T??tra??dre

Saviez-vous ...

SOS Enfants, un organisme de bienfaisance de l'??ducation , a organis?? cette s??lection. Parrainage d'enfants aide les enfants du monde en d??veloppement ?? apprendre aussi.

T??tra??dre r??gulier
(Cliquez ici pour le mod??le de rotation)
Type	Solide de Platon
??l??ments	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
Faces de c??t??s	4 {3}
Symbole Schl??fli	{3,3} et {s} 2,2
Symbole de Wythoff	3 \| 2 3 \| 2 2 2
Coxeter-Dynkin
Sym??trie	T _d, A _3, [3,3], (332 *)
groupe de rotation	T [3,3] ^+, (332)
R??f??rences	U _01, C _15, W ₁
Propri??t??s	R??gulier convexe delta??dre
Di??dre	70.528779 ?? = arccos (1/3)
3.3.3 ( Vertex figure)	Auto-double ( poly??dre dual)
Net

Un t??tra??dre (pluriel: t??tra??dres) est un poly??dre compos?? de quatre triangulaires visages, dont trois qui r??pondent ?? chaque vertex. Un t??tra??dre r??gulier est celui dans lequel les quatre triangles sont r??guliers, ou "??quilat??ral" et est l'un des solides de Platon .

Le t??tra??dre est une sorte de pyramide , le deuxi??me type le plus commun; une pyramide a une base plate, et au-dessus des faces triangulaires, mais la base peut ??tre de toute forme polygonale, et pas seulement carr??e ou triangulaire.

Comme tous poly??dres convexes, un t??tra??dre peut ??tre pli?? ?? partir d'une seule feuille de papier.

Formules pour t??tra??dre r??gulier

Pour un t??tra??dre r??gulier de la longueur du bord $une$ :

Surface	$A = a ^ 2 \ sqrt {3} \,$
Volume	$V = \ begin {matrix} {1 \ over12} \ end {matrix} a ^ 3 \ sqrt {2} \,$
Hauteur	$h = \ sqrt {6} (a / 3) \,$
Angle entre un bord et un visage	$\ Arctan (\ sqrt {2}) \,$ (Env. 55 ??)
Angle entre deux faces	$\ Arccos (1/3) = \ arctan (2 \ sqrt {2}) \,$ (Env. 71 ??)
Angle entre les segments joignant le centre et les sommets	${\ Pi \ over 2} + \ arcsin (1/3) \,$ (Env. 109,471 ??)
Angle solide ?? un sommet sous-tendu par une face	$3 \ arccos (1/3) - \ pi \,$ (Env. 0,55129 st??radians)
Rayon de circonscrite	$R = \ sqrt {6} (A / 4) \,$
Rayon de insphere qui est tangente aux faces	$r = \ sqrt {6} (a / 12) \,$
Rayon de midsphere qui est tangente ?? bords	$R_m = \ sqrt {2} (A / 4) \,$
Rayon de exspheres	$r_E = \ sqrt {6} (A / 6) \,$
Distance ?? exsphere centre d'un sommet	$\ Sqrt {6} (a / 2) \,$

On notera que par rapport au plan de base de la la pente d'un visage ( $2 \ sqrt {2}$ ) Est le double de celui d'un bord ( $\ Sqrt {2}$ ), Ce qui correspond au fait que la distance horizontale recouverte de la base de la apex long d'un bord est deux fois plus que le long de la m??diane d'un visage. En d'autres termes, si C est la centre de gravit?? de la base, la distance de C ?? un sommet de la base est le double de celle de C au point milieu d'un bord de la base. Cela d??coule du fait que les m??dianes d'un triangle se coupent en son centre de gravit??, et ce point divise chacun d'eux en deux segments, dont l'un est deux fois plus longue que l'autre (voir la preuve).

