Dist??ncia

De Viquip??dia

Es denomina dist??ncia a la longitud del cam?? m??s curt entre dos entitats. En matem??tiques, per a un conjunt d'elements $X$ es defineix formalment la dist??ncia com a qualsevol funci?? binaria $d (a, b)$ de $X 2$ en $\mathbb{R}$ que compleixi les seg??ents propietats:

No negativitat: $d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X$
Simetricitat: $d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X$
Identitat dels indiscernibles: $d(a,b)=0 \ \Leftrightarrow a=b \ \forall a,b \in X$
Desigualtat triangular: $d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X$

El conjunt $X$ amb una dist??ncia definida sobre ell s'anomena espai m??tric.

Aquestes propietats les compleix la dist??ncia eucl??dia o geom??trica, que ??s la que correspon al concepte quotidi?? de dist??ncia, per?? hi ha d'altres dist??ncies que s'aparten d'aquest concepte. Vegeu exemples d'altres dist??ncies a l'article espai m??tric.

[edita] Dist??ncia (f??sica)

Es denomina dist??ncia entre dos punts A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) a la longitud del segment de uneix A i B. S'expressa matem??ticament com:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

La dist??ncia entre un punt P i una recta R ??s la longitud del cam?? m??s curt que uneix el punt P(x₁,y₁) amb la recta R = Ax + By + C. Matem??ticament s'expressa com:

$d=\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$

La dist??ncia entre dos rectes paral??leles ??s la longitud del cam?? m??s curt entre una d'elles i un punt qualsevol de l'altra.

La dist??ncia entre un punt P i un pla L ??s la longitud del cam?? m??s curt entre el punt P(x₁,i₁,z₁) i el pla L = Ax + By + Cz + D. Matem??ticament s'expressa:

$d=\frac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$