distribuci?? l??mit.
[edita] Utilitzacions
Heus aqu?? unes quantes aplicacions cl??ssiques del teorema de continu??tat de L??vy.
[edita] Teorema del l??mit central
Una aplicaci?? cl??ssica del teorema de continu??tat de L??vy ??s la prova del teorema del l??mit central.
[edita] Teorema de converg??ncia de Poisson
Una segona aplicaci?? cl??ssica ??s la prova del teorema de converg??ncia de Poisson :
- Sigui una successi?? real
tal que
(on
) i per a tot n,
.
- Si per a tot n, la variable aleat??ria Xn segueix la distribuci?? binomial
, aleshores la successi??
convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria X amb distribuci??
.
, on
quan
; per tant :
quan
;
- tenint en compte el teorema de continu??tat de L??vy, aix?? acaba la prova.
[edita] Llei feble dels grans nombres
Una tercera aplicaci?? cl??ssica ??s la prova de la llei feble dels grans nombres per a variables aleat??ries integrables (??s a dir amb esperan??a finita) i independents. S'enuncia aix?? :
- Donada una successi??
de variables aleat??ries reals (definides sobre el mateix espai de probabilitat) independents i id??nticament distribu??des (abreujadament i.i.d), amb esperan??a finita, es posa :
.
- Si es defineix per a tot n :
, on
,
- aleshores la successi??
convergeix en distribuci?? cap a la constant ??.
- les variables aleat??ries
tenen la mateixa funci?? caracter??stica que denotem per
(sense ??ndex). Com que per a tot n,
(moment d'ordre 1) existeix :
, on
quan
.
- Per independ??ncia :
.
- Aleshores :
,
- altrament dit :
- i se'n dedueix :
quan
.
- La funci??
??s la funci?? caracter??stica de la variable aleat??ria constant amb valor ?? ; aix?? acaba la prova si es t?? en compte el teorema de continu??tat de L??vy.
Remarca : se sap que la converg??ncia en distribuci?? cap a una constant equival a la converg??ncia en probabilitat cap a la mateixa constant.
[edita] Refer??ncies
- (angl??s) Lukacs (Eugen) ??? Characteristic Functions. Griffin, London, 1960 (primera edici??) ; 1970 (segona edici?? revisada i ampliada).
- (alemany) (franc??s) R??nyi (Alfred) ??? Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang ??ber Informations-theorie. ??? V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962. Traducci?? al franc??s : Calcul des probabilit??s avec un appendice sur la th??orie de l'information. Dunod, Paris, 1966.
- (angl??s) Feller (William) ??? An Introduction to Probability Theory and Its Applications. (vol. 2) ??? John Wiley & Sons, New York, 1971.
[edita] Vegeu tamb??
- Converg??ncia en distribuci??
- Convoluci??
- Funci?? generatriu dels moments
- Moments
- Transformaci?? de Fourier