Les fonctions trigonom??triques

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Fonction	Abr??viation	Les identit??s (en utilisant radians )
Sinus	p??ch??	$\ Sin \ theta \ equiv \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ csc \ theta} \,$
Cosinus	cos	$\ Cos \ theta \ equiv \ sin \ gauche (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ s \ theta} \,$
Tangente	bronzage (Ou Tg)	$\ Tan \ theta \ equiv \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \ equiv \ lit \ gauche (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} { \ lit \ theta} \,$
Cos??cante	csc (Ou COSEC)	$\ Csc \ theta \ equiv \ s \ gauche (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ sin \ theta} \,$
S??cante	seconde	$\ S \ theta \ equiv \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ cos \ theta} \,$
Cotangente	lit d'enfant (Ou CTG ou CTN)	$\ Lit \ theta \ equiv \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \ equiv \ tan \ gauche (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} { \ tan \ theta} \,$

En math??matiques , les fonctions trigonom??triques (??galement appel??es fonctions circulaires) sont les fonctions d'un angle . Ils jouent un r??le important dans l' ??tude de triangles et de mod??lisation ph??nom??nes p??riodiques, parmi beaucoup d'autres applications. Les fonctions trigonom??triques sont commun??ment d??finis comme rapports de deux c??t??s d'un triangle rectangle contenant l'angle, et peut ??tre ??quivalente d??finis comme les longueurs des diff??rents segments de ligne ?? partir d'un cercle unit??. Plus de d??finitions modernes de les exprimer au s??rie infinie ou sous forme de solutions de certaines ??quations diff??rentielles , permettant leur extension ?? des valeurs positives et n??gatives arbitraires et m??me ?? des nombres complexes .

Toutes les fonctions trigonom??triques d'un angle θ peut ??tre construit g??om??triquement en termes d'un cercle unit?? centr?? ?? O.

Dans l'usage moderne, il ya six fonctions trigonom??triques de base, qui sont ensuite pr??sent??s ici avec les ??quations relatives ?? une autre. Surtout dans le cas des quatre derniers, ces relations sont souvent consid??r??s comme les d??finitions de ces fonctions, mais on peut les d??finir aussi bien g??om??triquement ou par d'autres moyens, puis d??river ces relations.

Histoire

La notion qu'il devrait y avoir une correspondance standard entre la longueur des c??t??s d'un triangle et les angles du triangle vient d??s que l'on admet que les triangles semblables maintiennent les m??mes rapports entre leurs c??t??s. Autrement dit, pour chaque triangle similaire, le rapport de l'hypot??nuse (par exemple) et un autre des c??t??s reste le m??me. Si l'hypot??nuse est deux fois plus longtemps, sont donc les c??t??s. Ce est seulement ces rapports que les fonctions trigonom??triques expriment.

Les fonctions trigonom??triques ont ??t?? ??tudi??s par Hipparque de Nic??e (180 ?? 125 avant JC), Ptol??m??e d' Egypte (90-180 AD), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī , Abu al-Wafaa Al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (14??me si??cle), Ulugh Beg (14??me si??cle), Regiomontanus (1464), Rheticus et Rheticus de l'??tudiant Valentin Otho.

Madhava de Sangamagramma (c. 1400) a fait des progr??s rapides dans l' analyse des fonctions trigonom??triques en termes de s??rie infinie. Leonhard Euler Introductio s 'en analysin infinitorum (1748) ??tait principalement charg?? d'??tablir le traitement analytique des fonctions trigonom??triques en Europe, aussi les d??finir s??rie comme infini et pr??sentant " La formule d'Euler ", ainsi que les abr??viations p??ch?? quasi-moderne., Cos., Tang., Lit b??b??., Sec., Et COSEC.

Quelques fonctions sont communes historiquement (et apparaissent dans les premi??res tables), mais sont d??sormais rarement utilis??s, tels que le accord (CRD (θ) = 2 sin (θ / 2)), le Versine (versin (θ) = 1 - cos (θ) = 2 sin?? (θ / 2)), le Haversine (Haversin (θ) = versin (θ) / 2 = sin?? (θ / 2)), le exsecant (exsec (θ) = s (θ) - 1) et le excosecant (excsc (θ) = exsec (π / 2 - θ) = csc (θ) - 1). Beaucoup plus de relations entre ces fonctions sont ??num??r??es dans l'article sur identit??s trigonom??triques.

D??finitions triangle rectangle

Trigonom??trie
Histoire Usage Fonctions G??n??ralis?? Fonctions inverses Pour en savoir plus
R??f??rence
Identit??s Constantes pr??cises Tables trigonom??triques
Lois et th??or??mes
Loi des sinus Loi des cosinus Loi des tangentes Loi de cotangentes Th??or??me de Pythagore
Calcul
Substitution trigonom??trique Int??grales de fonctions D??riv??es des fonctions Int??grales de fonctions inverses

Un triangle comprend toujours un angle de 90 ?? (π / 2 radians), voici ??tiquet?? C Angles A et B peut varier. Les fonctions trigonom??triques pr??cisent les relations entre les longueurs des c??t??s et les angles int??rieurs d'un triangle rectangle.

