Coordenades polars

De Viquip??dia

Representaci?? de les coordenades polars, angles expressats en graus

En la matem??tica, el sistema de coordenades polars ??s un sistema de coordenades de dues dimensions en el que cada punt en un pla est?? determinat per un angle i una dist??ncia. El sistema de coordenades polars ??s especialment ??til quan la relaci?? entre dos punts s'expressa m??s b?? en termes d'angles i dist??ncies. En el sistema m??s conegut, el cartesi?? o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les funcions trigonom??triques.

Com que el sistema de coordenades ??s de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per $r$ o $r$ ) denota la dist??ncia del punt al punt central (conegut com pol i equivalent a l'or??gen en el sistema cartesi??). La coordenada angular (tamb?? anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per ??) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar l punt a partir de l'eix polar o radi del 0?? (que ??s equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).^[1]

[edita] Hist??ria

Vegeu tamb??: Hist??ria de les funcions trigonom??triques

Les conceptes d'angle i de radi varen ser estudiats pels pobles antics del primer mil??lenni abans de la nostra era. L'astronom Hiparc de Nicea va crear una taula de la funci?? corda que donava la longitud de la corda per a cada angle, i hi ha refer??ncies de que feia servir coordenades polars per a establir les posicions estel??lars.^[2] En la obra De les espirals, Arquimedes descriu l'espiral d'Arquimedes, una funci?? en la que el radi creix linealment amb l'angle. Ara b??, el treball grec no es va estendre fins a un sistema complert de coordenades.

Hi ha diverses relacions de la introducci?? de les coordenades polars com a part d'un sistema formal de coordenades. La hist??ria completa de la q??esti?? es descriu a Origin of Polar Coordinates.^[3] En Gr??goire de Saint-Vincent i en Bonaventura Cavalieri varen introduir independentment els conceptes a mitjans del segle disset. En Saint-Vincent ho va escriure en privat el 1625 i va publicar el seu treball el 1647, mentre que en Cavalieri va publicar el seu el 1635 amb una versi?? corregida que va apar??ixer el 1653. En Cavalieri va ser el primer en fer servir les coordenades polars per a resoldre un problema referent a l'??rea dins d'una espiral d'Arquimedes. M??s tard en Blaise Pascal va fer servir les coordenades polars per a calcular la longitud de l'arc de la par??bola.

En l'obra M??tode de les fluxions (escrit el 1671, publicat el 1736), Isaac Newton examina les transformacions entre coordenades polars (de les quals ell en diu la "Setena Manera Per a les Espirals", i uns altres nou sistemes de coordenades.^[4] En la revista Acta Eruditorum (1691), en Jacob Bernoulli feia servir un sistema amb un punt sobre una l??nia, anomenats pol i eix polar respectivament. Les coordenades s'especificaven per la dist??ncia al pol i l'angle respecte a l'eix polar. El treball d'en Bernoulli s'est??n a trobar el radi de curvatura de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.

El terme actual coordenades polars s'ha atribu??t a Gregorio Fontana i el feien servir els escriptors italians del segle 18.^[5]^[6] Alexis Clairaut va ser el primer en pensar en coordenades polars en tres dimensions, i en Leonhard Euler va ser el primer en desenvolupar-les.^[3]

[edita] Representaci?? dels punts en coordenades polars

Els punts (3,60??) i (4,210??) en un sistema de coordenades polars

Cada punt en un sistema de coordenades polars es pot descriure amb les dues coordenades polars, les quals es diuen habitualment $r$ (la coordenada radial) i ?? (la coordenada angular, angle polar, o angle azimutal, que de vegades es representa com ?? o $t$ ). La coordenada $r$ representa la dist??ncia radial al pol, i la coordenada ?? representa l'angle (mesurat en sentit contrari de les agulles del rellotge) respecte del radi d'angle 0?? (anomenat de vegades l'eix polar), conegut com la part positiva de l'eix x en el sistema de coordenades cartesi??.^[1]

Per exemple, les coordenades polars (3, 60??) indiquen el punt ubicat a 3 unitats de dist??ncia del pol sobre el radi que forma 60?? respecte de la part positiva de l'eix x. Les coordenades (???3, 240??) tamb?? indiquen aquest mateix punt perqu?? una dist??ncia radial negativa s'identifica amb una dist??ncia positiva mesurada sobre el radi oposat (el radi reflectit respecte de l'origen, que es diferencia de l'original en un gir de 180??).

