Tangente

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Tangente ?? une courbe.

Dans la g??om??trie , la ligne de tangente (ou simplement la tangente) ?? une courbe ?? une donn??e point est la ligne droite qui "touche juste" la courbe ?? ce point (au sens expliqu?? plus pr??cis??ment ci-dessous). Comme il passe par le point de tangence, la tangente est "va dans le m??me sens" que la courbe, et en ce sens ce est la meilleure approximation lin??aire ?? la courbe ?? ce point. La m??me d??finition se applique aux courbes de l'espace et des courbes dans de dimension n espace euclidien .

De la m??me mani??re, le plan tangent ?? une surface ?? un moment donn?? est le plan que ??touche juste" la surface ?? ce point. Le concept d'une tangente est l'une des notions les plus fondamentales de la g??om??trie diff??rentielle et a ??t?? largement g??n??ralis??e - voir Espace tangent.

Le mot ??tangente?? vient du tangere latin, qui signifie "toucher".

Tangente ?? une courbe

Une tangente, une corde, et une s??cante de cercle.

La notion intuitive qu'une tangente "touche juste" une courbe peut ??tre rendu plus explicite en consid??rant la s??quence de lignes droites ( lignes s??cantes) passant par deux points A et B, qui se trouvent sur la courbe. La tangente en A est la limite de la progression des droites s??cantes que B se d??place sans cesse plus ??troite ?? A. L'existence et l'unicit?? de la tangente d??pend d'un certain type de lissage math??matique, connu sous le nom "diff??rentiabilit??". Par exemple, si deux arcs de cercle se rencontrent ?? un point pointu (un sommet) il n'y a pas tangente d??finie de mani??re unique au sommet parce que la limite de la progression des droites s??cantes d??pend de la direction dans laquelle "point B" se approche du sommet.

Dans la plupart des cas fr??quemment rencontr??s, la tangente ?? une courbe ne traverse pas la courbe au point de tangence (m??me si elle peut, lorsqu'il a continu??, traverser la courbe ?? d'autres endroits loin du point de tangence). Ce est le cas, par exemple, de toutes les tangentes ?? un cercle ou un parabole. Cependant, ?? des points exceptionnels appel?? points d'inflexion, la tangente ne traverse la courbe au point de tangence. Un exemple est le point (0,0) sur le graphique de la parabole cubique y = x ^3.

Inversement, il peut arriver que la courbe se trouve enti??rement sur un c??t?? d'une ligne droite passant par un point sur elle, et pourtant cette ligne droite ne est pas une tangente. Ce est le cas, par exemple, par une ligne passant par le sommet d'un triangle et le triangle ne interecting - o?? ne existe pas la ligne tangente pour les raisons expliqu??es ci-dessus. En g??om??trie convexe, ces lignes sont appel??s soutenir lignes.

Approche analytique

L'id??e g??om??trique de la tangente que la limite de droites s??cantes sert de motivation pour les m??thodes analytiques qui sont utilis??s pour trouver des tangentes explicitement. La question de trouver la tangente ?? un graphique, ou le probl??me de la tangente, ??tait l'une des questions centrales menant ?? l'??laboration de calcul dans le 17??me si??cle. Dans le deuxi??me livre de sa g??om??trie Ren?? Descartes dit du probl??me de la construction de la tangente ?? une courbe, "et je ose dire que ce ne est pas seulement le probl??me le plus utile et le plus g??n??ral en g??om??trie que je sais, mais m??me que je ai jamais d??sir?? conna??tre."