Volume de ne importe quel t??tra??dre

Le volume de ne importe quel t??tra??dre est donn??e par la formule du volume de la pyramide:

$V = \ frac {1} {3} Ah \,$

o?? A est la surface de la base et la hauteur h de la base vers le sommet. Ce est le cas pour chacun des quatre choix de la base, de sorte que les distances entre les sommets aux faces oppos??es sont inversement proportionnels aux surfaces de ces faces.

Pour un t??tra??dre dont les sommets sont a = (a _1, a _2, a _3), b = (b _1, b _2, b _3), c = (c _1, c _2, c _3), et d = (d ₁ , d _2, d _3), le volume est de (1/6) ?? | det (A - B, B - C, C - D) |, ou toute autre combinaison de paires de sommets qui forment un tout simplement branch??s graphique. Ce peut ??tre r????crite en utilisant un point produit et un produit en croix , ce qui donne

$V = \ frac {| (\ mathbf {a} - \ mathbf {d}) \ cdot ((\ mathbf {b} - \ mathbf {d}) \ times (\ mathbf {c} - \ mathbf {d}) ) |} {6}.$

Si l'origine du syst??me de coordonn??es est choisi pour co??ncider avec le sommet d, puis d = 0, de sorte que

$V = \ frac {| \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) |} {6},$

o?? a, b, et c repr??sentent trois ar??tes qui se rencontrent ?? un sommet, et $\ Mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})$ est un triple produit scalaire. En comparant cette formule avec celle utilis??e pour calculer le volume d'un parall??l??pip??de, nous concluons que le volume d'un t??tra??dre est ??gal ?? 1/6 du volume du parall??l??pip??de quelconque qui partage avec lui trois bords convergents.

Il convient de noter que la triple scalaire peut ??tre repr??sent?? par les d??terminants suivants:

$6 \ cdot \ mathbf {V} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {a} et \ mathbf {b} et \ mathbf {c} \ end {} vmatrix$ ou $6 \ cdot \ mathbf {V} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {a} \\ \ mathbf {b} \\ \ mathbf {c} \ end {} vmatrix$ o?? $\ Mathbf {a} = (a_1, a_2, A_3) \,$ est exprim??e en ligne ou vecteur colonne etc.

D'o??

$36 \ cdot \ mathbf {V ^ 2} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {a ^ 2} et \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} et \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ \ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} et \ mathbf {b ^ 2} et \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} \\ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} et \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} et \ mathbf {c ^ 2} \ end {} vmatrix$ o?? $\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = ab \ cos {C}$ etc.

ce qui donne

$\ Mathbf {V} = \ frac {abc} {6} \ sqrt {1 + 2 \ cos {A} \ cos {b} cos {C} - \ ^ 2 cos {A} - \ cos ^ 2} {B - \ cos ^ 2 {C}} \,$

Si on nous donne seulement les distances entre les sommets de toute t??tra??dre, alors nous pouvons calculer son volume en utilisant la formule:

$288 \ cdot V ^ 2 = \ begin {} vmatrix 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ {12} ^ 2 & d_ {13} ^ 2 & d_ {14} ^ 2 \\ 1 & d_ {21} ^ 2 & 0 & d_ {23} ^ 2 & d_ {24} ^ 2 \\ 1 & d_ {31} ^ 2 & d_ {32} ^ 2 & 0 & d_ {34} ^ 2 \ \ 1 & d_ {41} ^ 2 & d_ {42} ^ 2 & d_ {43} ^ 2 & 0 \ end {} vmatrix.$

Si la valeur du facteur est n??gatif, cela signifie que nous ne pouvons pas construire un t??tra??dre avec les distances indiqu??es entre les sommets.

Distance entre les bords

Les deux bords oppos??s de mensonge t??tra??dre sur deux lignes obliques. Si la paire de points le plus proche entre ces deux lignes sont des points dans les bords, ils d??finissent la distance entre les bords; autrement, la distance entre les bords est ??gale ?? celle entre l'une des extr??mit??s et le bord oppos??.