Un aspecte important del sistema de coordenades polar, que no es dona en el sistema de coordenades cartesianes, ??s que un ??nic punt es pot expressar amb un nombre infinit de coordenades diferents. Aix?? es degut a que es pot donar un nombre qualsevol de voltes senceres entorn al pol sense afectar la posici?? dels punts representats. En general, el punt ( $r$ , ??) es pot representar com ( $r$ , ?? ?? $n$ ??360??) o (??? $r$ , ?? ?? (2 $n$ + 1)180??), on $n$ ??s qualsevol enter.^[7]

Les coordenades (0, ??) es fan servir, per convenci??, per a representar el pol, donat que independentment de la coordenada ??, qualsevol punt sobre un radi de longitud 0 estar?? sempre al pol.^[8] Per a obtenir una representaci?? ??nica de cada punt, ??s habitual de limitar $r$ als nombres no negatius $r$ ??? 0 i ?? a l'interval [0, 360??) o (???180??, 180??] (o, en radians, [0, 2??) o (?????, ??]).^[9]

Els angles, quan es fa servir la notaci?? polar, en general s'expressen tant en graus com en radians, fent servi la conversi?? 2?? rad = 360??. La tria dep??n fonamentalment del context. En navegaci?? mar??tima es fan servir els graus, mentre que en algunes aplicacions en f??sica (especialment en mec??nica de rotaci??) i gaireb?? tota la literatura sobre c??lcul infinitesimal fan servir els radians.^[10]

[edita] Conversi?? entre coordenades polars i coordenades cartesianes

Diagrama que il??lustra la relaci?? entre coordenades polars i cartesianes.

Les dues coordenades polars $r$ i ?? es poden convertir en les coordenades cartesianes $x$ i $y$ emprant les funcions trigonom??triques sinus i cosinus:

$x = r\cos \theta \,$

$y = r \sin \theta, \,$

Per transformar les dues coordenades cartesianes $x$ i $y$ en coordenades polars $r$ i $??$ cal fer el seg??ent. Per la $r$ es pot aplicar el teorema de Pit??gores:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} \,$ .

Per determinar la coordenada angular ??, s'ha de tenir en compte el seg??ent:

Per $r$ = 0, es pot fixar ?? com qualsevol nombre real.
Per $r$ ??? 0, s'ha de limitar el valor de ?? a un valor en un interval de mida 2?? per tal de que hi hagi una representaci?? ??nica per ??. Normalment es fan servir els intervals [0, 2??) i (?????, ??].

Per tal d'obtenir ?? en l'interval [0, 2??), es pot fer servir el seg??ent (on $arctan$ denota la inversa de la tangent):

$\theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{si } x > 0 \mbox{ i } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{si } x > 0 \mbox{ i } y < 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{si } x < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y < 0 \end{cases}$

Per tal d'obtenir ?? en l'interval (?????, ??], es pot fer servir el seg??ent

$\theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{si } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{si } x < 0 \mbox{ i } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{si } x < 0 \mbox{ i } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y < 0 \end{cases}$

[edita] Equacions polars

D'una equaci?? que defineix una corba algebraica expressada en coordenades polars, se'n diu equaci?? polar. En molts cassos, aquesta equaci?? es pot especificar a base de definir $r$ com una funci?? de ??. Llavors, la corba que en resulta consisteix en punts de la forma ( $r$ (??), ??) i pot ser considerada com la gr??fica de la funci?? polar $r$ .

A partir de l'equaci?? d'una funci?? polar $r = f (??)$ es poden deduir diferents formes de simetria. Si $r$ (?????) = $r$ (??) la corva ser?? sim??trica respecte del radi horitzontal (0??/180??), si $r$ (???????) = $r$ (??) ser?? sim??trica respecte del radi vertical (90??/270??), i si $r$ (?????????) = $r$ (??) tindr?? simetria de rotaci?? ???? en sentit contrari de les agulles del rellotge al voltant del pol.