Afin de d??finir les fonctions trigonom??triques de l'angle A, commencer avec un arbitraire triangle qui contient l'angle A:

Nous utilisons les noms suivants pour les c??t??s du triangle:

Le hypot??nuse est le c??t?? oppos?? ?? l'angle droit, ou d??fini comme le c??t?? le plus long d'un triangle rectangle, dans ce cas h.
Le c??t?? oppos?? est le c??t?? oppos?? ?? l'angle qui nous int??resse, dans ce cas un.
Le c??t?? adjacent est le c??t?? qui est en contact avec l'angle qui nous int??resse et l'angle droit, d'o?? son nom. Dans ce cas, le c??t?? adjacent est b.

Tous les triangles sont prises pour exister dans le plan euclidien sorte que les angles ?? l'int??rieur de chaque montant en forme de triangle ?? π radians (ou 180 ?? ); Par cons??quent, pour un triangle rectangle des deux angles non-droits sont compris entre z??ro et π / 2 radians (ou 90 ?? ). Le lecteur doit noter que les d??finitions suivantes, ?? proprement parler, ne d??finissent les fonctions trigonom??triques pour les angles de cette gamme. Nous les ??tendre ?? l'ensemble des arguments r??els en utilisant le cercle unit??, ou en exigeant certaines sym??tries et qu'ils soient des fonctions p??riodiques.

1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du c??t?? oppos?? ?? la longueur de l'hypot??nuse. Dans notre cas

$\ Sin A = \ frac {\ {textrm face}} {\ textrm {}} hypot??nuse = \ frac {a} {h}$ .

Notez que ce ratio ne d??pend pas du triangle droit particulier choisi, tant qu'il contient de l'angle A, puisque tous ces triangles sont similaire.

L'ensemble des z??ros de sinus (ie, les valeurs de $x$ pour lequel $\ Sin x = 0$ ) Est

$\ \ Left {n \ pi \ big | n \ ISIN \ mathbb {Z} \ right \}$ .

2) le cosinus d'un angle est le rapport entre la longueur du c??t?? adjacent ?? la longueur de l'hypot??nuse. Dans notre cas

$\ Cos A = \ frac {\ {textrm adjacente}} {\ textrm {}} hypot??nuse = \ frac {b} {h}$ .

L'ensemble des z??ros de cosinus

$\ \ Left {\ frac {\ pi} {2} + n \ pi \ bigg | n \ ISIN \ mathbb {Z} \ right \}$ .

3) La tangente de l'angle est le rapport entre la longueur du c??t?? oppos?? ?? la longueur du c??t?? adjacent. Dans notre cas

$\ Tan A = \ frac {\ {textrm face}} {\ textrm {}} adjacente = \ frac {a} {b}$ .

L'ensemble des z??ros de tangente est

$\ \ Left {n \ pi \ big | n \ ISIN \ mathbb {Z} \ right \}$ .

Le m??me ensemble de la fonction sinus depuis

$\ Tan A = \ frac {\ sin A} {\ cos A}$ .

Les trois autres fonctions sont mieux d??finies en utilisant les trois fonctions ci-dessus.

4) Le cos??cante csc (A) est le inverse multiplicatif de sin (A), ce est ?? dire le rapport de la longueur de l'hypot??nuse de la longueur du c??t?? oppos??:

$\ Csc A = \ frac {\ {textrm hypot??nuse}} {\ textrm {}} face = \ frac {h} {a}$ .

5) Le sec s??cant (A) est le inverse multiplicatif de cos (A), ce est ?? dire le rapport de la longueur de l'hypot??nuse de la longueur du c??t?? adjacent:

$\ S A = \ frac {\ {textrm hypot??nuse}} {\ textrm {}} adjacente = \ frac {h} {b}$ .

6) La cotangente lit (A) est le inverse multiplicatif de tan (A), ce est ?? dire le rapport entre la longueur du c??t?? adjacent ?? la longueur de l'autre c??t??:

$\ Lit A = \ frac {\ {textrm adjacente}} {\ textrm {}} face = \ frac {b} {a}$ .

d??finitions de pente

Equivalent aux d??finitions droit triangle, les fonctions trigonom??triques peuvent ??tre d??finies en termes de hausse, Ex??cuter, pente d'un segment de ligne par rapport ?? une ligne horizontale. La pente est souvent enseign?? comme "mont??e sur la distance" ou hausse / run. Les trois principales fonctions trigonom??triques sont couramment enseign??s dans l'ordre sinus, cosinus, tangente. Avec un cercle unit??, la correspondance suivante existe des d??finitions:

Sine est le premier, est le premier lieu. Sine prend un angle et raconte la mont??e.
Cosinus est seconde, terme est deuxi??me. Cosinus prend un angle et raconte la course.
Tangent est la formule de la pente qui combine la mont??e et la course. Tangent prend un angle et raconte la pente.

Cela montre l'utilisation principale de la tangente et arctangente: la conversion entre les deux fa??ons de raconter l'inclinaison d'une ligne, ce est ?? dire, les angles et les pentes. (Notez que l'arctangente ou ??tangente inverse" ne doit pas ??tre confondu avec la cotangente, qui est cos divis?? par le p??ch??.)

Alors que le rayon du cercle ne fait aucune diff??rence pour la pente (la pente ne d??pend pas de la longueur de la ligne oblique), elle ne affecte pas mont??e et ex??cut??. Pour adapter et de trouver la hausse r??elle et courir, il suffit de multiplier le sinus et cosinus par le rayon. Par exemple, si le cercle a un rayon de 5, la course ?? un angle de 1 ?? est 5 cos (1 ??)

