Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Funci?? caracter??stica (teoria de la probabilitat) - Viquip??dia

Funci?? caracter??stica (teoria de la probabilitat)

De Viquip??dia

En teoria de la probabilitat, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real ??s una eina matem??tica que proporciona informaci?? completa sobre la distribuci?? de probabilitat de la variable aleat??ria i sovint en facilita l'estudi. A m??s, amb les funcions caracter??stiques es disposa, gr??cies al teorema de continu??tat de L??vy, d'un m??tode senzill i potent per estudiar la converg??ncia en distribuci?? d'una successi?? de variables aleat??ries.

Donada una variable aleat??ria real X : \Omega \to \mathbb{R} definida sobre un espai de probabilitat (\Omega,\, \mathcal{B},\, \mathbb{P} ), la seva funci?? caracter??stica ??s la funci?? \varphi_X : \mathbb{R} \to \mathbb{C} (??s a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relaci?? seg??ent (on i \in \mathbb{C} , i2 = ??? 1 i \operatorname{E}(\cdot) denota l'operador esperan??a) :


\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\right) = \operatorname{E}\left(\cos\, (t\, X)\right) + i\, \operatorname{E}\left(\sin\, (t\, X)\right)


Taula de continguts

[edita] Expressions de la funci?? caracter??stica

[edita] Expressions integrals generals

Per definici?? de \varphi_X :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{\Omega} \mathrm{e}^{i\, t\, X}\, d\mathbb{P} = \int_{\Omega} \cos(t\, X)\, d\mathbb{P}\, +\, i\, \int_{\Omega} \sin(t\, X)\, d\mathbb{P}\;\;\,\qquad\qquad\qquad\quad (1)

Denotant per \mathbb{P}_X la distribuci?? de probabilitat de la variable aleat??ria X :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, d\mathbb{P}_X(x) = \int_{\mathbb{R}} \cos(t\, X)\, d\mathbb{P}_X(x)\, +\, i\, \int_{\mathbb{R}} \sin(t\, X)\, d\mathbb{P}_X(x) \qquad (2)
(segons el teorema de la mesura imatge)


Remarques :

  • la definici?? (1) t?? sentit perqu?? per a tot real t, la variable aleat??ria complexa
\mathrm{e}^{i\, t\, X} = \cos\, (t\, X) + i\, \sin\, (t\, X)
??s fitada (t?? m??dul 1) i per tant ??s integrable respecte a la mesura de probabilitat \mathbb{P} ;
  • l'equaci?? (2) significa que la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real X ??s la transformada de Fourier de la seva distribuci?? de probabilitat \mathbb{P}_X, mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable) (\mathbb{R},\, \mathcal{B}_{\mathbb{R}}), on \mathcal{B}_{\mathbb{R}} ??s la sigma-??lgebra de Borel de \mathbb{R}.

[edita] Casos particulars importants

  • Quan X ??s discreta, amb valors xk tals que per a tot k, \mathbb{P}(X = x_k ) = p_k aleshores :
\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) =  \sum_k \mathrm{e}^{i\, t\, x_k}\, p_k
(suma finita o s??rie absolutament convergent)
\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, f_X(x)\, dx
(integral de Lebesgue ; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)

[edita] Propietats elementals

La funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria real X :

  • compleix la relaci?? :
\varphi_X(0) = 1
  • ??s fitada :
\forall\, t \in \mathbb{R},\, |\varphi_X(t)| \leq 1
  • ??s uniformement cont??nua en \mathbb{R}
  • ??s herm??tica :
\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)} (on \overline{z} ??s el conjugat del nombre complex z)
  • compleix la identitat :
\forall\, a \in \mathbb{R},\, \forall\, b \in \mathbb{R},\, \forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{a\,X + b\,}(t) = \mathrm{e}^{i\, b\, t}\, \varphi_X(a\, t)
i en particular : \forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{-X\,}(t) = \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)} ;
per tant si X i ??? X tenen la mateixa distribuci?? (dita sim??trica), la funci?? \varphi_X ??s parella amb valors reals