Trois caract??ristiques dimensionnelles d'un t??tra??dre g??n??ralis??e

Comme avec la g??om??trie de triangle, il ya un ensemble similaire de trois propri??t??s g??om??triques dimensionnelles pour un t??tra??dre. Un t??tra??dre g??n??ralis??e a un insphere, circonscrite, t??tra??dre et exspheres m??dial. Il dispose de centres respectifs tels que InCenter, circonscrit, excentriques, Centre Spieker et des points tels qu'un centre de gravit??. Cependant, il est, en g??n??ral, pas orthocenter dans le sens de courbes se croisent. Il se agit d'une sph??re ??quivalente ?? la triangulaire neuf virgule cercle qui est le circonscrite du t??tra??dre m??dial. Cependant, son circonscrite ne est pas, en g??n??ral, passent par les points des hauteurs du t??tra??dre de r??f??rence de base.

Pour r??soudre ces incoh??rences, un centre de substitut connu comme le point Monge qui existe toujours un t??tra??dre g??n??ralis??e est introduit. Ce point a d'abord ??t?? identifi?? par Gaspard Monge. Pour t??tra??dres o?? l'altitude ne se croisent, le point Monge et co??ncident orthocentre. Le point Monge est ?? d??finir comme le point o?? les six plans m??dians d'un t??tra??dre croisent. Un fond de panier central est d??fini comme un plan qui est orthogonal ?? un bord joignant deux sommets qui contient ??galement le centre de gravit?? d'un bord oppos?? form?? en joignant les deux autres sommets.

Une ligne a chut?? orthogonale du point Monge ?? ne importe quel visage est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales ?? la m??me face. La premi??re est une altitude chut?? d'un sommet correspondant ?? la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale ?? la face choisie qui passe par l'orthocentre de ce visage. Cette ligne orthogonale par le point Monge se trouve ?? mi-chemin entre l'altitude et la ligne orthogonale orthocentrique.

Le Monge stade, centre de gravit?? et circonscrit d'un t??tra??dre sont colin??aires et forment la ligne d'Euler du t??tra??dre. Cependant, contrairement au triangle, le centre de gravit?? d'un t??tra??dre est au milieu de son point et circonscrit Monge.

Il est une sph??re ??quivalente ?? la triangulaire cercle de neuf points pour le t??tra??dre g??n??ralis??e. Ce est le circonscrite de son t??tra??dre m??dial. Ce est une sph??re en douze points centr?? sur le cercle circonscrit du t??tra??dre m??dial. Par d??finition, elle passe ?? travers les centres de gravit?? des quatre faces du t??tra??dre de r??f??rence. Il passe ?? travers quatre points de substitution d'Euler qui sont situ??s ?? une distance de 1/3 de la distance entre M, le point Monge, vers chacun des quatre sommets. Enfin, il passe ?? travers les quatre points de lignes orthogonales de base ont chut?? de chaque point d'Euler sur le visage ne contenant pas le sommet qui a g??n??r?? le point Euler.

Si T repr??sente ce centre en douze points, alors il se trouve ??galement sur la ligne d'Euler, contrairement ?? son homologue triangulaire, le centre se trouve un tiers de la distance entre M, le point Monge vers le cercle circonscrit. Par ailleurs, une ligne orthogonale ?? T ?? une face choisie est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales ?? la m??me face. La premi??re est une ligne orthogonale passant par le point Euler correspondant ?? la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale passant par le centre de gravit?? de la face choisie. Cette ligne orthogonale ?? travers le centre de douze point se trouve ?? mi-chemin entre la ligne orthogonale point Euler et la ligne orthogonale centres de gravit??. En outre, pour ne importe quel visage, le centre de douze points est au point m??dian du point Euler correspondant et l'orthocentre pour ce visage.

Le rayon de la sph??re douze points est 1/3 du rayon circonscrit du t??tra??dre de r??f??rence.

