Construcci?? amb regle i comp??s

De Viquip??dia

La construcci?? amb regle i comp??s correspon a la construcci?? de longituds i angles emprant nom??s un regle i un comp??s.

Es considera el regle de longitud infinita (amb nom??s un extrem) i que no cont?? cap marca. A m??s a m??s, en relaci?? al comp??s, es considera que no es pot emprar per traslladar dist??ncies. Com si en separar-lo del paper es tanqu??s de sobte perdent la dist??ncia marcada. Aquesta restricci?? formal, per??, no t?? import??ncia a la pr??ctica perqu?? amb regle i comp??s ??s possible traslladar qualsevol dist??ncia.

Qualsevol punt constru??ble amb regle i comp??s ??s tamb?? constru??ble amb nom??s comp??s.

Taula de continguts 1 Eines per a la construcci?? amb regle i comp??s 2 Inter??s 3 Les construccions b??siques 4 Algunes construccions 4.1 Paral??leles i perpendiculars 4.2 Mediatriu d'un segment 4.3 Bisectriu d'un angle 4.4 Construccions en els triangles 4.5 Pol??gons

[edita] Eines per a la construcci?? amb regle i comp??s

El "comp??s" i el "regle" de les construccions amb regle i comp??s tenen unes certes restriccions en relaci?? als existents en el m??n real:

• El regle ??s de longitud infinita amb un ??nic extrem, i no t?? marques. Nom??s es pot emprar per dibuixar un segment entre dos punts que ja existeixen o per estendre una l??nia ja existent.
• El comp??s pot obrir-se en una mida arbitr??ria per?? nom??s ??s possible d'obrir-lo a les mides que ja s'han constru??t. A m??s a m??s, en separar-lo del paper el comp??s es tanca per la qual cosa no ??s possible emprar-lo per transportar la dist??ncia.

La construcci?? de figures amb aquestes dues eines es basen en la geometria d'Euclides. La geometria euclidiana es basa en un sistema d'axiomes que asseguren que sempre ??s possible construir una recta que passa per dos punts i que sempre ??s possible tra??ar un cercle amb un centre donat que passi per un punt donat. D'aqu?? la construcci?? amb regle i comp??s.

[edita] Inter??s

Una de les raons per les quals tenen inter??s les construccions amb regle i comp??s ??s que no totes les figures geom??triques i no totes les longituds s??n constru??bles. Aix??, per exemple, mentre que ??s possible construir pent??gons i hex??gons amb regle i comp??s no ??s possible construir un enne??gon (pol??gon de 9 costats). De la mateixa manera, tot i que ??s constru??ble l'arrel de 2, no ??s possible construir el nombre e.

A m??s a m??s, hi ha tres problemes cl??ssics que no es poden resoldre amb regle i comp??s. Aquests problemes es formulen a continuaci??.

• La quadratura del cercle: Dibuixar un quadrat amb la mateixa ??rea que un cercle donat.
• Duplicaci?? d'un cub: Donat un cub, dibuixar-ne un altre que tingui el doble del volum que el del cub donat.
• Trisecci?? d'un angle: Dividir un angle donat en tres parts iguals.

Fins el segle XIX no es va poder demostrar que aquests problemes no tenien soluci?? amb regle i comp??s, tot i ser coneguts des de molt antic. Pierre Wantzel va demostrar l'any 1837 que no tenien soluci?? els de la duplicaci?? d'un cub i la trisecci?? d'un angle. La impossibilitat de la quadratura del cercle va ser provada formalment l'any 1882 per Ferdinand_von_Lindemann.

[edita] Les construccions b??siques

Totes les construccions amb regle i comp??s consisteixen en l'aplicaci?? repetida d'un conjunt de cinc construccions b??siques a partir de punts, rectes i cercles que ja s'han constru??t. Aquestes cinc construccions s??n les seg??ents:

• Creaci?? d'una l??nia entre dos punts ja existents

• Creaci?? d'un cercle amb centre en un punt i que passi per un altre punt

• Creaci?? del punt que es troba a la intersecci?? de dues linies no paral??leles ja existents

• Creaci?? d'un punt o dels dos punts que es troben en la intersecci?? d'una recta i un cercle (en el cas de que interseccionin)

• Creaci?? d'un o dels dos punts que es troben en la intersecci?? de dos cercles (en el cas de que interseccionin)

[edita] Algunes construccions

[edita] Paral??leles i perpendiculars

Recta paral??lela (construir una recta paral??lela al segment (AB) que passi pel punt C):

Constru??m el quart punt del paral??lelogram ABCX dibuixant un arc de cercle amb centre C i radi AB i un arc de cercle de centre A i amb radi BC. El punt on es tallen els dos arcs ??s el punt X. La recta paral??lela ??s la que passa per C i X.

Recta perpendicular (construir la perpendicular de la recta (AB) que passa pel punt C):

Constru??m primer el punt sim??tric a C respecte de la recta AB. Aquest punt correspon a la intersecci?? del cercle amb centre A i radi (AC), i el cercle de centre B i radi (BC). Si anomenem aquest punt C', aleshores cal tra??ar la recta que passa per C i C'. Aquesta recta ??s la recta perpendicular.

[edita] Mediatriu d'un segment

Mediatriu d'un segment (AB) (correspon a la recta perpendicular al segment que passa pel punt mig entre A i B):

Primer constru??m una circumfer??ncia (o un arc) amb centre A i que passi per B. Despr??s constru??m una circumfer??ncia (o un arc) amb centre B i que passi per A. Anomenem C i D els punts on aquestes dues circumfer??ncies interseccionen. Finalment constru??m la recta que passa per C i D. Aquesta recta ??s la mediatriu del segment (AB).

[edita] Bisectriu d'un angle

Bisectriu d'un angle (parlant amb propietat, caldria dir-ne la bisectriu d'un sector angular i correspon a l'eix de simetria del sector):

La construcci?? es detalla a continuaci??. Suposem que l'angle ve determinat per dos segments que es tallen en un punt que anomenem O:

• Fem uns arcs de circumfer??ncia de radi arbitrari centrats en el punt on es tallen els dos segments (el punt O) i que intersectin amb els segments. Siguin A i B els punts d'aquestes interseccions.
• Fem un arc centrat en una de les interseccions (per exemple, seleccionem A) i de radi (AB), i en fem un altre centrat en l'altre intersecci?? (en aquest cas B) i de radi (AB). Anomenem C a la intersecci?? dels dos arcs.
• Unim la intersecci?? dels dos arcs (el punt C) amb el punt on es tallen els dos segments (el punt O).

[edita] Construccions en els triangles

Les bisectrius, mediatrius, al??ades, medianes, cercle d'Euler i recta d'Euler s??n constru??bles amb regle i comp??s.

[edita] Pol??gons

??s possible construir diversos pol??gons que tinguin tots els costats iguals i que es trobin inscrits en un cercle. S??n constru??bles, per exemple, el triangle, el quadrat, el pent??gon, l'hex??gon, l'oct??gon per?? no ho s??n ni el hept??gon ni l'enne??gon.