Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Demostraci?? que e ??s irracional - Viquip??dia

Demostraci?? que e ??s irracional

De Viquip??dia

En matem??tica, el desenvolupament en s??rie del nombre e

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

pot ser utilitzat per a provar que e ??s irracional.


Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre


x := b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)=b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).


Mostrem que la suposici?? per a l'absurd implica simult??niament que 0 < x < 1 i que x ??s un nombre enter. Aix?? es impossible, i aquesta contradicci?? estableix la irracionalitat de "e".

  • Per a veure que x ??s un nombre enter, notem que
x\, = b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)= a(b - 1)! - b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}
Ara, per a tot n tal que 0\leq n\leq b , hom veu que b\,! ??s divisible per a n\,!, ja que

b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!} ??s un nombre enter positiu. Com a conseq????ncia, puix que a\cdot(b-1)!\in{\mathbb N} tamb??, x\in{\mathbb Z}, ??s a dir, x ??s un nombre enter.

  • Per a veure que x ??s un nombre positiu inferior a 1, notem que x=b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\quad car

x= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots

< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1

Aqu??, la darrera suma ??s una s??rie geom??trica. Puix que no existeixen nombres enters positius m??s petits que 1, hem obtingut una contradicci??. Aix?? acaba la demostraci??.

Q.E.D.