(la tercera propietat es dedueix del teorema de la converg??ncia dominada ; les altres s??n immediates)

[edita] Exemples cl??ssics

[edita] Distribuci?? degenerada

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? degenerada de valor ?? (??s a dir : \mathbb{P}(X = \mu) = 1 ; X ??s constant quasi segurament) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu}

[edita] Distribuci?? binomial

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? binomial \mathcal{B}(n,\, p) (on n \in \mathbb{N},\, p \in [0,\, 1] ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 0}^n \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, {n \choose k}\, p^k\, (1 - p)^{n - k} = \sum_{k = 0}^n {n \choose k}\, \left(p\, \mathrm{e}^{i\, t}\right)^k\, (1 - p)^{n - k}

d'on es dedueix (f??rmula del binomi de Newton):

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \left(p\, \mathrm{e}^{i\, t} + 1 - p\right)^n

[edita] Distribuci?? de Bernoulli

En particular, si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Bernoulli \mathcal{B}(1,\, p) (on \ p \in [0,\, 1] ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = p\, \mathrm{e}^{i\, t} + 1 - p

[edita] Distribuci?? geom??trica

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? geom??trica \mathcal{G}(p) (on p \in\, ]0,\, 1[\, ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, p\, (1 - p)^{k - 1} = p\, \mathrm{e}^{i\, t}\, \sum_{k = 1}^{+\infty} \left[(1-p)\, \mathrm{e}^{i\, t}\right]^{k - 1} = \frac{p\, \mathrm{e}^{i\, t}}{1 - (1 - p)\, \mathrm{e}^{i\, t}}

[edita] Distribuci?? de Poisson

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Poisson \mathcal{P}(\lambda) (on \lambda \in\, ]0,\, +\infty[\, ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, \mathrm{e}^{-\lambda}\, \frac{\lambda^k}{k\,!} = \mathrm{e}^{-\lambda}\, \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{\left(\lambda\, \mathrm{e}^{i\, t}\right)^k}{k\,!} = \mathrm{e}^{-\lambda}\, \mathrm{e}^{\lambda\, \mathrm{e}^{i\, t}} = \mathrm{e}^{\lambda\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)}

[edita] Distribuci?? uniforme cont??nua

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? uniforme cont??nua \mathcal{U}([a,\, b] ) (on \ a \in \mathbb{R},\, b \in \mathbb{R} i a < b) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_a^b \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{b - a}\, dx = \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, b} - \mathrm{e}^{i\, t\, a}}{i\, (b - a)\, t} si t \neq 0 , i \varphi_X(0) = 1.

En particular, si X segueix la distribuci?? \mathcal{U}([-\alpha,\, +\alpha] ) (on \alpha \in\, ]0,\, +\infty[\, ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \frac{\sin(\alpha\, t)}{\alpha\, t} si t \neq 0 , i \varphi_X(0) = 1.

[edita] Distribuci?? exponencial

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? exponencial \mathcal{E}(\lambda) (on \lambda \in\, ]0,\, +\infty[\, ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \lambda\, \mathrm{e}^{-\lambda\, x}\, dx = \lambda\, \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\lambda - i\, t)\, x}\, dx = \frac{\lambda}{\lambda - i\, t}

[edita] Distribuci?? normal est??ndard

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? normal est??ndard \mathcal{N}(0,\, 1) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\sqrt{2\, \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\, dx = \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}

[edita] Distribuci?? de Cauchy sim??trica

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Cauchy sim??trica \mathcal{C}(0,\, \gamma) (on \gamma \in\, ]0,\, +\infty[\, ) aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\pi}\, \frac{\gamma}{x^2 + \gamma^2}\, dx = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\,t\,|}

Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (an??lisi complexa).