D??finitions Unit??-cercle

Le cercle unit??

Les six fonctions trigonom??triques peuvent ??galement ??tre d??finies en termes de cercle unit??, le cercle de rayon une centr??e ?? l'origine. La d??finition de cercle unit?? fournit peu ?? la mani??re de calcul pratique; En effet, il se appuie sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. La d??finition de cercle unit?? ne permet toutefois la d??finition des fonctions trigonom??triques pour tous les arguments positifs et n??gatifs, et pas seulement pour des angles entre 0 et π / 2 radians. Il fournit ??galement une seule image visuelle qui encapsule ?? la fois tous les triangles importants. Du th??or??me de Pythagore l'??quation pour le cercle unit?? est:

$x ^ 2 + y ^ 2 = 1 \,$

Sur la photo, quelques angles communs, mesur??e en radians, sont donn??s. Mesures dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sont des angles positifs et des mesures dans le sens horaire sont des angles n??gatifs. Laissez une ligne passant par l'origine, faisant un angle de θ avec la moiti?? positive du cercle axe x intersection de l'appareil. Les x - et y -coordinates de ce point d'intersection sont ??gaux ?? cos θ et sin θ, respectivement. Le triangle dans le graphique applique la formule; le rayon est ??gal ?? l'hypot??nuse et a une longueur de 1, donc nous avons p??ch?? θ = y / 1 et cos θ = x / 1. Le cercle unit?? peut ??tre consid??r?? comme un moyen de regarder un nombre infini de triangles en faisant varier la longueur de leurs jambes, mais en gardant les longueurs de leurs hypot??nuses ??gal ?? 1.

Le f (x) = sin (x) et f (x) = cos (x) repr??sentations graphiques de fonctions sur le plan cart??sien.

Les fonctions trigonom??triques: sinus, cosinus, tangente, Cosecant, s??cantes, Cotangent

Pour des angles sup??rieurs ?? 2π ou moins de -2π, il suffit de continuer ?? tourner autour du cercle. De cette mani??re, le sinus et le cosinus devient fonctions p??riodiques avec la p??riode 2π:

$\ Sin \ theta = \ sin \ gauche (\ theta + 2 \ pi k \ right)$

$\ Cos \ theta = \ cos \ left (\ theta + 2 \ pi k \ right)$

pour ne importe quel angle θ et tout entier k.

La plus petite p??riode positive d'une fonction p??riodique est appel??e la p??riode primitive de la fonction. La p??riode primitive du sinus, cosinus, s??cante ou cos??cante est un cercle complet, soit 2π radians ou 360 degr??s; la p??riode primitive de la tangente ou cotangente est seulement un demi-cercle, soit π radians ou 180 degr??s. Ci-dessus, seulement sinus et cosinus sont d??finis directement par le cercle unit??, mais les quatre autres fonctions trigonom??triques peuvent ??tre d??finis par:

$\ Tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \ quad \ s \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}$

$\ Csc \ theta = \ frac {1} {\ sin \ theta} \ quad \ lit \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ theta p??ch?? \}$

Le f (x) = fonction tan (x) graphiquement sur le plan cart??sien.

Pour le droit est une image qui affiche un graphique sensiblement diff??rente de la fonction trigonom??trique f (θ) = tan (θ) graphiquement sur le plan cart??sien. Notez que ses abscisses ?? l'origine correspondent ?? celle du p??ch?? (θ), tandis que ses valeurs non d??finies correspondent aux abscisses ?? l'origine des cos θ (). Observer que les r??sultats de la fonction changent lentement autour des angles de k π, mais changent rapidement ?? des angles proches de (k + 1/2) π. Le graphe de la fonction tangente verticale a ??galement un asymptote ?? θ = (k + 1/2) π. Ce est le cas parce que la fonction tend vers l'infini que θ approches (k + 1/2) π de la gauche et moins l'infini ?? l'approche (k + 1/2) π de la droite.

Sinon, toutes les fonctions trigonom??triques de base peut ??tre d??fini en termes d'un cercle unit?? centr?? ?? O (illustr?? ?? droite, vers le haut de la page), et ces d??finitions g??om??triques semblables ont ??t?? utilis??s historiquement. En particulier, pour une corde AB du cercle, o?? θ est la moiti?? de l'angle sous-tendu, sin (θ) est AC (la moiti?? de la corde), une d??finition introduite en Inde (voir ci-dessus). cos (θ) est l'OC de distance horizontale, et versin (θ) = 1 - cos (θ) est CD. tan (θ) est la longueur du segment AE de la tangente par A, d'o?? le mot tangente pour cette fonction. lit b??b?? (θ) est un autre segment de la tangente, AF. s (θ) = OE et csc (θ) = sont des segments de droites s??cantes (coupant le cercle en deux points), et peuvent ??galement ??tre consid??r??s comme des projections de l'arthrose long de la tangente en A aux axes horizontaux et verticaux, respectivement. DE est exsec (θ) = s (θ) - 1 (la partie de la s??cante ext??rieur, ou ex, le cercle). De ces constructions, il est facile de voir que les fonctions de s??cantes et tangente divergent θ approches π / 2 (90 degr??s) et que la cos??cante et la cotangente divergent θ tend vers z??ro. (Beaucoup de constructions similaires sont possibles, et les identit??s trigonom??triques de base peuvent ??galement ??tre prouv??s graphique.)

d??finitions de la s??rie

La fonction sinus (bleu) est ??troitement approch??e par son polyn??me de Taylor de degr?? 5 (rose) pour un cycle complet centr?? sur l'origine.

