Espai vectorial
De Viquip??dia
Un espai vectorial ??s un objecte d'estudi de l'??lgebra lineal dins les matem??tiques.
Per a definir formalment un espai vectorial E sobre un cos K, es diu que:
Sigui K un cos (per exemple : el cos dels nombres reals o el cos
dels nombres complexos). Un espai vectorial sobre el cos K ??s un conjunt E que amb les operacions de:
- suma vectorial, escrita v + w on
- producte per un escalar, escrit a ??? v on a ??? K; v ??? E
satisf?? les seg??ents propietats:
- V amb la suma vectorial forma un grup abeli??, ??s a dir, se satisf?? que:
- v + w ??? E.
- u + (v + w) = (u + v) + w, propietat associativa.
anomenat vector nul tal que v + 0 = 0 + v = v,
, ??s a dir, ??s l'element neutre de la suma vectorial.
,
tal que v + (- v) = 0, ??s a dir, tot element t?? oposat (invers respecte de la suma).
- v + w = w + v, propietat commutativa.
- V amb el producte per un escalar satisf?? que:
- a ??? v ??? E.
- a ??? (b ??? v) = (a ??? b) ??? v.
- Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos K, llavors 1 ??? v = v.
- a ??? (v + w) = (a ??? v) + (a ??? w), propietat distributiva amb la suma de vectors.
- (a + b) ??? v = (a ??? v) + (b ??? v).
Els elements de E s'anomenen vectors. S'acostumen a representar en negreta (v), tal i com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre () o subratllats (v). Els elements de K s'anomenen escalars.