Espai euclidi??

De Viquip??dia

Un espai euclidi?? ??s un espai vectorial normat de dimensi?? finita, en qu?? la norma ??s heretada d'un producte escalar.

Taula de continguts

1 Primera aproximaci??
2 Definicions matem??tiques
3 Propietats dels espais euclidians

[edita] Primera aproximaci??

L'espai euclidi?? treu el seu nom del matem??tic grec Euclides.

Hist??ricament, l'espai euclidi?? ??s nom??s l'espai f??sic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el que estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals s??n els universos en qu?? van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I s??n els objectes d'estudi de tots els ge??metres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visi?? de l'espai comen??a a mostrar els seus l??mits. I ??s, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions m??s formals i m??s generals.

[edita] Definicions matem??tiques

[edita] Espai vectorial euclidi??

Un espai vectorial euclidi?? ??s un espai vectorial sobre $\mathbb R$ , de dimensi?? finita $n$ i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar can??nic per:

$<\mathbf u,\mathbf v>=<(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)>= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n$ .

Quan es t?? definit un producte escalar, es possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

$||u||=\sqrt {<u,u>}$

i que tamb?? permet introduir la noci?? d'angle: l'angle geom??tric de de dos vectors $(u, v)$ no nuls, ??s un valor real $??$ compr??s entre 0 i $??$ tal que:

$cos\theta=\frac {<u,v>}{||u||\cdot ||v||}$

[edita] Espai af?? euclidi??

Un espai af?? euclidi?? ??s l'espai af?? associat a un espai vectorial euclidi??.

S'hi pot definir una dist??ncia, nocions de l'angle geom??tric, s'hi retroba el teorema de Pit??gores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

[edita] Exemples d'espai vectorial euclidi??

L'espai $\mathbb {R}^n$ , amb el producte escalar euclidi??:

$<(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\,$

??s un espai vectorial euclidi?? de dimensi?? n.

L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n
- amb el producte escalar euclidi??

$<\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i>=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i$

??s un espai euclidi?? de dimensi?? $n + 1$ .

- amb el producte escalar

$<P,Q>=\int _0^1P(t)Q(t)dt$

??s tamb?? un espai euclidi?? amb una norma diferent .

[edita] Propietats dels espais euclidians

En tot espai euclidi?? es pot definir una base ortonormal. M??s concretament, si $(u_1,u_2,...,u_n)\,$ ??s una base de $\mathbf E$ , existeix una base $(v_1,v_2,...,v_n)\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que

$\{u_1,u_2,...,u_k\}=\{v_1,v_2,...,v_k\}\,$ .

on s'ent??n per $\{u_1,u_2,...,u_k\}\,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.

Tot espai vectorial euclidi?? de dimensio $n$ ??s isomorfe a $\mathbb R^n$

Tot espai vectorial euclidi?? ??s complet. ??s per tant un cas particular d'espai de Banach.

Dos vectors amb producte escalar nul, es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf F$ d'un espai euclidi?? $\mathbf E$ es pot associar un ??nic subespai $\mathbf {F}^{\bot}$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vector de $\mathbf F$ , ??s el seu ortogonal.

Si $x\,$ ??s un vector de $\mathbf E$ , l'aplicaci?? producte escalar per $x\,$ , $s_x :y\rightarrow <x,y>$ ??s una forma lineal. L'aplicaci?? que associa $x\,$ a $s_x\,$ ??s un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf E$ en el seu dual $\mathbf E^*$ .