En utilisant seulement la g??om??trie et les propri??t??s des limites , il peut ??tre d??montr?? que le d??riv?? de sinus cosinus et est d??riv?? de cosinus est le n??gatif de sinus. (Ici, et plus g??n??ralement dans le calcul , tous les angles sont mesur??s en radians ; voir ??galement l'importance de radians ci-dessous.) On peut alors utiliser la th??orie de la s??rie de Taylor de montrer que les identit??s suivantes sont valables pour tous les nombres r??els x:

$\ Sin x = x - \ frac {x ^ 3} {! 3} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {!} + 7 \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)}!$

$\ Cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {! 2} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ Frac {x ^ 6} {!} + 6 \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}!} {(2n)}$

Ces identit??s sont souvent consid??r??s comme les d??finitions de la fonction sinus et cosinus. Ils sont souvent utilis??s comme point de d??part d'un traitement rigoureux des fonctions trigonom??triques et leurs applications (par exemple, dans s??rie de Fourier), depuis la th??orie de s??rie infinie peut ??tre ??labor?? ?? partir des fondements de la syst??me de nombre r??el , ind??pendamment de toutes consid??rations g??om??triques. Le diff??rentiabilit?? et la continuit?? de ces fonctions sont ensuite ??tabli ?? partir des d??finitions de la s??rie seuls.

Autre s??rie peut ??tre trouv??:

$\ Tan x \,$	${} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {{U_ 2n + 1 x} ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}$
	${} = \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1} ^ {2} 2n (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1 }} {(2n)!}$
	${} = X + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {2 x ^ 5} {15} + \ frac {17 x ^ 7} {315} + \ cdots, \ qquad \ mbox {for} \| x \| <\ frac {\ pi} {2}$

o??

$U_n \,$ est la n i??me haut / bas nombre,

$B_n \,$ est la n i??me Nombre de Bernoulli, et

$E_n \,$ (Ci-dessous) est le n i??me Nombre d'Euler.

Lorsque cela est exprim?? dans une forme dans laquelle les d??nominateurs sont les factorielles correspondantes, et les num??rateurs, appel?? "num??ros tangents", ont une combinatoire interpr??tation: ils ??num??rent permutations altern??es de ensembles finis de cardinalit?? impaire.

$\ Csc x \,$	${} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1} 2 (2 ^ {2n-1} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}$
	${} = \ Frac {1} {x} + \ frac {x} {6} + \ frac {7 x ^ 3} {360} + \ frac {31 x ^ 5} {15120} + \ cdots, \ qquad \ mbox {} pour 0 <\| x \| <\ pi$

$\ Sec x \,$	${} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {{2n} U_ x ^ {2n}} {(2n)!} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}$
	${} = 1 + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {5 x ^ 4} {24} + \ frac {61 x ^ 6} {720} + \ cdots, \ qquad \ mbox {for} \| x \| <\ frac {\ pi} {2}$

Lorsque cela est exprim?? dans une forme dans laquelle les d??nominateurs sont les factorielles correspondant, les num??rateurs, appel??s les "num??ros" s??cantes, ont une combinatoire interpr??tation: ils ??num??rent permutations altern??es de ensembles finis de m??me cardinal.

$\ Lit x \,$	${} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac - {! (2n)} {(1) ^ n ^ {2} 2n B_ {2n} x ^ {2n-1}}$
	${} = \ Frac {1} {x} - \ frac {x} {3} - \ frac {x ^ 3} {45} - \ frac {2 x ^ 5} {945} - \ cdots, \ qquad \ mbox {} pour 0 <x \| \| <\ pi$

De un th??or??me analyse complexe, il existe un prolongement analytique unique de cette fonction r??elle pour les nombres complexes. Ils ont la m??me s??rie de Taylor, et ainsi les fonctions trigonom??triques sont d??finis sur les nombres complexes en utilisant la s??rie de Taylor ci-dessus.

Relation ?? la fonction exponentielle et nombres complexes

sine complexe

cosinus complexe

Il peut ??tre d??montr?? par les d??finitions de la s??rie que les fonctions sinus et cosinus sont les imaginaires et r??els parties, respectivement, de la fonction exponentielle complexe lorsque son argument est purement imaginaire:

$e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta \,$ .

Cette identit?? est appel??e La formule d'Euler. De cette fa??on, les fonctions trigonom??triques deviennent essentiels dans l'interpr??tation g??om??trique d'analyse complexe. Par exemple, avec l'identit?? ci-dessus, si l'on consid??re le cercle unit?? dans le plan complexe , d??finie par e ^{i x,} et comme ci-dessus, on peut param??trer ce cercle en fonction de cosinus et de sinus, le rapport entre l'exponentielle complexe et la trigonom??trique fonctions devient plus apparente.