Si OABC forme un t??tra??dre g??n??ralis??e avec un sommet O comme origine et vecteurs $\ Mathbf {a}, \ mathbf {b} \,$ et $\ Mathbf {c} \,$ repr??senter les positions des sommets A, B et C par rapport ?? O, alors le rayon de la insphere est donn??e par:

$r = \ frac {} {6V | \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} | + | \ mathbf {c} \ fois \ mathbf {a} | + | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b } | + | (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) |} \,$

et le rayon de la sph??re circonscrite est donn??e par:

$R = \ frac {| \ mathbf {a ^ 2} (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b ^ 2} (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c ^ 2} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) |} {12V} \,$

ce qui donne le rayon de la sph??re de douze points:

$R_T = \ frac {| \ mathbf {a ^ 2} (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b ^ 2} (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c ^ 2} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) |} {36V} \,$

o??:

$6V = | \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) | \,$

La position de vecteur de diff??rents centres sont donn??s comme suit:

Le centro??de

$\ Mathbf {G} = \ frac {\ mathbf {a} + \ mathbf {b} + \ mathbf {c}} {4} \,$

Le cercle circonscrit

$\ Mathbf {O} = \ frac {\ mathbf {a ^ 2} (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b ^ 2} (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a }) + \ mathbf {c ^ 2} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})} {12V} \,$

Le point Monge

$\ Mathbf {M} = \ frac {\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} + \ mathbf {a}) (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) ( \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})} {12V} \,$

Les relations de la ligne d'Euler sont:

$\ Mathbf {G} = \ mathbf {M} + \ frac {1} {2} (\ mathbf {O} - \ mathbf {M}) \,$

$\ Mathbf {T} = \ mathbf {M} + \ frac {1} {3} (\ mathbf {O} - \ mathbf {M}) \,$

Il convient ??galement de noter ce qui suit:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {O} = \ frac {\ mathbf {a ^ 2}} {2} \ quad \ quad \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {O} = \ frac {\ mathbf { b ^ 2}} {2} \ quad \ quad \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {O} = \ frac {\ mathbf {c ^ 2}} {2} \,$

et:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {M} = \ frac {\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c})} {2} \ quad \ quad \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {M} = \ frac {\ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} + \ mathbf {a})} {2} \ quad \ quad \ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {M} = \ frac {\ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} + \ mathbf {b})} {2} \,$

Relations g??om??triques

Un t??tra??dre est un 3- simplex. Contrairement au cas d'autres solides de Platon, tous les sommets d'un t??tra??dre r??gulier sont ??quidistantes l'une de l'autre (elles sont ?? la seule disposition possible de quatre points ??quidistants).

A est un t??tra??dre triangulaire pyramide, et le t??tra??dre r??gulier est auto-double.

Un t??tra??dre r??gulier peut ??tre int??gr?? ?? l'int??rieur d'un cube de deux mani??res de telle sorte que chaque sommet est un sommet du cube, et chaque bord est une diagonale de l'une des faces du cube. Pour une telle int??gration, la coordonn??es cart??siennes de la les sommets sont

(1, 1, 1);

(-1, -1, 1);

(-1, +1, -1);

(1, -1, -1).

Pour l'autre t??tra??dre (qui est double ?? la premi??re), inverser tous les signes. Le volume de ce t??tra??dre est 1/3 du volume du cube. Combinant ?? la fois t??tra??dres donne une r??guli??re compos?? poly??drique appel?? stella octangula, dont l'int??rieur est un octa??dre . De mani??re correspondante, un octa??dre r??gulier est le r??sultat de couper, d'un t??tra??dre r??gulier, quatre t??tra??dres r??guliers de la moiti?? de la taille lin??aire (c.-??- redresser le t??tra??dre). L'enrobage ci-dessus divise le cube en cinq t??tra??dres, dont l'un est r??guli??re. En fait, la figure 5 est le nombre minimum de t??tra??dres n??cessaire pour composer un cube.

