Equaci?? diof??ntica

De Viquip??dia

Una equaci?? diof??ntica ??s un equaci?? per a la qual nom??s es permeten solucions enteres. El seu nom fa refer??ncia al matem??tic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A m??s del problema de trobar les solucions d'una equaci?? diof??ntica particular, no ??s evident la mateixa exist??ncia de les solucions. Existeix un algoritme general per trobar les solucions d'una equaci?? diof??ntica de primer ordre, per?? no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogu?? com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970 Yuri Matiyasevich demostr?? finalment que ??s impossible obtenir una soluci?? general per una equaci?? diof??ntica d'ordre qualsevol.

[edita] Alguns exemples

ax + by = c: S'anomena identitat de B??zout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera soluci?? coneguda es deu al matem??tic indi Brahmagupta.
xⁿ + yⁿ = zⁿ: Per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitag??riques. Per a valors superiors de n, l'??ltim teorema de Fermat n'assegura la inexist??ncia de solucions.
x² ??? n y² = 1: Anomenada equaci?? de Pell. T?? infinites solucions que s??n una bona aproximaci?? racional a l'arrel quadrada de n.
$\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c$ , on $n \geq 3$ i $c \neq 0$ : S'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen soluci??.