En outre, cela permet la d??finition des fonctions trigonom??triques pour les arguments complexes z:

$\ Sin z \ = \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {! (2n + 1)} z ^ {2n + 1} \, = \, {e ^ {} iz - e ^ {-} iz \ over 2i} = -i \ sinh \ left (iz \ right)$

$\ Cos z \ = \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {! (2n)} z ^ {2n} \, = \, {e ^ {} iz + e ^ {- iz} \ over 2} = \ cosh \ left (iz \ right)$

o?? i ² = -1. Aussi, pour des raisons purement r??el x,

$\ cos x \, = \, \ mbox {} Re (e ^ {x} i)$

$\ Sin x \, = \, \ mbox {} Im (e ^ {x} i)$

Il est ??galement connu que les processus exponentielles sont intimement li??s au comportement p??riodique.

D??finitions via des ??quations diff??rentielles

Les deux fonctions sinus et cosinus satisfont ?? l' ??quation diff??rentielle

$y '' = - y$ .

Ce est-??-dire, chacun est le n??gatif de son propre d??riv?? seconde. Dans le deux dimensions un espace de r??ception V constitu?? par les solutions de cette ??quation, la fonction sinus est l'unique solution satisfaisant aux conditions initiales y (0) = 0 et y '(0) = 1, et la fonction cosinus est l'unique solution satisfaisant aux conditions initiales y (0) = 1 et y '(0) = 0. Etant donn?? que les fonctions sinus et cosinus sont lin??airement ind??pendantes, ensemble, ils forment un base de V. Cette mani??re de d??finir les fonctions sinus et cosinus est essentiellement ??quivalente ?? l'aide de la formule d'Euler. (Voir ??quation diff??rentielle lin??aire.) Il se av??re que cette ??quation diff??rentielle peut ??tre utilis?? non seulement pour d??finir les fonctions sinus et cosinus, mais aussi pour prouver la identit??s trigonom??triques pour les fonctions sinus et cosinus. En outre, l'observation que les sinus et cosinus satisfait $y '' = - y$ signifie qu'ils sont fonctions propres de la d??riv??e seconde op??rateur.

La fonction tangente est l'unique solution de l'??quation diff??rentielle non lin??aire

$y '= 1 + y ^ 2$

satisfaisant ?? la condition initiale y (0) = 0. Il existe une preuve visuelle tr??s int??ressant de noter que la fonction tangente satisfait ?? cette ??quation diff??rentielle; voir Analyse Visual Complex de Needham.

L'importance de radians

Radians sp??cifier un angle de mesure de la longueur autour de la trajectoire du cercle unit?? et constituent un argument particulier pour les fonctions sinus et cosinus. En particulier, seuls les sinus et cosinus quelle carte radians ratios satisfont les ??quations diff??rentielles qui d??crivent classiquement eux. Si un argument en sinus et cosinus en radians est redimensionn?? par la fr??quence,

$f (x) = \ sin (kx); k \ ne 0, k \ ne 1 \,$

alors les d??riv??s seront ??chelle par amplitude.

$f '(x) = k \ cos (kx) \,$ .

Ici, k est une constante qui repr??sente une correspondance entre les unit??s. Si x est en degr??s, puis

$k = \ frac {\ pi} {180 ^ \ circ}$ .

Cela signifie que la d??riv??e seconde de la condition sine en degr??s satisfait pas ?? l'??quation diff??rentielle

$y '' = -y \,$ ,

mais plut??t

$y '' = k ^ 2a \;$ ;

d??riv??e seconde de cosinus se comporte de fa??on similaire.

Cela signifie que ces sinus et cosinus sont des fonctions diff??rentes, et que le quatri??me d??riv?? de sinus sinus seront de nouveau seulement si l'argument est en radians.

Identit??s

Beaucoup identit??s existent, qui interagissent les fonctions trigonom??triques. Parmi les plus fr??quemment utilis?? est l'identit?? de Pythagore, qui stipule que, pour ne importe quel angle, le carr?? du sinus plus le carr?? du cosinus est toujours 1. Ce est facile de voir en ??tudiant un triangle droit de l'hypot??nuse 1 et en appliquant le th??or??me de Pythagore . Dans une forme symbolique, l'identit?? de Pythagore lit,

$\ Left (\ sin x \ right) ^ 2 + \ left (\ cos x \ right) ^ 2 = 1$ ,

qui est plus commun??ment ??crit avec l'exposant ??deux?? ?? c??t?? du symbole de sinus et cosinus:

$\ Sin ^ 2 \ gauche (x \ right) + \ cos ^ 2 \ gauche (x \ right) = 1$ .

Dans certains cas, les parenth??ses int??rieures peuvent ??tre omises.

D'autres relations cl??s sont la somme et la diff??rence des formules qui donnent le sinus et cosinus de la somme et la diff??rence des deux angles en termes de sinus et cosinus des angles eux-m??mes. Ceux-ci peuvent ??tre d??riv??es g??om??triquement, en utilisant des arguments qui remontent ?? Ptol??m??e ; on peut aussi les produire alg??brique en utilisant la formule d'Euler.

$\ Sin \ gauche (x + y \ right) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ y p??ch??$

$\ cos \ left (x + y \ right) = \ cos x \ cos y - \ sin x \ y p??ch??$

$\ Sin \ gauche (xy \ right) = \ sin x \ cos y - \ cos x \ y p??ch??$

$\ cos \ left (xy \ right) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ y p??ch??$

Lorsque les deux angles sont ??gaux, les formules de somme ?? r??duire ??quations simples connus comme les formules angle double.

