Arc capa??
De Viquip??dia
L'arc capa?? d'un segment AB i un angle ?? ??s el lloc geom??tric de tots els punts d'un semipl?? des dels quals es veu aquest segment sota un mateix angle ??. ??s sempre un arc de circumfer??ncia i la resta de la circumfer??ncia, que ??s a l'altre semipl??, ??s l'arc capa?? de l'angle suplementari a ??.
Taula de continguts |
[edita] Demostraci??
La demostraci?? es fa tenint en compte dos casos. Primer els punts de l???arc que es troben a la zona del arc que queda limitada per la prolongaci?? de les linines que passen pels extrems del segment i el centre. Despr??s els altres punts de l???arc.
[edita] Cas dels punts de l'arc que es troben entre les prolongacions dels radis que passen per A i B
Si C ??s el centre de l???arc de circumfer??ncia que passa per A i B, llavors els triangles PCB i PCA s??n is??sceles doncs els costats PC, CA i CB s??n tots tres iguals al radi de la circumfer??ncia.
Per tant l???angle PCB ??s igual a 180 ??? 2*CPB i l???angle PCA ??s igual a 180 ??? 2*CPA.
Per?? com que PCB + PCA + ACB ha de ser 360. Resulta que:
360= (180-2*CPB)+(180-2*CPA)+ACB
CPB + CPA = 1/2*ACB
Per?? CPB + CPA ??s l???angle amb que el punt P veu el segment AB, i ACB ??s l???angle amb que el veu el centre de la circumfer??ncia, per tant com que aquest raonament es pot fer per a qualsevol punt del arc que quedi entremig de les l??nies de punts tots aquests punts veuen el segment amb un angle meitat del angle amb que el veu el centre.
[edita] Cas dels punts de l'arc que es troben fora de les prolongacions dels radis que passen per A i B
En aquest cas l???angle en que el punt P veu el segment AB (angle APB) es pot expressar com: APB = APC ??? BPC
Els triangles PCA i PCB s??n is??sceles perqu?? els costats PC, AC i CB s??n iguals al radi del arc tra??at amb centre a C.
Per tant l???angle APC = ??(180-PCA) i BPC = ??(180-(PCA+ACB)
Substituint resulta que:
APB = ??(180-PCA) ??? ??(180-(PCA+ACB)) = 1/2ACB
Altre cop l???angle amb que el punt P veu el segment AB ??s la meitat de l???angle amb que el veu el punt C.
Per tant tots els punts del arc que va de A a B amb centre a C veuen al segment AB amb el mateix angle i aquest angle ??s igual a la meitat del angle amb que el veu el mateix punt C.
[edita] Construcci??
Aquest resultat dona el m??tode per a construir l???arc capa??. Dibuixar l???arc capa?? que veu el segment AB amb un angle a cal trobar el punt C de la mediatriu del segment AB que el veu amb un angle 2??. Despr??s prenent com a centre el punt C es dibuixa l???arc que va de A a B.
Per a trobar el punt C nom??s cal tenir en compte que el triangle ACB tamb?? ??s is??sceles per tant l???angle BAC ha de ser ??(180-2 ??) = 90- ??. Es tra??a la mediatriu del segment AB i una recta que passa pel punt A i que forma un angle de 90- ?? respecte del segment AB, el punt on aquesta recta talla la mediatriu ??s el centre de l???arc capa?? d???agle ??.
