Circumferència dels nou punts
De Viquipèdia
Existeix una circumferència associada a cada triangle anomenada circumferència dels nou punts. El seu nom es deriva del fet que la circumferència passa per nou punts notables, sis d'ells en el triangle (llevat que el triangle sigui obtús). Aquests són:
- El punt mig de cada costat del triangle.
- Els peus de les alçades
- Els punts mitjos dels segments determinats per l'ortocentre i els vèrtexs del triangle.
La circumferència dels nou punts també es coneix amb el nom de cercle d'Euler o cercle de Feuerbach.
Taula de continguts |
[edita] Història
Habitualment s'acredita a Karl Wilhelm Feuerbach el descobriment de la circumferència dels nous punts. No obstant, el que ell va descobrir va ser la circumferència dels sis punts (en la figura, els punts M, N, P i E, G i J, respectivament). És més, poc temps abans Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet havien demostrat la seva existència. Poc temps després de Feuerbach, Olry Terquem també va demostrar l'existència del cercle i va observar el fet que els punts mitjos dels segments determinats pels vèrtexs del triangle i l'ortocentre també estan contingunts a la circumferència (punts D, F i H de la figura).
[edita] Discussió
Considerem les alçades del triangle ABC, AE, BG y CJ (vegeu la figura). El triangle GEJ és el triangle òrtic del triangle ABC i el punt I és l'ortocentre del triangle ABC. Les alçades d'aquest triangle són les bisectrius dels angles interns de GEJ. Els costats del triangle ABC són les bisectrius exteriors del triangle GEJ. Les bisectrius de l'angle JGE tallen la mediatriu pel costat oposat EJ en els punts F i N, que es troben a la circumferència circumscrita c.
Observem que els triangles ACJ i ACE són rectangles, tots dos tenen el costat AC com a hipotenusa. Es dedueix que els quatre punts A, C, E i J són concíclics i el centre de la circumferència que els uneix es troba sobre la intersecció de la hipotenusa AC amb la mediatriu del segment EJ, és a dir, el punt N. Per tant, N és punt mig del segment AC. Raonant igualment amb els triangles EIB i JIB, es troba el punt F.
Anàlogament, es demostra que M i P són els punts mitjos dels costats AB i BC respectivament, i D i H punts mitjos dels segments AI i CI respectivament.
[edita] Altres propietats
El 1822 Karl Feuerbach va descobrir una de les propietats més profundes sobre la circumferència que porta el seu nom: la circumferència dels nou punts és tangent exterior a les circumferències exinscrites al triangle. La circumferència inscrita al triangle és tangent interior a la circumferència de Feuerbach. Per la demostració, d'aquest fet [1] pot fer-se observant que els punts de tangència de dues de les circumferències exinscrites a un dels costats del triangle equidisten del punt mig d'aquest costat. Utilitzant una inversió respecte aquest punt mig es pot completar la demostració.
[edita] Relació entre la circumferència circumscrita i la de Feuerbach
Com que els punts D, F i H satisfan:
es dedueix que:
- La circumferència de Feuerbach d'un triangle es homotètica a la circumferència circumscrita.
- El centre de l'homotècia és l'ortocentre del triangle.
- La raó de l'homotècia és 2.
El triangle format pels punts D, F i H és semblant al triangle ABCE. També s'observa que el centre de la circumferència de Feuerbach, N, és punt mig del segment IO, on O és el circumcentre del triangle ABC.
Finalment, el centre de la circumferència de Feuerbach es troba sobre la recta d'Euler del triangle.