Ces identit??s peuvent ??galement ??tre utilis??s pour d??river le identit??s produit-??-somme qui ont ??t?? utilis??s dans l'antiquit?? pour transformer le produit de deux nombres en une somme de chiffres et d'acc??l??rer consid??rablement les op??rations, tout comme la fonction logarithme .

Calcul

Pour int??grales et d??riv??s de fonctions trigonom??triques, voir les sections pertinentes du table des d??riv??s, table des int??grales, et liste des int??grales de fonctions trigonom??triques. Voici la liste des d??riv??es et int??grales des six fonctions trigonom??triques de base.

$\ \ \ \ F (x)$	$\ Frac {d} {dx} f (x)$	$\ Int f (x) \, dx$
$\ \ \ Sin x$	$\ \ \ X cos$	$\, \ - \ Cos x + C$
$\ \ \ X cos$	$\, \ - \ Sin x$	$\ \ \ Sin x + C$
$\ \ \ X tan$	$\ \ \ S ^ {2} x$	$- \ En \ left \| \ cos x \ right \| + C$
$\ \ \ X lit$	$\ \ \ Csc ^ {2} x$	$\ En \ left \| \ sin x \ right \| + C$
$\ \ \ X sec$	$\ \ \ S {x} \ tan {x}$	$\ En \ left \| \ s + x \ tan x \ right \| + C$
$\ \ \ Csc x$	$\, \ - \ Csc {x} \ lit {x}$	$- \ En \ left \| \ csc + x \ lit x \ right \| + C$

D??finitions utilisant les ??quations fonctionnelles

Dans l'analyse math??matique , on peut d??finir les fonctions trigonom??triques utilisant ??quations fonctionnelles bas??es sur des propri??t??s telles que les formules somme et de diff??rence. En prenant comme donn?? ces formules ainsi que l'identit?? de Pythagore, par exemple, on peut prouver que seulement deux fonctions r??elles remplissent ces conditions. Symboliquement, nous disons qu'il existe exactement une paire de fonctions r??elles $\ \ \ P??ch??$ et $\ \ \ Cos$ de telle sorte que pour tous les nombres r??els x et y, les ??quations suivantes sont v??rifi??es:

$\ Sin ^ 2 (x) + \ ^ 2 cos (x) = 1, \,$

$\ Sin (x \ h y) = \ sin (x) \ cos (y) \ h \ cos (x) \ sin (y), \,$

$\ Cos (x \ h y) = \ cos (x) \ cos (y) \ mp \ sin (x) \ sin (y), \,$

avec la condition suppl??mentaire que

$0 <x \ cos (x) <\ sin (x) <x \ \ mathrm {for} \ 0 <x <1$ .

D'autres d??rivations, ?? partir d'autres ??quations fonctionnelles sont ??galement possibles, et de telles d??rivations peuvent ??tre ??tendus ?? des nombres complexes. A titre d'exemple, cette d??rivation peut ??tre utilis?? pour d??finir la trigonom??trie dans les champs de Galois.

Calcul

Le calcul de fonctions trigonom??triques est un sujet complexe, qui, aujourd'hui, peut ??tre ??vit??e par la plupart des gens en raison de la grande disponibilit?? des ordinateurs et calculatrices scientifiques qui fournissent des fonctions int??gr??es trigonom??triques pour ne importe quel angle. Dans cette section, cependant, nous d??crivons plus de d??tails sur leur calcul dans trois contextes importants: l'utilisation historique de tables trigonom??triques, les techniques modernes utilis??es par les ordinateurs, et quelques angles ??importants?? o?? les valeurs exactes simples sont faciles ?? trouver. (Ci-dessous, il suffit de consid??rer une petite gamme d'angles, par exemple de 0 ?? π / 2, puisque tous les autres angles peuvent ??tre r??duits ?? cette gamme par la p??riodicit?? et les sym??tries des fonctions trigonom??triques.)

Avant les ordinateurs, les gens g??n??ralement ??valu??s fonctions trigonom??triques par interpolation ?? partir d'un tableau d??taill?? de leurs valeurs, calcul??e ?? beaucoup chiffres significatifs. De telles tables sont disponibles pour aussi longtemps que les fonctions trigonom??triques ont ??t?? d??crits (voir histoire ci-dessus), et ont ??t?? typiquement g??n??r?? par l'application r??p??t??e de la demi-angle et l'angle d'addition identit??s ?? partir d'une valeur connue (telles que sin (π / 2) = 1).

Les ordinateurs modernes utilisent une vari??t?? de techniques. Une m??thode courante, en particulier sur les processeurs haut de gamme avec des unit??s ?? virgule flottante, est de combiner un polyn??me ou rationnel approximation (tels que Chebyshev rapprochement, rapprochement plus bel uniforme, et Approximation de Pad??, et g??n??ralement plus ??lev??s pour les pr??cisions ou variables, Taylor et Laurent s??rie) avec r??duction et une consultation de table - ils regardent d'abord jusqu'?? l'angle le plus proche ?? une petite table, et ensuite utiliser le polyn??me pour calculer la correction. Sur les appareils plus simples qui manquent multiplicateurs de mat??riel, il existe un algorithme appel?? CORDIC (ainsi que des techniques apparent??es) qui est plus efficace, car elle ne utilise que d??calages et d'additions. Toutes ces m??thodes sont couramment mis en oeuvre en mat??riel pour des raisons de performances.

