Desviació típica

De Viquipèdia

La desviació típica també coneguda com a desviació estàndard és una mesura de dispersió feta servir en la teoria de la probabilitat i l'estadística. De fet específicament la desviació típica és "la mitjana quadràtica de llunyania dels punts de mostra respecte de la mitjana". Se sol representar com a S o amb la lletra sigma, $\sigma^{}_{}$ . Quan es refereix a una distribució de probabilitats, variable aleatòria o població se sol anomenar desviació estàndard poblacional i se sol representar amb la lletra $σ$ . Quan es refereix a un conjunt de dades se sol anomenar desviació estàndard mostral o estimador de la desviació estàndard, ja que se sol emprar com a estimador de la desviació estàndard poblacional. La definició de la desviació estàndard poblacional és única, però existeixen diverses fòrmules per calcular la desviació estàndard mostral. En ambdos casos però, es calcula com l'arrel quadrada de la variància.

Per entendre la intuició darrera la desviació estàndard, cal recordar que la variància és l'esperança matemàtica de les diferències entre els valors de la variable aleatòria i la seva esperança matemàtica, elevades al quadrat. És a dir, la variància està expressada en unitats al quadrat, i per tant la desviació estàndard s'expressa en les mateixes unitats originals de mesura.

La desviació estàndard és la mesura de dispersió estadística més comú. Si la variable aleatòria tendeix a prendre valors a prop de la seva esperança matemàtica, la desviació estàndard és reduïda. Si, pel contrari, pren valors lluny de l'esperança, la desviació estàndard pren valors elevats.

[edita] Definició

[edita] Desviació estàndard poblacional

La desviació estàndard d'una variable aleatòria X es defineix com:

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)}$ $= \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

on E(X) és l'esperança matemàtica de X.

No totes les variables aleatòries tenen desviació estàndard, doncs aquesta esperança matemàtica pot no existir. Per exemple, la desviació estàndard d'una variable aleatòria distribuïda d'acord amb la distribució de Cauchy no existeix.

Per exemple, si X és una variable aleatòria contínua i $f (x)$ és la seva funció de densitat de probabilitat, és possible calcular la desviació estàndard com la arrel quadrada de la integral:

${\sigma}^2 = \int_{-\infty}^\infty {(x - \mu)}^2 f(x) dx$

$\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx$

[edita] Desviació estàndard mostral

Suposem que $x_1 \ldots x_n$ són els valors observats de la variable aleatòria X. La fòrmula més comú per a calcular la desviació estàndard mostral és:

$S= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$

on $\bar{X}$ és la mitjana mostral. Aquest estimador de $σ$ és no esbiaixat, és a dir, l'esperança matemàtica de S és $σ$ .

Una altra fòrmula emprada amb menys freqüència ve donada per l'estimador màxim-versemblant de $σ$ :

$S= \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$ .

És immediat demostrar que el valor esperat d'aquest altre estimador és $\sqrt{\frac{n-1}{n}} \sigma$ , i que per tant és esbiaixat. Encara que aquesta fórmula és correcta, en la pràctica interessa realitzar inferències poblacionals, de manera que en el denominador en lloc de n, es fa servir n-1 (Correcció de Bessel).