[edita] Aplicacions

[edita] Cas de la distribuci?? normal general

Sigui una variable aleat??ria X amb distribuci?? normal \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2) (on \mu \in \mathbb{R}, \sigma \in\, ]0,\, +\infty[\, ). Aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu\, -\frac{\sigma^2\, t^2}{2}}.

[edita] Cas de la distribuci?? de Cauchy general

Sigui una variable aleat??ria X amb distribuci?? de Cauchy \mathcal{C}(m,\, \gamma) (on m \in \mathbb{R}, \gamma \in\, ]0,\, +\infty[\, ). Aleshores :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, m\, t\, -\,\gamma\, |\,t\,|}.

[edita] Perqu?? la funci?? caracter??stica ??s anomenada aix??

Com el seu nom ho indica, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria (real) en caracteritza la distribuci?? de probabilitat : dues variables aleat??ries segueixen la mateixa distribuci?? si i nom??s si tenen la mateixa funci?? caracter??stica (??s el teorema d'unicitat ; vegeu infra).

Per aquesta ra??, la funci?? caracter??stica d'una variable aleat??ria X tamb?? ??s anomenada funci?? caracter??stica de la distribuci?? d'X. Per exemple, es pot parlar de la funci?? caracter??stica de la distribuci?? normal.

[edita] Teorema d'inversi??

Donada una variable aleat??ria real X, es denota per FX la seva funci?? de distribuci??. Per a tot parell (a,\, b) de punts de continu??tat de FX es compleix la relaci?? seg??ent :

F_X(b) - F_X(a) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi}
  \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{\mathrm{e}^{-i\,t\, a} - \mathrm{e}^{-i\, t\, b}} {i\,t}\, \varphi_X(t)\, dt

Aix?? ??s una variant probabilista del teorema d'inversi?? de la transformaci?? de Fourier.

[edita] Teorema d'unicitat

El teorema d'inversi?? permet reconstruir (almenys en teoria) la funci?? de distribuci?? d'una variable aleat??ria a partir de la seva funci?? caracter??stica. Una conseq????ncia ??s l'important teorema d'unicitat :

Dues variables aleat??ries reals s??n id??nticament distribu??des si i nom??s si tenen la mateixa funci?? caracter??stica.

[edita] Utilitzaci?? pr??ctica

El m??s sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera seg??ent per determinar la distribuci?? de probabilitat d'una variable aleat??ria real X : es calcula la funci?? caracter??stica \varphi_X i es reconeix la funci?? caracter??stica d'una distribuci?? cl??ssica que ??s, per tant, la distribuci?? de X (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).

[edita] Funci?? caracter??stica de la suma de variables aleat??ries independents

[edita] Suma de dues variables aleat??ries independents

Donades dues variables aleat??ries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relaci?? seg??ent :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t)\, \varphi_Y(t).

En efecte,

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, (X + Y)}\right) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\, \mathrm{e}^{i\, t\, Y}\right).

At??s que X i Y s??n independents, tamb?? ho s??n, per a tot real t, les variables aleat??ries \mathrm{e}^{i\, t\, X} i \mathrm{e}^{i\, t\, Y}  ; per tant :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\right) \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, Y}\right) = \varphi_X(t)\, \varphi_Y(t).

Remarca : el rec??proc ??s fals. Existeixen variables aleat??ries no independents les funcions caracter??stiques de les quals compleixen aquesta relaci??. Heus aqu?? un exemple ben conegut : donada una variable aleat??ria X amb distribuci?? de Cauchy sim??trica \mathcal{C}(0,\, \gamma) :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + X}(t) = \varphi_{2 X}(t) = \varphi_{X}(2\, t) = \mathrm{e}^{-2\, \gamma\, |\, t\, |} = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\, t\, |}\, \mathrm{e}^{-\gamma\, |\, t\, |} = \varphi_X(t)\, \varphi_X(t)

Per?? ??s clar que X i X no s??n independents.

[edita] Generalitzaci??

