Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Espai af?? - Viquip??dia

Espai af??

De Viquip??dia

Hist??ricament, la noci?? d'espai af?? neix del problema creat per l'aparici?? de noves geometries, perfectament coherents, per?? diferents a la d'Euclides, i del seu axioma del paral??lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonitzaci??, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidi??, excloent-hi el concepte de dist??ncia, i tot el que aix?? representa, com longitud i angle. El resultat de tot aix??, va ser una geometria af??, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'??lgebra lineal.

Taula de continguts

[edita] Definicions

Un espai af?? sobre un cos \mathbb{K}\, ??s el triplet (A, E,\varphi )\,, on:

  • E\, ??s un espai vectorial sobre el cos \mathbb{K}\,, en el que estan definides les operacions +\, i \times\,, amb els element neutres 0 i 1 respectivament.
  • \varphi\, ??s una aplicaci?? \varphi :A\times A\rightarrow E\,, que compleix:

1.-\varphi _{p}:A\rightarrow E\,, tal que \varphi _{p}(q)=\varphi (p,q)\,, ??s una aplicaci?? bijectiva \forall p \in A\,

2.-\varphi (p,q)+\varphi (q,r)=\varphi (p,r)\,, \forall p, q, r \in A\,.

[edita] Notaci??

Els elements del conjunt A\, s'anomenaran punts.

Els elements de l'espai vectorial E\, s'anomenaran vectors, i s'escriuran \varphi (p,q)=\vec{pq}\,. O sigui que la segona condici?? anterior, es podr?? escriure: \vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}\,.

E\, ??s l'espai vectorial associat a A\,.

Es defineix la dimensi?? de A\, com la dimensi?? de E\,.

[edita] Propietats elementals

  • \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow p=q\,
  • \overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}\,
  • \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{rs}\Longleftrightarrow \overrightarrow{pr}=\overrightarrow{qs}\,

[edita] Exemples d'espais afins

  • L'espai af?? definit pel triplet ( \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2,\varphi )\, on definim \varphi\, per \varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,.

??s l'espai af?? de dimensi?? 2, o sigui, el pla af??.

  • De forma m??s general, si \mathbb{K}\, ??s un cos qualsevol, l'espai af?? can??nic sobre \mathbb{K}\, de dimensi?? n ??s el triplet:
\mathcal A^n ( \mathbb K ) = ( \mathbb K^n , \mathbb K^n , \varphi ) \,

on \mathbb K^n \, ??s vist a la vegada com un espai de punts i un \mathbb K \,-espai vectorial, i l'aplicaci?? \varphi\, est?? definida per:

\varphi ( ( x_1 , x_2 , \dots , x_n ) , ( y_1 , y_2 , \dots , y_n ) )= ( y_1 - x_1 , y_2 - x_2 , \dots , y_n - x_n )\,

[edita] Varietats lineals

Sigui (A,E,\varphi )\, un espai af??. Sigui a \in A\, un punt qualsevol, i F\, un subespai vectorial de E\,. Es diu varietat lineal que passa per a\, i t?? la direcci?? de F\,, el subconjunt de A\,

\left\{ b\in A|\overrightarrow{ab}\in F\right\} \,

Aquesta varietat lineal es pot designar per: a+F=\left\{ b\in A;b=a+u,u\in F\right\}\,.

[edita] Noci?? de paral??lelisme

En un espai af?? (A,E,\varphi )\,, dues varietats lineals a+F, b+G\, s??n paral??leles si F\sub G\,o G\sub F\,.

Cinqu?? axioma d'Euclides : En un espai af?? , donat un punt a\, i una direcci?? qualsevol F\,, existeix una ??nica varietat que passa pel punt a\,, i t?? a F\, com a direcci??.