Degut a la naturalesa circular del sistema de coordenades polars, moltes corves es poden descriure amb una equaci?? polar bastant simple, mentre que la seva forma cartesiana ??s molt m??s complicada. Entre les m??s conegudes d'aquestes corbes hi ha la rosa, l'espiral d'Arquimedes, la Lemniscata, el cargol de Pascal, i la cardioide.

Pel cas del cercle, la recta que passa pel pol, i la rosa que s'estudien tot seguit, s'ha d'entendre que no hi ha restriccions ni en el domini ni en el recorregut de les corbes.

[edita] Cercle

Un cercle d'equaci??

r

(??) = 1

L'equaci?? general d'un cercle amb centre a ( $r$ ₀, ??) i de radi $a$ ??s

$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\,$

Aix?? es pot simplificar de diverses maneres, per ajustar-se a cassos m??s espec??fics, com ara l'equaci??

$r(\theta)=a \,$

Pel cas d'un cercle amb centre al pol i radi $a$ .^[11]

[edita] Recta

Les l??nies rectes Radials (les que passen pel pol) es representen per l'equaci??

$\theta = \varphi \,$ ,

on ?? ??s l'angle d'elevaci?? de la l??nia; es a dir, ?? = arctan $m$ on $m$ ??s el pendent de la recta en el sistema de coordenades cartesianes. La recta no radial que talla la recta radial ?? = ?? perpendicularment al punt ( $r$ ₀, ??) t?? per equaci??

$r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi). \,$

[edita] Rosa

Una rosa d'equaci??

r

(??) = 2 sin 4??

Una rosa ??s una famosa corba matem??tica que sembla els p??tals d'una flor, i que es pot expressar amb una equaci?? polar senzilla,

$r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,$

Per a qualsevol contant $?? 0$ (incloent-hi 0). Si k ??s un enter, aquestes equacions produeixen una rosa de k p??tals si k es senar, o una rosa amb 2k p??tals si k ??s parell. Si k ??s racional per?? no ??s enter, es genera una forma similar a una rosa per?? amb els p??tals solapant-se. Fixeu-vos que aquestes equacions mai defineixen una rosa amb 2, 6, 10, 14, etc. p??tals. La variable independent a representa la longitud dels p??tals de la rosa.

[edita] Espiral d'Arqu??medes

Un bra?? d'una espiral d'Arqu??medes d'equaci?? r(??) = ?? per 0 < ?? < 6??

L'espiral d'Arqu??medes ??s una espiral famosa que va ser descoberta per Arqu??medes, la qual tamb?? es pot expressar amb una equaci?? polar senzilla. Es representa per l'equaci??

$r(\theta) = a+b\theta. \,$

Canviant el par??metre a es fa girar l'espiral, mentre que b controla la dist??ncia entre els bra??os, la qual per a una espiral donada ??s constant. L'espiral d'Arqu??medes t?? dos bra??os, un per a ?? > 0 i un altre per a ?? < 0. Els dos bra??os es connecten suaument al pol. Prenent la imatge especular d'un bra?? respecte de la recta de 90??/270?? s'obt?? l'altre bra??. Aquesta corba ??s notable per ser una de les primeres corbes, despres de les c??niques que es va descriure als tractats de matem??tiques, i per ser el primer exemple d'una corba que es defineix millor per la seva equaci?? polar.

[edita] C??niques

El??lipse, indicant el semi-latus rectum

Una c??nica amb un focus al pol i l'altre en algun lloc del radi de 0?? (de forma que el semieix major cau damunt de l'eix polar) ve donada per:

$r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}$

on e ??s l'excentricitat i $\ell$ ??s el semi-latus rectum (la dist??ncia mesurada sobre la perpendicular a l'eix major que passa pel focus entre el focus i la corba). Si e > 1, aquesta equaci?? defineix una hip??rbola; si e = 1, defineix una par??bola; i si e < 1, defineix una el??lipse. El cas especial de la el??lipse en que e = 0 en resulta una circumfer??ncia de radi $\ell$ .