Donades n variables aleat??ries reals independents X_1,\, X_2,\, \dots, X_n (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relaci?? seg??ent :

\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X_1 +\, \cdots\, + X_n}(t) = \prod_{k = 1}^n\varphi_{X_k}(t)
(per conseg??ent, el producte de funcions caracter??stiques tamb?? ??s una funci?? caracter??stica).

Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convoluci?? ??s el producte ordinari de les transformades de Fourier.

Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relaci?? precedent s'interpreta aix?? : si les variables aleat??ries X_1,\, X_2,\, \dots, X_n s??n independents, aleshores :

\mathbb{P}_{X_1 +\, \cdots\, + X_n} = \mathbb{P}_{X_1} \star \cdots \star \mathbb{P}_{X_n} : la distribuci?? de probabilitat de la suma ??s el producte de convoluci?? de les distribucions dels termes.

Per determinar la distribuci?? de la suma, els dos punts de vista (producte de convoluci?? de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions caracter??stiques) s??n matem??ticament equivalents. Tanmateix, el m??tode de les funcions caracter??stiques ??s generalment m??s simple d'utilitzar.

[edita] Aplicaci?? : estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat

Siguin n variables aleat??ries reals independents X_1,\, X_2,\, \dots, X_n.

  • si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? binomial \mathcal{B}(m_k,\, p), aleshores X_1 +\cdots + X_n segueix la distribuci?? binomial \mathcal{B}(m_1 + \cdots + m_n,\, p)
  • si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? de Poisson \mathcal{P}(\lambda_k), aleshores X_1 +\cdots + X_n segueix la distribuci?? de Poisson \mathcal{P}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)
  • si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? normal \mathcal{N}(\mu_k,\, \sigma_k^2), aleshores X_1 +\cdots + X_n segueix la distribuci?? normal \mathcal{N}(\mu_1 + \cdots + \mu_n,\, \sigma_1^2 + \cdots + \sigma_n^2)
  • si per a tot k, Xk segueix la distribuci?? de Cauchy \mathcal{C}(m_k,\, \gamma_k), aleshores X_1 +\cdots + X_n segueix la distribuci?? de Cauchy \mathcal{C}(m_1 + \cdots + m_n,\, \gamma_1 + \cdots + \gamma_n)


[edita] Funci?? caracter??stica i moments

Sigui una variable aleat??ria real X.

[edita] Teorema directe

Si el moment d'ordre m de X existeix (finit), aleshores :

  • la funci?? caracter??stica \varphi_X ??s de classe \operatorname{C}^m en \mathbb{R}
  • \forall\, k \in \{0, \dots, m\},\, \operatorname{E}\left(X^k\right) = (-i)^k\, \varphi_X^{(k)}(0) , i per tant :
  • \forall\, t \in \mathbb{R},\,\varphi_X(t) = \left(\sum_{k = 0}^m \frac{i^k\, \operatorname{E}(X^k)}{k\,!}\, t^k\right) + t^m\, \varepsilon_m(t) , on \varepsilon_m(t) \to 0\text{ quan }t\to 0 .

[edita] Rec??proc (parcial)

Si \varphi_X ??s m vegades derivable en el punt 0, aleshores :

  • per a tot natural k tal que \ 2\, k \leq m el moment d'ordre k de X existeix i :
  • \operatorname{E}\left(X^k\right) = (-i)^k\, \varphi_X^{(k)}(0)

En particular, si \varphi_X ??s infinitament derivable en el punt 0, aleshores tots els moments de X existeixen.

[edita] Exemple

Si la variable aleat??ria X segueix la distribuci?? de Poisson \mathcal{P}(\lambda), la seva funci?? caracter??stica ??s infinitament derivable en \mathbb{R} : tots els moments de X existeixen. Es comprova f??cilment que :

\varphi'_X(0) = \lambda\, i\text{ ; }\varphi''_X(0) = -\lambda - \lambda^2.