Pour les calculs de tr??s haute pr??cision, lorsque la convergence de d??veloppement en s??rie devient trop lente, les fonctions trigonom??triques peuvent ??tre estim??s par le arithm??tique moyenne g??om??trique, qui se rapproche de la fonction trigonom??trique par le ( complexe ) int??grale elliptique.

Enfin, pour certains angles simples, les valeurs peuvent ??tre calcul??es facilement ?? la main en utilisant le th??or??me de Pythagore , comme dans les exemples suivants. En fait, le sinus, cosinus et tangente de tout multiple entier de $\ Pi / 60$ radians (3 ??) peuvent ??tre trouv??s exactement ?? la main.

Consid??rons un triangle o?? les deux autres angles sont ??gaux, et sont donc ?? la fois $\ Pi / 4$ radians (45 ??). Ensuite, la longueur du c??t?? b et la longueur du c??t?? a sont ??gaux; nous pouvons choisir $a = b = 1$ . Les valeurs de sinus, cosinus et tangente d'un angle de $\ Pi / 4$ radians (45 ??) peuvent alors ??tre trouv??s en utilisant le th??or??me de Pythagore:

$c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = \ SQRT2$ .

Par cons??quent:

$\ Sin \ gauche (\ pi / 4 \ right) = \ sin \ gauche (45 ^ \ circ \ right) = \ cos \ left (\ pi / 4 \ right) = \ cos \ gauche (45 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over \ SQRT2}$ ,

$\ Tan \ left (\ pi / 4 \ right) = \ tan \ gauche (45 ^ \ circ \ right) = {{\ sin \ gauche (\ pi / 4 \ right)} \ over {\ cos \ left (\ pi / 4 \ right)}} = {1 \ over \ SQRT2} \ cdot {\ SQRT2 \ over 1} = {\ SQRT2 \ over \ SQRT2} = 1$ .

Pour d??terminer les fonctions trigonom??triques pour des angles de π / 3 radians (60 degr??s) et π / 6 radians (30 degr??s), nous commen??ons par un triangle ??quilat??ral de la longueur du c??t?? 1. Tous ses angles sont π / 3 radians (60 degr??s). En le divisant en deux, on obtient un triangle rectangle avec π / 6 radians (30 degr??s) et π / 3 radians (60 degr??s) angles. Pour ce triangle, le c??t?? le plus court = 1/2, le prochain grand c??t?? = (√3) / 2 et l'hypot??nuse = 1. Cela donne:

$\ Sin \ gauche (\ pi / 6 \ right) = \ sin \ gauche (30 ^ \ circ \ right) = \ cos \ left (\ pi / 3 \ right) = \ cos \ gauche (60 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over 2}$ ,

$\ Cos \ left (\ pi / 6 \ right) = \ cos \ gauche (30 ^ \ circ \ right) = \ sin \ gauche (\ pi / 3 \ right) = \ sin \ gauche (60 ^ \ circ \ right ) = {\ sqrt3 \ over 2}$ ,

$\ Tan \ left (\ pi / 6 \ right) = \ tan \ gauche (30 ^ \ circ \ right) = \ lit \ gauche (\ pi / 3 \ right) = \ lit \ gauche (60 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over \ sqrt3}$ .

Fonctions inverses

Les fonctions trigonom??triques sont p??riodiques, et donc pas injective, si strictement ils ne ont pas une fonction inverse . Par cons??quent, pour d??finir une fonction inverse, nous devons restreindre leurs domaines de sorte que la fonction trigonom??trique est bijective. Dans ce qui suit, les fonctions du c??t?? gauche sont d??finies par l'??quation de la droite; ce ne sont pas les identit??s prouv??es. Les principaux inverses sont g??n??ralement d??finis comme:

$\ Begin {matrix} \ mbox {for} & - \ frac {\ pi} {2} \ y le \ le \ frac {\ pi} {2}, & y = \ arcsin (x) & \ mbox {if} & x = \ sin (y) \\ \\ \ mbox {for} & 0 \ y le \ le \ pi, & y = \ arccos (x) & \ mbox {if} & x = \ cos (y) \ \ \\ \ mbox {for} & - \ frac {\ pi} {2} <y <\ frac {\ pi} {2}, & y = \ arctan (x) & \ mbox {if} & x = \ tan (y) \\ \\ \ mbox {for} & - \ frac {\ pi} {2} \ y le \ le \ frac {\ pi} {2}, y \ ne 0, & y = \ arccsc ( x) & \ mbox {if} & x = \ csc (y) \\ \\ \ mbox {for} & 0 \ y le \ le \ pi, y \ ne \ frac {\ pi} {2}, et y = \ arcsec (x) & \ mbox {if} & x = \ s (y) \\ \\ \ mbox {for} & 0 <y <\ pi, & y = \ arccot (x) & \ mbox {if } & x = \ lit b??b?? (y) \ end {matrix}$

Pour les fonctions trigonom??triques inverses, les notations sin ^-1 et cos ^-1 sont souvent utilis??s pour arcsin et arccos, etc. Lors de cette notation est utilis??, les fonctions inverses peuvent ??tre confondus avec les inverses multiplicatifs des fonctions. La notation utilisant le pr??fixe "d'arc" ??vite une telle confusion, si "arcsec" peut ??tre confondu avec " seconde d'arc ".