Description intuitive

Supposons qu'une courbe est donn??e ?? la repr??sentation graphique d'une fonction y = f (x). Pour trouver la tangente au point p = (a, f (a)), envisager un autre point q proximit?? = (a + h, f (a + h)) sur la courbe. Le pente de la s??cante passant par p et q est ??gal ?? la diff??rence quotient

$\ Frac {f (a + h) -f (a)} {} h.$

Comme le point Q se rapproche de p, ce qui correspond ?? faire de plus en plus petit h, le quotient de diff??rence devrait se approcher d'une certaine valeur de limitation k, qui est la pente de la tangente au point p. Si k est connu, l'??quation de la tangente peut ??tre trouv?? sous la forme de point la pente:

$y-f (a) = k (x-a). \,$

Description plus rigoureuse

Pour faire le raisonnement pr??c??dent rigoureuse, il faut expliquer ce qu'on entend par le quotient de diff??rence approcher une certaine valeur limite k. La formulation math??matique pr??cise a ??t?? donn??e par Cauchy dans le 19??me si??cle et est bas?? sur la notion de limite . Supposons que le graphe ne est pas une pause ou un bord tranchant ?? la p et il ne est ni plomb, ni trop pr??s ondul??e p. Ensuite, il existe une valeur unique de telle sorte que lorsque k h tend vers 0, le quotient de diff??rence se rapproche et plus proche de k, et la distance entre eux devient n??gligeable par rapport ?? la taille de h, si h est assez petit. Cela conduit ?? la d??finition de la pente de la tangente ?? la courbe comme la limite des quotients de diff??rence pour la fonction f. Cette limite est le d??riv?? de la fonction f au point x = a, not??e f '(a). Utilisation de d??riv??s, l'??quation de la tangente peut se ??noncer comme suit:

$y = f (a) + f '(a) (x-a). \,$

Calcul pr??voit des r??gles pour le calcul des d??riv??es des fonctions qui sont donn??s par les formules, telles que la fonction de puissance, fonctions trigonom??triques , fonction exponentielle , logarithme , et leurs diverses combinaisons. Ainsi ??quations des tangentes ?? des graphiques de toutes ces fonctions, ainsi que beaucoup d'autres, peuvent ??tre trouv??s par les m??thodes de calcul.

Lorsque la m??thode ??choue

Calcul d??montre ??galement qu'il existe des fonctions et des points sur leurs graphiques pour lesquels il ne existe pas la limite d??terminant la pente de la tangente. Pour ces points, la fonction f est non diff??rentiable. Il ya deux raisons possibles pour la m??thode de trouver les tangentes bas??es sur les limites et les d??riv??s ?? l'??chec: soit la tangente g??om??trique existe, mais ce est une ligne verticale, qui ne peut ??tre donn??e sous la forme de point pente car il n'a pas de pente, ou le graphique est trop mal comport??s ?? admettre une tangente g??om??trique.

Le graphique y = x ^3.1 illustre la premi??re possibilit??: ici le quotient de diff??rence ?? a = 0 est ??gale ?? ^1/3 h = h / h ^{- 2/3,} ce qui devient tr??s grand que h tend vers 0. La tangente ?? cette courbe ?? l'origine est vertical.

Le graphique y = | x | de la valeur absolue fonction se compose de deux lignes droites de pentes diff??rentes rejoint ?? l'origine. Comme un point q approche l'origine de la droite, la ligne s??cante a toujours pente 1. Comme un point q approche l'origine de la gauche, la ligne s??cante a toujours pente -1. Par cons??quent, il ne est pas tangente unique pour le graphique ?? l'origine (bien que dans un certain sens, il ya deux demi-tangentes, correspondant ?? deux directions possibles d'aborder l'origine).

Cercles tangents.

Cercles tangents

Deux cercles , avec rayons de r _i et centres au (x _i, y _i), pour i = 1, 2 sont dits ??tre tangente ?? l'autre si

$\ Left (x_1-x_2 \ right) ^ 2 + \ left (y_1-Y_2 \ right) ^ 2 = \ left (r_1 \ h r_2 \ right) ^ 2$

Surfaces et les collecteurs de dimensions sup??rieures

Le plan tangent ?? une surface en un point P donn?? est d??fini de fa??on analogue ?? la ligne tangente, dans le cas de courbes. Ce est la meilleure approximation de la surface par un plan ?? p, et peut ??tre obtenue que la position de limitation des plans passant par trois points distincts sur la surface ?? proximit?? de ces points comme p convergent ?? p. Plus g??n??ralement, il ya un k de dimension espace tangent en chaque point d'un k de dimension collecteur de dimension n dans le espace euclidien .

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