Per tant :

\operatorname{E}(X) = -i\, \varphi'_X(0) = \lambda , \operatorname{E}(X^2) = -\varphi''_X(0) = \lambda + \lambda^2 , i \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2 = \lambda

(tamb?? es poden calcular directament com a sumes de s??ries convergents).

[edita] Teorema de continu??tat de L??vy

Aquest teorema permet estudiar la converg??ncia en distribuci?? de les successions de variables aleat??ries per mitj?? de la converg??ncia puntual de les seves funcions caracter??stiques.

[edita] Enunciat

Una successi?? \left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}} de variables aleat??ries reals convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria real X si i nom??s si :

\forall\, t \in \mathbb{R}, \varphi_{X_n}(t) \to \varphi(t) quan n \to +\infty, on
\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C} ??s una funci?? cont??nua en el punt 0.

En aquest cas, \varphi ??s la funci?? caracter??stica de X.

[edita] Versi?? m??s simple

Una successi?? \left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}} de variables aleat??ries reals convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria real X si i nom??s si :

\forall\, t \in \mathbb{R}, \varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t) quan n \to +\infty.

La segona versi?? exigeix que sigui coneguda per endavant la distribuci?? l??mit.

[edita] Utilitzacions

Heus aqu?? unes quantes aplicacions cl??ssiques del teorema de continu??tat de L??vy.

[edita] Teorema del l??mit central

Una aplicaci?? cl??ssica del teorema de continu??tat de L??vy ??s la prova del teorema del l??mit central.

[edita] Teorema de converg??ncia de Poisson

Una segona aplicaci?? cl??ssica ??s la prova del teorema de converg??ncia de Poisson :

Sigui una successi?? real \left(\lambda_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}^\ast} tal que \lim_{n \to +\infty}\lambda_n = \lambda (on \ \lambda > 0 ) i per a tot n, 0 \leq \lambda_n \leq n.
Si per a tot n, la variable aleat??ria Xn segueix la distribuci?? binomial \mathcal{B}\left(n,\, \frac{\lambda_n}{n}\right) , aleshores la successi?? \left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}^\ast} convergeix en distribuci?? cap a una variable aleat??ria X amb distribuci?? \mathcal{P}(\lambda).

[edita] Llei feble dels grans nombres

Una tercera aplicaci?? cl??ssica ??s la prova de la llei feble dels grans nombres per a variables aleat??ries integrables (??s a dir amb esperan??a finita) i independents. S'enuncia aix?? :

Donada una successi?? (X_n)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^\ast} de variables aleat??ries reals (definides sobre el mateix espai de probabilitat) independents i id??nticament distribu??des (abreujadament i.i.d), amb esperan??a finita, es posa : \mu = \operatorname{E}(X_n).
Si es defineix per a tot n :
\overline{X_n} = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} = \frac{S_n}{n} , on S_n = X_1 + \cdots + X_n,
aleshores la successi?? \Big(\overline{X_n}\Big)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^\ast} convergeix en distribuci?? cap a la constant ??.

Remarca : se sap que la converg??ncia en distribuci?? cap a una constant equival a la converg??ncia en probabilitat cap a la mateixa constant.

[edita] Refer??ncies

  • (angl??s) Lukacs (Eugen) ??? Characteristic Functions. Griffin, London, 1960 (primera edici??) ; 1970 (segona edici?? revisada i ampliada).
  • (alemany) (franc??s) R??nyi (Alfred) ??? Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang ??ber Informations-theorie. ??? V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962. Traducci?? al franc??s : Calcul des probabilit??s avec un appendice sur la th??orie de l'information. Dunod, Paris, 1966.
  • (angl??s) Feller (William) ??? An Introduction to Probability Theory and Its Applications. (vol. 2) ??? John Wiley & Sons, New York, 1971.

[edita] Vegeu tamb??

  • Converg??ncia en distribuci??
  • Convoluci??
  • Funci?? generatriu dels moments
  • Moments
  • Transformaci?? de Fourier

[edita] Enlla??os externs