L'inscription t??tra??dres l'int??rieur de la r??guli??re compos?? de cinq cubes donne deux compos??s plus r??guliers, contenant cinq et dix t??tra??dres.

T??tra??dres r??guliers ne peuvent pas espace tessellate par eux-m??mes, m??me se il semble assez probable que Aristote a rapport?? qu'il ??tait possible. Cependant, deux t??tra??dres r??guliers peut ??tre combin?? avec un octa??dre, ce qui donne un rhombo??dre qui peuvent espace de tuile.

Cependant, il ya au moins un t??tra??dre irr??gulier dont des copies peuvent espace de tuile. Si l'on d??tend l'exigence selon laquelle les t??tra??dres ??tre tous de la m??me forme, il est possible de l'espace de carreaux en utilisant seulement des t??tra??dres de diverses mani??res. Par exemple, on peut diviser un octa??dre en quatre t??tra??dres identiques et de les combiner ?? nouveau avec deux les r??guliers. (Comme un side-note: ces deux types de t??tra??dre ont le m??me volume.)

Le t??tra??dre est unique parmi les poly??dres uniformes de poss??der aucun faces parall??les.

Poly??dres connexes

T??tra??dre tronqu??
Deux t??tra??dres dans un cube
Compos?? de cinq t??tra??dres
Compos?? de dix t??tra??dres

T??tra??dres coupant

Un poly??dre int??ressante peut ??tre construit ?? partir de cinq t??tra??dres intersection. Cette compos?? de cinq t??tra??dres est connu depuis des centaines d'ann??es. Il revient r??guli??rement dans le monde de origami. Rejoindre les vingt sommets formerait un r??guli??re dod??ca??dre. Il existe ?? la fois gaucher et formes droitiers qui sont des images sp??culaires l'une de l'autre.

Les isom??tries du t??tra??dre r??gulier

Les rotations et des r??flexions appropri??s dans le groupe de sym??trie du t??tra??dre r??gulier

Les sommets d'un cube peuvent ??tre regroup??es en deux groupes de quatre, chacun formant un t??tra??dre r??gulier (voir ci-dessus, et ??galement animation, montrant l'un des deux t??tra??dres dans le cube). Les sym??tries d'un t??tra??dre r??gulier correspondent ?? la moiti?? de celle d'un cube: ceux qui cartographier les t??tra??dres ?? eux-m??mes, et non ?? l'autre.

Le t??tra??dre est le seul solide platonicien qui ne est pas mapp?? ?? lui-m??me par le point d'inversion.

Le t??tra??dre r??gulier a 24 isom??tries, formant le groupe de sym??trie _{T d,} isomorphe ?? S _4. Ils peuvent ??tre class??s comme suit:

T, isomorphe ?? groupe altern?? A ₄ (l'identit?? et 11 rotations appropri??es) par le suivant classes de conjugaison (entre parenth??ses sont donn??s les permutations des sommets, ou en cons??quence, les visages, et la Unit?? repr??sentation de quaternion):
- identit?? (identit??; 1)
- rotation autour d'un axe passant par un sommet, perpendiculaire au plan oppos??, d'un angle de ?? 120 ??: 4 axes, chaque axe 2, ainsi que 8 ((1 2 3), etc .; (i ?? 1 ?? j ?? k) / 2)
- rotation d'un angle de 180 ?? de sorte qu'un bord de carte au bord oppos?? 3: ((1 2) (3 4), etc .; i, j, k)
r??flexions dans un plan perpendiculaire ?? un bord 6:
de r??flexions dans un plan combin?? avec rotation de 90 ?? autour d'un axe perpendiculaire au plan 3: deux axes, chaque axe, ainsi que 6; de fa??on ??quivalente, ils sont 90 ?? rotations combin??es avec inversion (x est mapp?? ?? - x): les rotations correspondent ?? celles du cube autour d'axes en face-??-face

Les isom??tries de t??tra??dres irr??guli??re

Les isometries d'un t??tra??dre irr??gulier d??pendent de la g??om??trie du t??tra??dre, avec sept cas possible. Dans chaque cas, un Groupe de points en 3 dimensions est form??.

