Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Distribuci?? de probabilitat - Viquip??dia

Distribuci?? de probabilitat

De Viquip??dia

Icona de copyedit

Nota: L'article necessita algunes millores en el contingut o l'estil:

S'ha d'acabar fins a, com a m??nim, definir el terme
Percentatges de probabilitat amb la normal
Percentatges de probabilitat amb la normal

Les distribucions de probabilitat s??utilitzen molt per fer estudis estad??stics de diferents tipus i treure conclusions generals. Per entendre qu?? ??s una distribuci?? de probabilitat, aix?? com el significat dels par??metres associats, ??s necessari comen??ar definint una s??rie de conceptes previs.

Seguint un ordre l??gic, partirem de la idea d??experiment aleatori, que ??s una experi??ncia en la qual no coneixem el resultat exacte que sortir??, per?? si tots els resultats possibles. Els exemples t??pics de llan??ament d??una moneda a l??aire, extreure una carta d??un joc, fer una travessa, etc. s??n casos cl??ssics d??experiments aleatoris.

Doncs b??, si consideram tots els resultats elementals d??un possible experiment aleatori, definirem variable aleat??ria, com aquella funci?? que assigna un valor num??ric a cadascun d??aquests resultats. El motiu ??s que aix?? fa molt m??s c??mode el tractament posterior de la informaci?? i l??an??lisi dels resultats.

Per exemple, en l??experiment "llan??ar una moneda a l??aire", sabem que hi ha dos possibles resultats: cara o creu. Una variable aleat??ria en aquest cas, seria una funci?? que assign??s un 1 a treure cara i un 0 a treure creu.

Com que cada resultat elemental d??un experiment aleatori t?? una probabilitat d??oc??rrer, podrien crear una funci?? que assign??s a cada valor d??una variable aleat??ria, la seva probabilitat. Aquesta funci?? s??anomena funci?? de probabilitat.

Una vegada definida la funci?? de probabilitat associada a un experiment aleatori, tindrem un conjunt de valors de probabilitat que en realitat ??s el conjunt imatge d??aquesta funci??. Aquest conjunt ??s el que s??anomena distribuci?? de probabilitat. Moltes vegades, fent un ab??s del llenguatge, parlem indistintament de funci?? de probabilitat i de distribuci?? de probabilitat.

Una distribuci?? de probabilitat t?? associada una funci?? de distribuci??, que representa la probabilitat d??obtenir un valor menor o igual que un altre previament fixat, i que podem calcular utilitzant la f??rmula:

                               F(X)=\sum_{i=1}^X{p(x_i)}


a on les p(xi) representen les probabilitats d??obtenir un valor xi menor o igual a X.

Les distribucions de probabilitat tenen associat uns par??metres, que ens serveixen per tenir una idea de com estan distribuits els elements al voltant del valor mitj??. Aquests par??metres, anomenats par??metres estad??stics s??n:

La Mitjana:

                                  \mu=\sum_{i=1}^n{p_ix_i}

??ssent "pi" les probabilitats associades als valors "xi"


La Vari??ncia:


                                V=\sum_{i=1}^n{p_ix_i^2}- \mu^2


La Desviaci?? t??pica:


                           \sigma=\sqrt[]{V}=\sqrt[]{\sum_{i=1}^n{p_ix_i^2}- \mu^2}


Una vegada vistes les generalitats sobre les distribucions de probabilitat, passarem a estudiar dos casos concrets interessants:


[edita] La distribuci?? binomial

Es tracta d??una distribuci?? de probabilitat, en la qual nom??s existeixen dos valors possibles de la variable aleat??ria, que ??s diuen ??xit i frac??s. A la probabilitat associada a cadascun d??ells se la designa per "p" i "q" respectivament. Si "n" ??s el nombre de vegades que es repeteix l??experiment aleatori, una distribuci?? binomial es representa gen??ricament per: B(n,p).

Pel que fa al c??lcul de probabilitats dins aquesta distribuci??, ens interessa saber la probabilitat d??obtenir "k" ??xits quan l??experiment es realitza "n" vegades. Aquesta probabilitat v?? donada per la f??rmula seg??ent:


                          P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}

Existeixen de totes formes taules de la distribuci?? binomial, que ens donen directament els resultats num??rics d??aquesta f??rmula per a valors concrets de "n", "k" i "p".


Ajust d??una Binomial per una Normal
Ajust d??una Binomial per una Normal


[edita] La distribuci?? normal

Es tracta d??una distribuci?? de probabilitat que pot representar multitud de fen??mens de tipus sociol??gic i cient??fic. Es caracteritza per la seva mitjana "??" i per la desviaci?? t??pica "??", de tal manera que representarem gen??ricament una distribuci?? normal de probabilitats per: N(??,??).

Per al c??lcul de probabilitats dins el marc de la distribuci?? normal, s??utilitza la funci?? densitat, coneguda com Campana de Gauss. Aquesta funci?? t?? la particularitat que les ??rees sota la corba representen valors de probabilitat, i que per tant calcular probabilitats en aquest cas ??s calcular ??rees (c??lcul d??integrals definides).

De totes formes, per a la distribuci?? normal est??ndar N(0,1) existeix una taula amb els valors de la probabilitat ja calculats. Aquesta taula ens proporciona directament la probabilitat per a valors de la variable aleat??ria z???K, ??ssent "K" un valor donat.

Distribuci?? Normal
Distribuci?? Normal


Quan el valor de probabilitat que busquem no ??s z???K, sin?? altres valors, o valors compresos entre altres dos, s??ha de mirar a partir del dibuix quina ??s l????rea concreta a calcular i reduir el seu c??lcul a un que figuri a la taula.

En el cas que la pregunta que ens plantegem sigui sobre el c??lcul de probabilitats dins el marc d??una distibuci?? normal que no sigui la est??ndar, sin?? una altra N(??,??), llavors per poder fer els c??lculs i utilitzar la taula de la N(0,1), hem de fer pr??viament el que es diu "tipificar la variable", que consisteix en fer el canvi mostrat per la f??rmula seg??ent:


                            z=\frac{x- \mu}{ \sigma}

a on "x" representa la variable aleat??ria en la distribuci?? normal no est??ndar, i "z" ??s la variable ja tipificada.


[edita] Ajust d??una distribuci?? binomial per una normal

En molts casos pr??ctics, per calcular valors de probabilitat que responen a una distribuci?? binomial B(n,p), pot ser interessant fer-ho realitzant un ajust per una distribuci?? normal del tipus N(??,??), ??ssent la mitjana d??aquesta normal el producte np, i la desviaci?? t??pica l??arrel del producte npq. Aix?? simplifica molt els c??lculs de probabilitats, i evita l????s de la f??rmula de la distribuci?? binomial.

Si tenim en compte que la distribuci?? binomial ??s discreta (amb un nombre finit de valors de la variable aleat??ria associada), i que qualsevol distribuci?? normal ??s cont??nua (amb infinits valors de la variable aleat??ria), per poder fer l??ajust anterior i que tenguin sentit els resultats, es requereix que el nombre de valors de la variable associada a la distribuci?? binomial de partida sigui prou elevat. Aquest cas es produeix quan els productes np i nq s??n majors o igual a 5.

En aquest cas, doncs, es fa l??ajust seg??ent:


                         B(n,p)\longrightarrow{}N(np,\sqrt[]{npq})


i aix?? podem fer els c??lculs de probabilitat dins l??ambit d??una distribuci?? normal, caracteritzada per una mitjana \mu=n\,p i una desviaci?? t??pica \sigma=\sqrt{npq}