[edita] Nombres complexos

Una il??lustraci?? d'un nombre complex representat en el pla complex

Una il??lustraci?? d'un nombre complex representat al pla complex fent servir la f??rmula d'Euler

Cada nombre complex es pot representar com un punt del pla complex, i per tant es pot expressar tant especificant les seves coordenades cartesianes (anomenada forma rectangular o cartesiana) com especificant les seves coordenades polars (anomenada la forma polar). El nombre complex z es pot representar en forma rectangular com

$z = x + iy\,$

on i ??s la unitat imagin??ria, o alternativament es pot escriure en forma polar (via la f??rmula de conversi?? donada m??s amunt) com

$z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)$

I a partir d'aqu?? com

$z = re^{i\theta} \,$

on e ??s la constant d'Euler, les quals s??n equivalents tal com es demostra per la f??rmula d'Euler.^[12] (Fixeu-vos que aquesta f??rmula, igual que totes les que impliquen exponencials d'angles, dona per suposat que l'angle s'expressa en radians). Per convertir un complex de la forma rectangular a la polar o viceversa, es poden fer servir les f??rmules donades m??s amunt.

En general les operacions de multiplicaci??, divisi??, i exponenciaci?? de nombres complexos s??n molt m??s f??cils de fer si els nombres s'expressen en notaci?? polar que si s'expressen en notaci?? rectangular. A partir de les lleis de la exponeciaci??:

Multiplicaci??:

$r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,$

Divisi??:

$\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,$

Exponenciaci?? (f??rmula de De Moivre):

$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,$

[edita] C??lcul

El c??lcul es pot aplicar a equacions expressades en coordenades polars. En aquesta ??rea, la coordenada angular ?? s'expressa en radians.

[edita] C??lcul diferencial

Es tenen les seg??ents f??rmules:

$r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,$

$\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .$

Per trobar el pendent cartesi?? de la recta tangent a un corba polar r(??) a un punt donat qualsevol, primer s'expressa la corba en un sistema d'equacions param??triques.

$x=r(\theta)\cos\theta \,$

$y=r(\theta)\sin\theta \,$

Derivant les dues equacions respecte de ?? dona

$\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,$

$\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,$

Dividint la segona equaci?? entre la primera dona el pendent cartesi?? de la recta tangent a la corba al punt (r, r(??)):

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}$

[edita] C??lcul integral

La regi?? R queda limitada per la corba r(??) i els radis ?? = a i ?? = b.

Sia R la regi?? tancada per la corba r(??) i els radis ?? = a and ?? = b, on 0 < b ??? a < 2??. Llavors l'??rea de R ??s

$\frac12\int_a^b r(\theta)^2\, d\theta.$

La regi?? R s'aproxima per n sectors (aqu??, n = 5).

Aquest resultat es pot obtenir tal com segueix. Primer, l'interval [a, b] es divideix en n subintervals, on n ??s un enter positiu qualsevol. Per tant ????, la longitud de cada subinterval, ??s igual a b ??? a (la longitud total de l'interval), dividida entre n, el nombre de subintervals. Per a cada subinterval i = 1, 2, ???, n, sia ??_i el punt mig del subinterval, i es construeix un sector circular amb centre al pol, radi r(??_i), angle centra ???? i longitud d'arc $r(\theta_i)\Delta\theta\,$ . L'??rea de cada un dels sectors que s'ha constru??t ??s igual a $\tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta$ . Per tant l'??rea total de tots els sectors ??s

$\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.$

A mesura que el nombre de subintervals n creix, la aproximaci?? de l'??rea millora. En el l??mit quant n ??? ???, el sumatori esdev?? el sumatori de Riemann de la integral de m??s amunt.

[edita] Generalitzaci??

Utilitzant les coordenades cartesianes, un element d'??rea infinitesimal es pot calcular com dA = dx dy. La integraci?? per substituci?? (o per canvi de variable) per a integrals m??ltiples estableix que cal considerar el determinant del Jacobi?? de la conversi?? de coordenades quan hi ha canvi de coordenades. Aquest determinant ??s:

$J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r \sin\theta \\ \sin\theta & r \cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.$

Per tant, un element d'??rea en coordenades polars es pot escriure com

$dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.$

Per tant, una funci?? que es d??na en coordenades polars es pot integrar com segueix:

$\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.$

Aqu??, R ??s la mateixa regi?? de m??s amunt, aix?? ??s, la regi?? que est?? tancada per la corba r(??) i els radis ?? = a i ?? = b.