Une base triangle ??quilat??ral et isoc??le (et non ??quilat??ral) c??t??s du triangle donne six isom??tries, correspondant aux six isom??tries de la base. Comme permutations des sommets, ces six isom??tries sont l'une identit?? (123), (132), (12), (13) et (23), formant le groupe de sym??trie C _3v, isomorphe ?? S _3.
Quatre isoc??le congruents (non-??quilat??raux) triangles donne huit isom??tries. Si les bords (1,2) et (3,4) sont de longueur diff??rente de celle des quatre autres puis 8 isom??tries sont l'une identit??, des r??flexions (12) et (34), et des rotations de 180 ?? (12) (34), (13) (24) (14) (23) et irr??guli??res rotations de 90 ?? (1234) et (1432) formant le groupe de sym??trie D _2d.
Quatre triangles scal??nes congruents donne quatre isom??tries. Les isometries sont 1 et les rotations de 180 ?? (12) (34) (13) (24) (14) (23). Ceci est le Klein-quatre groupes V ≅ _{4 ² 2} Z, pr??sent en tant que groupe de points D _2.
Deux paires de isoc??le isomorphes (non-??quilat??raux) triangles. On obtient ainsi deux bords oppos??s (1,2) et (3,4) qui sont perpendiculaires mais longueurs diff??rentes, et ensuite les quatre isom??tries sont 1, des r??flexions (12) et (34) et la rotation de 180 ?? (12) (34) . Le groupe de sym??trie est C _2v, isomorphe ?? V _4.
Deux paires de triangles scal??nes isomorphes. Cela a deux paires d'ar??tes ??gales (1,3), (2,4) et (1,4), (2,3), mais sinon pas d'ar??tes ??gales. Les deux seuls sont une isom??trie et la rotation (12) (34), ce qui donne le groupe C ₂ isomorphe ?? Z _2.
Deux isoc??le in??gales triangles avec une base commune. Cela a deux paires d'ar??tes ??gales (1,3), (1,4) et (2,3), (2,4) et autrement sans ar??tes ??gales. Les deux seuls isometries sont 1 et la r??flexion (34), ce qui donne le groupe C _s isomorphe ?? Z _2.
Aucun bords ??gales, de sorte que la seule isom??trie est l'identit??, et le groupe de sym??trie est le groupe trivial.

Une loi des sinus pour t??tra??dres et l'espace de toutes les formes de t??tra??dres

Un corollaire de l'habituel loi des sinus est que, dans un t??tra??dre dont les sommets sont O, A, B, C, nous avons

$\ Sin \ angle OAB \ cdot \ sin \ angle OBC \ cdot \ sin \ angle OCA = \ sin \ angle CAO \ cdot \ sin \ angle OCB \ cdot \ sin \ angle OBA. \,$

On peut voir les deux c??t??s de cette identit?? comme correspondant ?? droite et ?? gauche orientations de la surface.

