Demostraci?? que e ??s irracional
De Viquip??dia
En matem??tica, el desenvolupament en s??rie del nombre e
pot ser utilitzat per a provar que e ??s irracional.
Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre
Mostrem que la suposici?? per a l'absurd implica simult??niament que 0 < x < 1 i que x ??s un nombre enter. Aix?? es impossible, i aquesta contradicci?? estableix la irracionalitat de "e".
- Per a veure que x ??s un nombre enter, notem que
- Ara, per a tot n tal que
, hom veu que
??s divisible per a
, ja que
??s un nombre enter positiu. Com a conseq????ncia, puix que
tamb??,
, ??s a dir, x ??s un nombre enter.
- Per a veure que x ??s un nombre positiu inferior a 1, notem que
car
- Aqu??, la darrera suma ??s una s??rie geom??trica. Puix que no existeixen nombres enters positius m??s petits que 1, hem obtingut una contradicci??. Aix?? acaba la demostraci??.