Angle

De Viquip??dia

Un angle (del grec agkulos, encorbat, doblegat, a trav??s del llat?? angulus, cantonada) ??s la regi?? del pla compresa entre dues semirectes d'origen com??. Aquest punt com?? rep el nom de v??rtex de l'angle (V), i les semirectes s??n els costats de l'angle. Per angle tamb?? es pot entendre la figura geom??trica que formen les dues semirectes d'origen com??.

Taula de continguts 1 Definici?? m??s rigorosa 1.1 Angles adjacents 1.2 Angles oposats pel v??rtex 1.3 Angle c??ncau 2 Mesura dels angles 2.1 Criteri de signes i altres convencions 3 Angles notables 3.1 Angle pla 3.2 Angle recte 3.3 Angle complet 4 Angles complementaris i angles suplementaris 5 Classificaci?? dels angles en aguts i obtusos 6 Angles sobre superf??cies guerxes 7 Suma d'angles interiors d'un pol??gon simple 8 Angle definit per un producte intern en un espai eucl??dic 9 Vegeu tamb??

[edita] Definici?? m??s rigorosa

Una mica m??s rigorosament (per evitar la imprecisi?? del mot entre), per definir angle es procedeix com segueix:

Siguin dues rectes (a i b ) que intersequen en un punt V. Sigui ?? el pla que defineixen. Es veu que a divideix el pla ?? en dos semiplans i b tamb?? divideix enl pla ?? en uns altres dos semiplans. S'anomena angle convex (o angle) a cadascun del conjunt de punts que pertanyen a dos dels quatre semiplans (es formen doncs quatre angles).

[edita] Angles adjacents

Dos angles s??n adjacents quan els punts que els formen pertanyen a un mateix semipl?? dels determinats per una de les rectes i a diferents semiplans dels determinats per l'altra recta. ??s immediat veure que dos angles adjacents sumen un angle pla.

[edita] Angles oposats pel v??rtex

Dos angles s??n oposats pel v??rtex quan els punts que els formen pertanyen a diferents semiplans dels determinats per una i altra recta. Dos angles oposats pel v??rtex s??n iguals. Demostraci??: els quatre angles que apareixen en la intersecci?? de les rectes a i b sumen un angle complet. Sigui ?? la mesura d'un d'aquests angles. Per la propietat dels angles adjacents, es veu que els dos angles adjacents a ?? mesuren 180??-??. Sumant tots quatre angles i obligant a que sumin un angle complet s'obt?? que la mesura de l'angle oposat pel v??rtex a l'angle ?? ??s tamb?? ??, QED.

[edita] Angle c??ncau

Definit un angle convex, el conjunt format pels seus dos angles adjacents i el seu angle oposat pel v??rtex s'anomena angle c??ncau.

[edita] Mesura dels angles

L'obertura dels angles ??s una magnitud que es pot mesurar mitjan??ant dues maneres diferents:

1. Amb el quocient entre la longitud (l) de l'arc limitat pels dos costats de l'angle d'una circumfer??ncia centrada al v??rtex i el seu radi (r). Aquest quocient ??s independent del radi de la circumfer??ncia i no t?? unitats. Tanmateix se sol indicar amb la pseudounitat radian (rad). . Els radians s??n molt usats en matem??tiques ja que no necessiten d'una convenci?? arbitr??ria i les funcions trigonom??triques presenten desenvolupaments senzills en s??rie de Taylor si el seu argument ??s expressat en radians. ??s per aix?? que ??s la pseudounitat del Sistema Internacional d'Unitats.
2. Comparant-lo amb alguna divisi?? d'algun angle notable. Les comparacions m??s usuals s??n:

• amb la noventena part d'un angle recte (grau sexagesimal, de s??mbol ??). En aquest cas, per subdivisions del grau sexagesimal, usualment s'utilitza la seixantena part del grau sexagesimal, el minut (??) i la seixantena part del minut, el segon ("). Els graus sexagesimals s??n els m??s usats en la vida quotidiana tot i que no tenen cap propietat interessant.
• amb la centena part d'una angle recte (grau centesimal o gon i de s??mbol ^g o ^G). Per a subdivisions del grau centesimal, usualment s'utilitza la centena part del grau centesimal, el minut (^m o ^c) i la centena part del minut, el segon (^s o ^cc). Els graus centesimals s??n molt usats en topografia ja que tenen la bona propietat de fer les divisions en base 100.
• amb l'angle complet (volta sencera).

