An??lisi complexa
De Viquip??dia
L'an??lisi complexa ??s la branca de les matem??tiques que investiga les funcions de nombres complexos, i ??s d'una utilitat pr??ctica enorme en moltes branques de la f??sica com per exemple la hidrodin??mica.
L'an??lisi complexa es refereix particularment a les funcions anal??tiques de variables complexes, conegudes com a funcions holomorfes.Les funcions holom??rfes estan ??ntimament relacionades amb les funcions harm??niques, que s??n les funcions anul??lades per l'operador de Laplace, el qual apareix en la majoria d'equacions de la f??sica matem??tica.
Taula de continguts |
[edita] Funcions complexes
Una funci?? complexa ??s una funci?? en la que la variable independent i la variable dependent s??n ambdues nombres complexos. Amb m??s precisi??, una funci?? complexa ??s una funci?? definida en un subconjunt del pla complex a valors complexos.
Per a qualsevol funci?? complexa, tant la variable independent com la dependent poden separar-se en les seves components real i imaginaria.
i
- on
D'aqu?? es despr??n que les components de la funci??,
i
es poden interpretar com a funcions reals de dues variables reals i
.
L'extensi?? de funcions reals (exponencials, logaritmes, funcions trigonom??triques) al domini complex s'utilitza normalment com a introducci?? a l'an??lisi complexa.
[edita] Funcions holomorfes
Les funcions holomorfes s??n funcions complexes definides en un subconjunt obert del pla complex que s??n diferenciables en sentit complex. La diferenciabilitat complexa t?? conseq????ncies molt m??s fortes que la diferenciabilitat usual (en sentit real). Per exemple, les funcions holomorfes s??n infinitament diferenciables, un fet que est?? lluny de ser cert per a les funcions diferenciables reals. La majoria de funcions elementals, incloent la funci?? exponencial, les funcions trigonom??triques i totes les funcions polin??miques, s??n holomorfes.
[edita] Resultats principals
Una eina central en l'an??lisi complexa ??s la integral de l??nia. La integral al voltant d'un cam?? tancat d'una funci?? que ??s holomorfa en tots els punts dins de l'??rea envoltada pel cam?? tancat ??s sempre zero.; aquest ??s el Teorema de Cauchy. Els valors d'una funci?? holomorfa dins un disc es poden calcular per una certa integral de cam?? sobre la frontera del disc (F??rmula integral de Cauchy). Les integrals de cam?? en el pla complex s'usen sovint per a determinar integrals reals complicades, i aqu?? ??s on la teoria de residus entre altres ??s ??til (veure: m??todes d'integraci?? de contorn). Si una funci?? t?? un ???pol??? o ???singularitat??? en algun punt, aix?? significa que en aquest punt el valor de la funci?? ???s'escapa??? i no t?? valor finit, aleshores es pot calcular el residu de la funci?? en aquest pol, i aquests residus es poden utilitzar per calcular integrals de cam?? que involucren la funci??; aquest ??s el contingut del teorema dels residus. El comportament de les funcions holomorfes prop de les singularitats essencials es descriu en el teorema de Weierstrass-Casorati. Les funcions que tenen nom??s pols per?? no singularitats essencials s'anomenen meromorfes. Les series de Laurent s??n semblants a les series de Taylor per?? es poden utilitzar per a estudiar el comportament de les funcions a prop de les singularitats.
Una funci?? acotada que ??s holomorfa en tot el pla complex ha de ser constant; aquest ??s el Teorema de Liouville. Es pot utilitzar per a donar una demostraci?? natural i curta del Teorema Fonamental de l'??lgebra que diu que el cos dels nombres complexes ??s algebraicament tancat.
Una propietat important de les funcions holomorfes ??s que si una funci?? ??s holomorfa en tot un domini aleshores els seus valors estan un??vocament determinats pels seus valors en qualsevol subdomini d'aquest. Aix?? permet l'extensi?? de la definici?? de funcions com la funci?? zeta de Riemann que estan inicialment definides en termes de sumes infinites que convergeixen nom??s en dominis limitats a gaireb?? tot el pla complex. Alguns cops, com en el cas del logaritme natural, ??s impossible continuar anal??ticament una funci?? holomorfa a un domini no simplement connex en el pla complex per?? ??s possible estendre-la a una funci?? holomorfa en una superf??cie molt relacionada a aquest domini coneguda com a superf??cie de Riemann.
Tot aix?? es refereix a l'an??lisi complexa en una variable. Tamb?? hi ha una teoria molt rica d'an??lisi complexa en m??s d'una dimensi?? complexa on les propietats anal??tiques com l'expansi?? en s??rie de pot??ncies segueix sent certa mentre que moltes de les propietats geom??triques de les funcions holomorfes en una dimensi?? complexa (com ara la conformitat) ja no s??n v??lides. El teorema de l'aplicaci?? de Riemann sobre les relacions conformes de certs dominis en el pla complex, potser el resultat m??s important en la teoria unidimensional, falla dram??ticament en dimensions superiors.
Aix?? s'aplica en molts camps de l'enginyeria, particularment en l'enginyeria de l'energia.
[edita] Hist??ria
L'an??lisi complexa ??s una de les branques cl??ssiques de les matem??tiques amb les seves arrels al segle XIX tot i que anteriorment ja s'havia fet alguna cosa en aquesta l??nia. Alguns matem??tics importants en aquesta branca s??n Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, i molts d'altres al segle XX.Tradicionalment, l'an??lisi complexa, en particular la teoria d'aplicacions conformes, t?? moltes aplicacions en l'enginyeria, per?? tamb?? s'usa en tota la teoria anal??tica de nombres. En els temps moderns ha esdevingut molt popular a trav??s de la nova al??a de la din??mica complexa i els dibuixos de fractals produ??ts per iteracions de funcions holomorfes, essent el m??s popular el conjunt de Mandelbrot. Una altra aplicaci?? important de l'an??lisi complexa avui en dia ??s en teoria de cordes que ??s una teoria de camps quantics conformement invariant.
[edita] Vegeu tamb??
- Diverses variables complexes
- Teorema de Runge
- Resurg??ncia
- Domini de Fatou Bieberbach
[edita] Refer??ncies
- Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
- Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
- Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
[edita] Enlla??os externs (en angl??s)
- Complex Analysis -- textbook by George Cain
- Complex analysis course web site by Douglas N. Arnold
- Example problems in complex analysis
- A collection of links to programs for visualizing complex functions (and related)
- Complex Analysis Project by John H. Mathews
- Wolfram Research's MathWorld Complex Analysis Page