Esfera
De Viquip??dia
Una esfera (del grec ?????????????, ??sfaira??) ??s la superf??cie formada per tots els punts de l'espai tals que la dist??ncia (anomenada radi) a un punt determinat (anomenat centre) ??s sempre la mateixa formant una estructura en tres dimensions. Tamb?? es refereix al s??lid que el seu volum es troba contingut en la superf??cie anterior, amb aquest significat s'empra espec??ficament la paraula bola.
Taula de continguts |
[edita] Equaci??
En un sistema de coordenades ortogonal i unitari, l'equaci?? de l'esfera unit??ria centrada a l'origen de coordenades ??s: x?? + y?? + z?? = 1
Aquesta equaci?? s'obt?? considerant el punt M(x,y,z) de l'esfera i considerant el modul del vector OM ??s igual a 1.
M??s generalment l'esfera de radi r, de centre ??(a, b, c) t?? com equaci??: (x - a)?? + (y - b)?? + (z - c)?? = r??
L'equaci??del pla tangent al punt M(x',y',z') s'obt?? mitjan??ant el desdoblament de les variables: en el cas de l'esfera unit??ria: x??x' + y??y' + z??z' = 1
I al seg??n exemple: (x - a)??(x' - a) + (y - b)??(y' - b) + (z - c)??(z' - c) = r??
[edita] Superf??cie i volum
La superf??cie d'una esfera de radi r ??s: 
El Volum d'una esfera de radi r ??s: 
Si es considera la superf??cie i el volum com funcions S(r) i V(r) del radi, llavors es nota que la superf??cie ??s la funci?? derivada del volum. Aquest fet no ??s casualitat, ja que es pot descomposar el volum en capes d'espessor arbitr??riament petit dr (diferencial de r), i els volums d'aquestes capes s'aproximen a S(r)??dr quan dr tendeix a 0. Sumant els volums infinitessimals de totes aquestes capes (en quantitat infinita) quan el radi r via de zero a R dona per definici?? l'integral seg??ent: 
[edita] Zona i segment esf??rics
Una zona esf??rica ??s la part de la superf??cie esf??rica delimitada per dos plans paral??lels que tallen l'esfera, formant dos cercles anomenats bases. L'??rea de la zona esf??rica, d'una esfera de radi r, delimitada per dues bases separades per una altura h ??s:
A = 2 ?? ?? ?? r ?? h
Un segment esf??ric ??s el s??lid delimitat per una zona esf??rica i els dos plans paral??lels que el delimiten. El volum del segment esf??ric, d'una esfera de radi r, delimitat per dues bases, de radis a i b respectivament, separades per una altura h ??s:
V = 1/6 ?? ?? ?? h ?? (h2 + 3??a2 + 3??b2)
Com a cas especial de zona esf??rica, un casquet esf??ric ??s una zona esf??rica delimitada per un sol pla que talla l'esfera (un dels dos plans anteriors seria tangent, o amb una base de radi 0). En aquest cas, l'??rea del casquet ??s calcula com per a un segment de dos bases, i el volum del casquet seria simplement:
V = 1/6 ?? ?? ?? h ?? (h2 + 3??a2)
Un hemisferi ??s un casquet esf??ric delimitat per un sol pla que passa per un cercle m??xim de l'esfera.
[edita] Fus i tasc?? esf??rics
Un fus esf??ric o l??nula ??s una de les dues parts (oposades i sim??triques) de la superf??cie esf??rica delimitada per dos cercles m??xims que es tallen. L'??rea d'un fus esf??ric, d'una esfera de radi r, amb una longitud angular de ?? (l'angle de tall dels cercles m??xims, en radians) ??s:
A = 2 ?? r2 ?? ??
Un tasc?? esf??ric o cuny ??s el s??lid delimitat per un fus esf??ric, i els dos plans que el delimiten, que es tallen a l'eix de l'esfera. El volum d'un cuny esf??ric, d'una esfera de radi r, amb una longitud angular de ?? (en radians) ??s:
V = 2/3 ?? r3 ?? ??
[edita] Triangle esf??ric
Un triangle esf??ric ??s una part de la superf??cie esf??rica delimitada per tres cercles m??xims que es tallen. L'??rea d'un triangle esf??ric, d'una esfera de radi r, amb angles L, M i N (mesurats en radians) ??s:
A = r2 ?? (L + M + N - ??)
On la magnitud (L + M + N - pi) s'anomena exc??s esf??ric, i ??s l'exc??s sobre pi de la suma dels tres angles del triangle esf??ric (els tres angles d'un triangle sobre el pla euclidi?? sumen sempre pi, en canvi els tres angles d'un triangle esf??ric sumen sempre m??s gran de pi).