Mettre l'un des quatre sommets dans le r??le de O donne quatre de ces identit??s, mais dans un sens au plus trois d'entre eux sont ind??pendants: Si les "droite" c??t??s de trois d'entre eux sont multipli??s et le produit est d??duit pour ??tre ??gale ?? la produit des c??t??s "antihoraire" des trois m??mes identit??s, puis facteurs communs sont annul??s ?? partir des deux c??t??s, le r??sultat est le quatri??me identit??. Une raison d'??tre int??ress?? par cet ??ind??pendance?? relation est ceci: Il est bien connu que trois angles sont les angles de certaines triangle si et seulement si leur somme est un demi-cercle. Dans quel ??tat sur 12 angles est n??cessaire et suffisante pour qu'ils soient les 12 angles de certains t??tra??dre? Il est clair que la somme des angles de ne importe quel c??t?? du t??tra??dre doit ??tre un demi-cercle. Comme il existe quatre de ces triangles, il existe quatre de ces contraintes sur les montants d'angles, et le nombre de degr??s de libert?? est ainsi r??duite de 12 ?? 8. Les quatre relations donn??es par la loi sinuso??dale de r??duire davantage le nombre de degr??s de libert??, et non vers le bas de 8 ?? 4, mais seulement ?? partir de 8 jusqu'?? 5, ??tant donn?? que la quatri??me contrainte ne est pas ind??pendant des trois premiers. Ainsi, l'espace de toutes les formes de t??tra??dres est 5 dimensions.

Utilisations de calcul

Formes complexes sont souvent d??compos??s en une filet de t??tra??dres irr??guli??re en vue de l'analyse des ??l??ments finis et calcul des ??tudes de dynamique des fluides.

Applications et utilisations

Le ion ammonium est t??tra??drique

Plusieurs des pi??ces Tetrahedron de notation et les objectifs de la 2005 FIRST Robotics jeu

Conditionnement

L'entreprise Tetra Classic Tetrapak est sous la forme d'un t??tra??dre.

Chimie

La forme de t??tra??dre est vu dans la nature des liaisons covalentes des mol??cules. Par exemple, dans un m??thane mol??cule (CH _4), les quatre atomes d'hydrog??ne se trouvent dans chaque coin d'un t??tra??dre avec l'atome de carbone dans le centre. Pour cette raison, l'une des principales revues en chimie organique est appel?? Tetrahedron. Ammonium est un autre exemple.
Angle du centre vers deux sommets est $\ arccos {\ left (- \ frac {1} {3} \ right)}$ , soit environ 109,47 ??.

??lectronique

Si chaque bord d'un t??tra??dre devait ??tre remplac?? par un ohm r??sistance, la r??sistance entre deux sommets serait 2.1 ohm.

Symbolisme

Le t??tra??dre repr??sente l'??l??ment classique feu.

Jeux

Surtout dans jeu de r??le, ce solide est connu comme un d4 , l'un des plus courants d??s poly??driques .
T??tra??dres construits de 1 1/4 " Tuyau en PVC, qui ont ??t?? connu comme ??t??tras??, ont ??t?? utilis??s comme l'objet de notation principale sur le 2005 FIRST Robotics jeu Triple Play. Le but du jeu est d'empiler ces ??t??tras?? sur des objectifs plus larges de t??tra??dre dont voici plac??s dans une matrice 3 ?? 3.
Certains Cube de Rubik les puzzles sont t??tra??drique, comme le Pyraminx et Pyramorphix.
La t??te de la Pyramide Silent Hill jeux a un t??tra??dre sur le dessus de sa t??te.

Fiction

Dans le S??quence de Xeelee livres de science-fiction de l'auteur Stephen Baxter, un t??tra??dre bleu-vert est le symbole de l'humanit?? libre.
Le Triforces du Legend of Zelda s??rie de dessins anim??s sont des t??tra??dres verts et rouges. La repr??sentation de la Triforce de la s??rie de jeu r??el (?? partir de A Link to the Past) est celle d'un t??tra??dre d??pli??.
L'arc de la s??rie de fan "Star Trek histoire: Invisible Frontier "??volue anciens artefacts autour gigantesques, qui deviennent plus tard une partie centrale de la s??rie. Les artefacts sont d??nomm?? Tetrahedrons et ont la forme d'un tel organisme g??om??trique. Dans la s??rie, les t??tra??dres poss??dent la capacit?? de produire une grande de l'??nergie et sont de mat??riau inconnu et l'origine, cependant, ils semblent ??tre vieux de plusieurs millions d'ann??es et il est soulign?? que ces appareils ont ??t?? construits par une civilisation ancienne.

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