Distribuci?? normal

De Viquip??dia

La distribuci?? normal, tamb?? coneguda com a distribuci?? gaussiana, ??s una important fam??lia de distribucions de probabilitat cont??nues i ??s aplicable a molts camps. Cada membre de la fam??lia queda definit per dos par??metres: la localitzaci?? o mitjana i l'escala o desviaci?? est??ndard. Un cas particular ??s la distribuci?? normal est??ndard, pel qual la mitjana ??s 0 i la desviaci?? est??ndard ??s 1.

Fou Carl Friedrich Gauss qui descobr?? la distribuci?? normal quan analitzava dades astron??miques, i defin?? l'equaci?? de la seva funci?? de densitat de probabilitat ^[1]. Aquesta distribuci?? tamb?? s'anomena campana de Gauss, doncs el gr??fic de la seva funci?? de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.

La import??ncia de la distribuci?? normal en les ci??ncies naturals i del comportament rau en el teorema central del l??mit. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre de efectes independents segueix una distribuci?? normal. D'aquesta manera, ??s ??til en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots ells contribuint una petita porci?? a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'infer??ncia estad??stica, el teorema central del l??mit garanteix que un llarg nombre d'estad??stics segueixen la distribuci?? normal, si m??s no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors m??xim versemblants segueixen aproximadament una distribuci?? normal sota certes condicions matem??tiques que s??n for??a generals.

Taula de continguts

1 Funci?? de densitat de probabilitat
2 Funci?? de distribuci??
3 Funcions generadores
- 3.1 Funci?? generadora de moments
- 3.2 Funci?? caracter??stica
4 Propietats
- 4.1 Estandaritzant variables aleat??ries normals
- 4.2 Moments

[edita] Funci?? de densitat de probabilitat

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{ -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma} \varphi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$

on ?? ??s la desviacio est??ndard, ?? ??s l'esperan??a matem??tica, i

$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} \, e^{-\frac{1}{2}x^2}$

??s la funci?? de densitat de probabilitat de la distribuci?? normal est??ndard, ??s a dir, la distribuci?? normal amb ?? = 0 i ?? = 1. Per comprovar que la integral de $\varphi(x)$ sobre la recta real ??s igual a 1 vegeu la integral de Gau??.

[edita] Funci?? de distribuci??

No existeix una f??rmula tancada per a la funci?? de distribuci??, per?? pot aproximar-se amb diversos m??todes, com integraci?? num??rica, s??ries de Taylor, s??ries asimpt??tiques i fraccions continuades.

[edita] Funcions generadores

[edita] Funci?? generadora de moments

La funci?? generadora de moments es defineix com a l'esperan??a matem??tica de exp(tX). Per la distribuci?? normal la funci?? generadora de moments ??s:

$\begin{align} M_X(t) & {} = \mathrm{E} \left[ \exp{(tX)} \right] \\ & {} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)} \exp{(tx)} \, dx \\ & {} = \exp{ \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)} \end{align}$

[edita] Funci?? caracter??stica

La funci?? caracter??stica es defineix com a l'esperan??a matem??tica de exp(itX), on i ??s el nombre imaginari, i t ??s un nombre real. Per la distribuci?? normal la funci?? caracter??stica ??s:

$\begin{align} \chi_X(t;\mu,\sigma) &{} = M_X(i t) = \mathrm{E} \left[ \exp(i t X) \right] \\ &{}= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \exp(i t x) \, dx \\ &{}= \exp \left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right). \end{align}$

[edita] Propietats

Algunes propietats:

Si $X\, \sim\, N(\mu, \sigma^2)$ i $a$ i $b$ s??n nombres reals, aleshores $a X + b\, \sim\, N(a \mu + b, (a \sigma)^2)$ (veure esperan??a i vari??ncia).
Si i s??n variables aleat??ries normals independents, aleshores:
- La seva suma segueix la distribuci?? normal amb $U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ .
- La seva difer??ncia segueix una distribuci?? normal amb $V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ .
- $U$ i $V$ s??n independents.
- La diverg??ncia de Kullback-Leibler, $D_{\rm KL}( X \| Y ) = { 1 \over 2 } \left( \log \left( { \sigma^2_Y \over \sigma^2_X } \right) + \frac{\sigma^2_X}{\sigma^2_Y} + \frac{\left(\mu_Y - \mu_X\right)^2}{\sigma^2_Y} - 1\right).$
Si i s??n variables aleat??ries normals independents, aleshores:
- El seu producte $X Y$ segueix una distribuci?? and funci?? de probabilitat de densitat $p$ donada per
  
  $p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),$ on $K 0$ ??s una funci?? de Bessel modificada de segon tipus.
- El seu q??ocient segueix una distribuci?? de Cauchy amb $X/Y\, \sim\, \mathrm{Cauchy}(0,\, \sigma_X/\sigma_Y)$ .
Si $X_1, \dots, X_n$ s??n variables aleat??ries independents id??nticament distribu??des amb distribuci?? normal est??ndard, aleshores $X_1^2 + \cdots + X_n^2$ segueix una distribuci?? chi-quadrat amb n graus de llibertat.

[edita] Estandaritzant variables aleat??ries normals

Com a conseq????ncia de la Propietat 1, ??s possible relacionar totes les variables aleat??ries normals amb la distribuci?? normal est??ndard.

Si $\ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , aleshores

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!$

??s una variable aleat??ria normal est??ndard: $\ Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Una conseq????ncia important ??s que la funci?? de distribuci?? de $\ X$ ??s :

$\Pr(X \leq x) = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$

on $??$ ??s la funci?? de distribuci?? normal est??ndard: per a tot real t,

$\ \Phi(t) = \int_{-\infty}^{\,t}\varphi(u)\, du = \int_{-\infty}^{\,t}\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}}\, du = \frac{1}{2} \left(1 + \operatorname{erf}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right).$

D'altra banda, si $Z$ ??s una variable aleat??ria normal est??ndard, $\ Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ , aleshores

$X = \sigma\, Z + \mu$

??s una variable aleat??ria normal amb esperan??a $??$ i vari??ncia $?? 2$ .

La funci?? de distribuci?? normal est??ndard $??$ ha estat tabulada, i les altres funcions de distribuci?? normals en s??n simples transformacions, tal i com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funci?? de distribuci?? normal est??ndard per a trobar el valor de la funci?? de distribuci?? de qualsevol altre distribuci?? normal.

[edita] Moments

Alguns dels primers moments de la distribuci?? normal s??n:

N??mero	Moment	Moment central	Cumulant
0	1	1
1	$??$	0	$??$
2	$?? 2 + ?? 2$	$?? 2$	$?? 2$
3	$?? 3 + 3???? 2$	0	0
4	$?? 4 + 6?? 2 ?? 2 + 3?? 4$	$3?? 4$	0

Tots els cumulants de la distribuci?? normal a partir del segon s??n zero.

Categoria: Estad??stica

Distribuci?? normal

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Funci?? de densitat de probabilitat

[edita] Funci?? de distribuci??

[edita] Funcions generadores

[edita] Funci?? generadora de moments

[edita] Funci?? caracter??stica

[edita] Propietats

[edita] Estandaritzant variables aleat??ries normals

[edita] Moments

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es