Algunes equival??ncies apareixen tot seguit:

180?? = 200^g = ?? radvolta sencera

1^g = 100^m = 10000^s = 1^G = 100^c = 10000^cc

1?? = 60?? = 3600"

1rad = 57??17??44.8..."

Les m??quines de calcular solen usar els s??mbols R, D i G per referir-se a radians, graus sexagesimals (en angl??s, degrees) i graus centesimals (en angl??s, grads) respectivament.

Tamb?? ??s freq??ent en angles petits, sobretot per mesurar inclinacions respecte la horitzontal, l'??s de la tangent de l'angle, sovint indicada en forma de percentatge. Llavors, es parla m??s aviat de pendent o rampa, per?? tamb?? s'est?? mesurant l'obertura d'un angle. En aquest cas, la tangent t?? un avantatge clar, i ??s que ??s la ra?? entre la dist??ncia vertical i la horitzontal (per exemple un pendent 4% significa que es recorren 4 metres de dist??ncia vertical per cada 100 metres de dist??ncia horitzontal). La tangent, coincideix aproximadament amb l'angle en radians quan aquest ??s petit.

[edita] Criteri de signes i altres convencions

En matem??tiques en el pla, universalment s'adopta el criteri de signes seg??ent:

• Signe positiu per angles mesurats en sentit antihorari.
• Signe negatiu per angles mesurats en sentit horari.

En matem??tiques en el pla, a m??s, s'enten com a mesura de l'angle d'una recta a l'angle que forma aquesta amb l'eix d'abscisses.

[edita] Angles notables

Per les seves caracter??stiques, cal considerar els seg??ents tres angles:

[edita] Angle pla

L'angle pla ??s l'angle limitat per dues semirectes oposades. Mesura 180??, 200^g o ?? rad.

Dos angles que sumen un angle pla s??n suplementaris.

[edita] Angle recte

L'angle recte ??s aquell que ??s igual al seu suplementari. Mesura 90 graus sexagesimals (??), 100 graus centesimals (^g) o radians (rad) i ??s la meitat d'un angle pla.

Dos angles que sumen un angle recte s??n complementaris.

[edita] Angle complet

De 360??, 400^g o 2?? rad.

[edita] Angles complementaris i angles suplementaris

Dos angles s??n complemetaris si sumen un angle recte.

Dos angles s??n suplementaris si sumen un angle pla.

[edita] Classificaci?? dels angles en aguts i obtusos

Segons la seva comparaci?? amb l'angle recte, els angles es classifiquen en:

• Angles aguts, si s??n estrictament menors que un angle recte.
• Angles rectes, si s??n iguals a un angle recte.
• Angles obtusos, si s??n estrictament majors que un angle recte.

[edita] Angles sobre superf??cies guerxes

(aquest apartat, de moment ??s buit)

[edita] Suma d'angles interiors d'un pol??gon simple

En geometria euclidiana, la suma d'angles interiors d'un pol??gon simple d'n costats ??s de (n-2)???? radians o (n-2)??180??. Aix??, la suma d'angles interns d'un triangle ??s 180?? i la d'un quadril??ter, 360??.

Demostraci??: (aqu?? cal inserir-hi una demostraci?? del que s'acaba d'afirmar).

[edita] Angle definit per un producte intern en un espai eucl??dic

(aquest apartat, de moment ??s buit).

[edita] Vegeu tamb??

• Angle s??lid.
• Nombre pi.