Espai projectiu

De Viquip??dia

S'ent??n per espai projectiu sobre un espai vectorial $E_{n+1}\,$ sobre un cos $K\,$ qualsevol, a la parella formada pel conjunt $\mathcal{P}\,$ i una relaci?? de depend??ncia lineal projectiva.

[edita] Primera aproximaci??: $\mathcal{P}_1\,$

Sigui $r\,$ una recta qualsevol del pla, i sigui $A\,$ un punt qualsevol del pla que no sigui de la recta $r\,$ .

Si es considera el conjunt de totes les rectes del pla que passen pel punt $A\,$ , cada una d'aquestes rectes, excepte la recta que ??s paral??lela a $r\,$ , talla a la recta $r\,$ en un punt.

Nom??s cal associar la direcci?? de la recta $r\,$ al punt impropi de l'infinit de la recta, per haver definit un aplicaci?? bijectiva entre els punts de $r\,$ i el conjunt de totes les direccions del pla , diferent de la nul??la.

Aix?? es pot introduir de la seg??ent forma: Sigui $\mathbf{V}_2-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$ el conjunt de tots els vectors lliures, no nuls, del pla. En aquest conjunt es pot definir una relaci?? d'equival??ncia $\sim\,$ de forma que: $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in\mathbb{R} |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ .

I finalment, es defineix $\mathcal{P}_1:=\mathbf{V}_2-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ , o sigui l'espai projectiu $\mathcal{P}_1\,$ ??s el conjunt quocient de la relaci?? d'equival??ncia que s'ha introdu??t.

[edita] Segona aproximaci??: $\mathcal{P}_2\,$

Aix?? com per tal d'introduir $\mathcal{P}_1\,$ , s'ha hagut de partir del pla, un espai vectorial de dimensi?? dos, per tal d'introduir $\mathcal{P}_2\,$ , s'haur?? de definir una relaci?? d'equival??ncia en $\mathbf{E_3}\,$

En aquest cas s'ha de partir d'un pla $\pi\,$ , i un punt $A\,$ , tal que $A\not\in\pi,$ , i introduint la mateixa relaci?? d'equival??ncia $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in\mathbb{R} |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ , on $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbf{V}_3-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$

Per arribar finalment a $\mathcal{P}_2=\mathbf{V}_3-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ .

En aquest espai, tota recta $r\sub\pi\,$ , ??s una varietat lineal del pla. Aleshores, tots els vectors de totes les classes d'equival??ncia que tenen punts de $r\,$ , formaran una varietat, ja que estaran sobre el pla engendrat per la recta $r\,$ i pel punt $A\,$ . Aix?? doncs, es pot considerar que aquesta recta introdueix a $\mathbf{E_3}\,$ l'espai projectiu $\mathcal{P}_1,$ , com una varietat de $\mathcal{P}_2\,$ .

[edita] Generalitzaci?? de l'espai projectiu

Sigui $\mathbf{V}_{n+1}\,$ , un espai vectorial de dimensi?? $n+1\,$ sobre un cos $K\,$ . Es defineix la relaci?? d'equival??ncia $\sim\,$ en $\mathbf{V}_{n+1}-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$ tal que $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in K |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ .

Aix?? doncs, generalitzant els conceptes anteriors, es pot escriure: $\mathcal{P}_n=\mathbf{V}_{n+1}-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ .

Si $\mathcal{Q}\sub\mathcal{P}_n\,$ , un punt $\left[\mathbf{x}\right]\in\mathcal{P}_n\,$ es diu que dep??n linealment (projectivament) de $\mathcal{Q}\,$ si: $\mathbf{x}=\lambda _{1}\mathbf{y}_{1}+\lambda _{2}\mathbf{y}_{2}+...+\lambda _{r}\mathbf{y}_{r}\,$

amb $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{r}\in\mathbb{K}\,$ i $\left[\mathbf{y}_{1}\right] ,\left[\mathbf{y}_{2}\right] ,...,\left[\mathbf{y}_{r}\right] \in \mathcal{Q}\,$

Cal observar que aquesta definici?? de depend??ncia lineal projectiva no dep??n dels $\left[\mathbf{y}_{1}\right] ,\left[\mathbf{y}_{2}\right] ,...,\left[\mathbf{y}_{r}\right] \in \mathcal{Q}\,$ elegits.

Doncs b??, $\mathcal{P}_n\,$ , junt amb aquesta depend??ncia lineal projectiva se l'anomena espai projectiu sobre $\mathbf{V}_{n+1}\,$ .