Tout comme le sinus et cosinus, les fonctions trigonom??triques inverses peuvent ??galement ??tre d??finies en termes de s??rie infinie. Par exemple,

$\ Arcsin z = z + \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ frac {z ^ 3} {3} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right ) \ frac {z ^ 5} {5} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ right) \ frac {z ^ 7} {7} + \ cdots$

Ces fonctions peuvent ??galement ??tre d??finis par prouvant qu'ils sont primitives d'autres fonctions. L'arc sinus, par exemple, peut se ??crire comme l'int??grale suivante:

$\ Arcsin \ left (x \ right) = \ int_0 ^ x \ frac 1 {\ sqrt {1 - z ^ 2}} \, \ mathrm {d} z, \ quad | x | <1$

Des formules analogues pour les autres fonctions peuvent ??tre trouv??s ?? Fonction trigonom??trique inverse. En utilisant le logarithme complexe, on peut g??n??raliser toutes ces fonctions ?? des arguments complexes:

$\ Arcsin (z) = -i \ log \ gauche (+ iz \ sqrt {1 - z ^ 2} \ right)$

$\ Arccos (z) = -i \ log \ gauche (z + \ sqrt {z ^ 2 - 1} \ right)$

$\ Arctan (z) = \ frac {i} {2} \ log \ gauche (\ frac {1} {iz-1 + iz} \ right)$

Propri??t??s et applications

Les fonctions trigonom??triques, comme son nom l'indique, sont d'une importance cruciale dans la trigonom??trie , principalement en raison des deux r??sultats suivants.

Loi des sinus

Le loi des sinus stipule que pour un arbitraire triangle de c??t??s a, b, et c et angles oppos??s les c??t??s A, B et C:

$\ Frac {\ sin A} {a} = \ frac {\ p??ch?? B} {b} = \ frac {\ p??ch?? C} {c}$

aussi connu comme:

$\ Frac {a} {\ sin A} = \ frac {b} {\ p??ch?? B} = \ frac {c} {\ p??ch?? C} = 2R$

o?? R est le rayon du triangle de circonscrit.

Un Courbe de Lissajous, une figure form??e avec une fonction bas??e trigonom??trie.

Il peut ??tre prouv?? en divisant le triangle en deux droits et l'utilisation de la d??finition ci-dessus sinuso??dale. La loi des sinus est utile pour calculer les longueurs des c??t??s d'un triangle inconnues si deux angles et un c??t?? sont connus. Ce est une situation courante se passe dans triangulation, une technique pour d??terminer les distances inconnues en mesurant deux angles et une distance clos accessible.

Loi des cosinus

Le loi des cosinus (aussi connu comme la formule du cosinus) est une extension du th??or??me de Pythagore :

$c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C \,$

aussi connu comme:

$\ Cos C = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {} 2ab$

Dans cette formule, l'angle C est oppos??e ?? la face c. Ce th??or??me peut ??tre prouv?? en divisant le triangle en deux droits et en utilisant le th??or??me de Pythagore .

La loi des cosinus est surtout utilis?? pour d??terminer un c??t?? d'un triangle si deux c??t??s et un angle sont connus, bien que dans certains cas, il peut y avoir deux solutions positives que dans le SSA cas ambigu. Et peut ??galement ??tre utilis?? pour trouver le cosinus d'un angle (et par cons??quent l'angle lui-m??me) si tous les c??t??s sont connus.

Autres propri??t??s utiles

Il existe ??galement un la loi des tangentes:

$\ Frac {a + b} {ab} = \ frac {\ tan [\ frac {1} {2} (A + B)]} {\ tan [\ frac {1} {2} (AB)]}$

Fonctions p??riodiques

Animation de la synth??se additive d'un onde carr??e avec un nombre croissant d'harmoniques

Les fonctions trigonom??triques sont ??galement importants dans la physique. Les fonctions sinus et cosinus, par exemple, sont utilis??s pour d??crire la mouvement harmonique simple, les mod??les de nombreuses ph??nom??nes naturels, tels que le mouvement d'une masse attach??e ?? un ressort et, pour les petits angles, le mouvement pendulaire d'une pendaison collective par une cha??ne. Les fonctions sinus et cosinus sont des projections unidimensionnelles de la le mouvement circulaire uniforme.

Les fonctions trigonom??triques ??galement se av??rer utile dans l'??tude des g??n??rale des fonctions p??riodiques. Ces fonctions ont des mod??les d'onde caract??ristiques que les graphiques, utiles pour la mod??lisation des ph??nom??nes r??currents tels que sonores ou lumineux vagues . Chaque signal peut ??tre ??crit comme une (g??n??ralement infinie) somme de fonctions sinus et cosinus de diff??rentes fr??quences; ce est l'id??e de base de L'analyse de Fourier, où des séries trigonométriques sont utilisés pour résoudre une variété de problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles. Par exemple, le onde carrée, peut être écrit comme la s??rie de Fourier

$x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}$ .

Dans l'animation sur la droite, on peut voir que quelques termes produisent déjà une assez bonne approximation.

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometric_functions&oldid=198922141 "