La f??rmula de l'??rea R de m??s amunt s'aconsegueix prenent f igual a 1. Una aplicaci?? d'aquest resultat porta a la integral de Gau??

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.$

[edita] C??lcul vectorial

El c??lcul vectorial tamb?? es pot aplicar en coordenades polars. Sia $\mathbf{r}$ el vector de posici?? $(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,$ , amb r i $??$ en funci?? del temps t,sia $\hat{\mathbf{r}}$ un vector unitari en la direcci?? $\mathbf{r}$ i sia $\hat{\boldsymbol\theta}$ un vector unitari perpendicular a $\mathbf{r}$ . Les derivades primera i segona de la posici?? s??n

$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},$

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.$

[edita] Tres dimensions

El sistema de coordenades polars es pot estendre a tres dimensions de dues formes diferents que donen lloc a dos sistemes de coordenades diferents, el sistema de coordenades cil??ndriques i el sistema de coordenades esf??riques, tots dos inclouen com a subconjunt el sistema de coordenades polar. En ess??ncia, el sistema de coordenades cil??ndriques est??n el sistema de coordenades polar a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus dist??ncia, mentre que el sistema de coordenades esf??riques l'est??n a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus angular.

[edita] Coordenades cil??ndriques

Un punt representat en coordenades cil??ndriques

Article principal: Sistema de coordenades cil??ndriques

El sistema de coordenades cil??ndriques ??s un sistema de coordenades que essencialment est??n els sistema de coordenades polar bidimensional a base d'afegir-li una tercera coordenada que mesura la al??ada del punt per damunt del pla, de forma similar a com el sistema de coordenades cartesianes s'est??n a tres dimensions. Habitualment es denota la tercera coordenada com a h, de forma que les tres coordenades cil??ndriques s??n (r, ??, h).

Les tres coordenades cil??ndriques es poden transformar en coordenades cartesianes amb

$\begin{align} x &= r \, \cos\theta \\ y &= r \, \sin\theta \\ z &= h. \end{align}$

[edita] Coordenades esf??riques

Un punt representat emprant coordenades esf??riques

Article principal: Sistema de coordenades esf??riques

Les coordenades polars tamb?? es poden estendre a tres dimensions fent servir les coordenades (??, ??, ??), on ?? ??s la dist??ncia a l'origen, ?? ??s l'angle respecte de l'eix z (anomenat la colatitid o zenith i mesurat des de 0 fins a 180??) i ?? ??s l'angle respecte de l'eix x (com a les coordenades polars). Aquest sistema de coordenades, anomenat sistema de coordenades esf??riques, ??s similar al sistema en base a la latitud i la longitud que es fa servir per determinar els punts a la superf??cie de la Terra, amb origen al centre de la Terra, la latitud ?? ??s el complement de ??, determinat per ?? = 90?? ??? ??, i la longitud l es mesura per l = ?? ??? 180??.^[13]

Les coordenades esf??riques es poden transformar en coordenades cartesianes amb

$\begin{align} x &= \rho \, \sin\phi \, \cos\theta \\ y &= \rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\ z &= \rho \, \cos\phi. \end{align}$

[edita] Aplicacions

Les coordenades polars s??n bidimensionals i per tant nom??s es poden fer servir quant els punts pertanyen a un ??nic pla bidimensional. S??n m??s apropiades en qualsevol context on el fenomen que es vol estudiar est?? lligat inherentment a la direcci?? i la distancia respecte d'un punt central. Per exemple, en els cassos de m??s amunt es mostra com equacions polars elementals s??n suficients per a definir corbes -com ara l'espiral d'Arqu??medes- per a les que l'equaci?? en coordenades cartesianes seria molt m??s complicada. A dem??s, molts sistemes f??sics ???com ara els relatius a cossos que es mouen entorn a un punt central o a fen??mens originats a partir d'un punt central ??? s??n mes senzills i mes intu??tius de modelitzar fent servir coordenades polars. El motiu original per la introducci?? dels sistemes de coordenades polars va ser l'estudi del moviment circular i del moviment orbital.

[edita] Posici?? i navegaci??

Les coordenades polars es fan servir sovint en navegaci??, donat que la destinaci?? o la direcci?? del viatge es poden donar com un angle i una dist??ncia a partir de l'objecte que s'est?? considerant. Per exemple, un avi?? fa servir una versi?? lleugerament modificada de les coordenades polars per a la navegaci??. En aquest sistema, el que es fa servir generalment que a qualsevol mena de navegaci??, del radi de 0?? se'n diu normalment direcci?? 360, i els angles continuen en la direcci?? de les agulles del rellotge en comtes de en la direcci?? contraria a la de les agulles del rellotge, tal com es fa en el sistema matem??tic. La direcci?? 360 correspon al pol nord magn??tic, mentre que les direccions 90, 180, i 270 corresponen a l'est, sud i oest magn??tics respectivament.^[14] Aix??, un avi?? que viatgi 5 milles nautiques direcci?? est estar?? viatjant 5 unitats en direcci?? 90 (pronunciat niner-zero pel servei de control del trafic aeri).^[15]

[edita] Modelitzaci??

Els sistemes que presenten simetria radial ofereixen un escenari natural pel sistema de coordenades polars, amb el punt central actuant com a pol. Un exemple principal d'aquest ??s ??s l'equaci?? de flux d'aig??es subterr??nies quan s'aplica a pous amb simetria radial. Sistemes amb forces radials s??n tamb?? bons candidats per a fer servir els sistemes de coordenades polars. Aquests sistemes inclouen els camps gravitacionals, que obeeixen la llei de la inversa del quadrat, aix?? com sistemes amb fonts puntuals com ara antenes de radio.

Sistemes que s??n radialment asim??trics tamb?? es poden modelitzar fent servi coordenades polars. Per exemple, els patrons polars d'un micr??fon il??lustren la seva resposta proporcional a un so entrant provinent d'una direcci?? donada, i aquests patrons es poden representar com a corbes polars. La corba per un micr??fon cardioide est??ndard, el microfon unidireccional m??s com??, es pot representar com r = 0.5 + 0.5 sin ??.^[16]

[edita] Vegeu tamb??

Llista de transformacions can??niques de coordenades
Coordenades cartesianes
Coordenades cil??ndriques
Coordenades esf??riques
Coordenades bipolars
Coordenades generalitzades

[edita] Refer??ncies

General

Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). Calculus, Seventh Edition, Anton Textbooks, Inc.. ISBN 0-471-38157-8.
Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits (June 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.

Specific

??? ^1,0 ^1,1 Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason: Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis, Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
??? Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization. Data d'acc??s: 2006-09-10.
??? ^3,0 ^3,1 Julian Lowell Coolidge (1952). ??The Origin of Polar Coordinates??. American Mathematical Monthly 59: 78???85.
??? Boyer, C. B. (1949). ??Newton as an Originator of Polar Coordinates??. American Mathematical Monthly 56: 73???78.
??? Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Data d'acc??s: 2006-09-10.
??? Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., 324.
??? Polar Coordinates and Graphing. (PDF) (2006-04-13). Data d'acc??s: 2006-09-22.
??? Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar (2005). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Fourth Edition, Thomson Brooks/Cole. ISBN 0534402305.
??? Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane), Cambridge University Press. ISBN 0521287634.
??? Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. (2005). Principles of Physics, Brooks/Cole???Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.
??? Claeys, Johan. Polar coordinates. Data d'acc??s: 2006-05-25.
??? Smith, Julius O. (2003). ???Euler's Identity???, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. el 2006-09-22.
??? Wattenberg, Frank (1997). Spherical Coordinates. Data d'acc??s: 2006-09-16.
??? Santhi, Sumrit. Aircraft Navigation System. Data d'acc??s: 2006-11-26.
??? Emergency Procedures. Data d'acc??s: 2007-01-15.
??? Eargle, John (2005). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition, Springer. ISBN 0387284702.

[edita] Enlla??os externs

Categories: ??lgebra | Geometria

Categories ocultes: Viquip??dia:Articles destacats en afrikaans | Viquip??dia:Articles destacats en esperanto | Viquip??dia:Articles destacats en angl??s