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Coordonn??es sph??riques

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Un point trac??e en utilisant le syst??me de coordonn??es sph??rique

En math??matiques , le syst??me de coordonn??es sph??rique est une syst??me de coordonn??es pour repr??senter des figures g??om??triques en trois dimensions ?? l'aide de trois coordonn??es: la distance radiale d'un point fixe ?? partir d'une origine, le angle z??nithal de l'axe z positif, et la angle d'azimut de l'axe des x positif.

Notation

Plusieurs conventions existent pour repr??senter les trois coordonn??es. Conform??ment ?? l'Organisation internationale de normalisation ( ISO 31-11), en physique, ils sont g??n??ralement not??e en (r, θ, φ) pour la distance radiale, z??nith, et l'azimut, respectivement.

En math??matiques (am??ricains), la notation pour z??nith et l'azimut sont invers??es comme φ est utilis?? pour d??signer l'angle z??nithal θ et est utilis?? pour d??signer l'angle azimutal. Une autre complication est que certains textes de math??matiques liste l'azimut avant le z??nith, mais cette convention est gaucher et devrait ??tre ??vit??e. La convention ??math??matiques?? a l'avantage d'??tre plus compatible dans le sens de θ avec la notation traditionnelle pour les deux dimensions du syst??me de coordonn??es polaires et les trois dimensions syst??me de coordonn??es cylindriques, tandis que la convention ??physique?? a une acceptation plus large g??ographiquement. Certains utilisateurs de la convention "physique" utilisent ??galement φ pour les coordonn??es polaires pour ??viter le premier probl??me (comme ce est la norme ISO pour coordonn??es cylindriques). Autres notation ρ utilise pour la distance radiale. La convention de notation de l'auteur de tout travail se rapportant ?? coordonn??es sph??riques doit toujours ??tre v??rifi??e avant d'utiliser les formules et les ??quations de cet auteur. Cet article utilise la convention standard.

D??finition

Le coordonner les surfaces des coordonn??es sph??riques (r, θ, φ). Le rouge sph??re montre les points avec r = 2, le bleu c??ne pr??sente les points avec θ = 45 ??, et la demi-jaune plan montre les points avec φ = -60 ??. L'axe z est vertical et l'axe des x est surlign?? en vert. Les trois surfaces se coupent au point P avec ces coordonn??es (pr??sent??e comme une sph??re noire); les coordonn??es cart??siennes de P sont ?? peu pr??s (0,707, -1,225, 1,414).

Les trois coordonn??es (r, θ, φ) sont d??finies comme suit:

  • r ≥ 0 est la distance de l'origine ?? un point donn?? P.
  • 0 θ ≤ π est l'angle entre l'axe z positif et la ligne form??e entre l'origine et P.
  • 0 φ <2π est l'angle entre l'axe des x positif et la ligne ?? partir de l'origine ?? la classe P projet??e sur le plan xy.

φ est appel?? l'azimut, tandis que θ est appel?? le z??nith ou angle de colatitude polaire.

θ et φ perdre de leur importance lorsque r = 0 et φ perd importance lorsque sin (θ) = 0 (?? θ = 0 et θ = π).

Pour tracer un point ?? partir de ses coordonn??es sph??riques, aller unit??s r de l'origine le long de l'axe z positif, rotation θ autour de l'axe y dans la direction de l'axe x positif et tourner φ autour de l'axe z dans la direction de l'axe y positif.

Coordonner conversions de syst??me

Comme le syst??me de coordonn??es sph??rique ne est que l'un des nombreux syst??mes de coordonn??es tridimensionnelles, il existe des ??quations de conversion de coordonn??es sph??rique entre le syst??me de coordonn??es et d'autres.

Syst??me de coordonn??es cart??siennes

Les trois coordonn??es sph??riques sont obtenues ?? partir des coordonn??es cart??siennes par:

r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}
{\ Theta} = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) = \ arccos \ gauche ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}} \ right)
{\ Varphi} = \ arctan \ gauche ({\ frac {y} {x}} \ right).

Notez que l'arctangente doit ??tre d??finie de mani??re appropri??e de fa??on ?? tenir compte du quadrant correct de y / x . Le atan2 ou fonction ??quivalente accomplit ce ?? des fins de calcul.

Inversement, coordonn??es cart??siennes peuvent ??tre r??cup??r??s ?? partir des coordonn??es sph??riques par:

{X} = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \ quad
{Y} = r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \ quad
{} Z = r \, \ cos \ theta. \ Quad

Syst??me de coordonn??es g??ographiques

Le syst??me de coordonn??es g??ographiques est une version alternative du syst??me de coordonn??es sph??rique, utilis?? principalement dans la g??ographie mais aussi en math??matiques et en physique applications. En g??ographie, ρ est g??n??ralement abandonn?? ou remplac?? par une valeur repr??sentant l'altitude ou d'altitude.

Latitude {\ Delta} \, est le compl??ment du z??nith ou colatitude, et peut ??tre converti par:

{\ Delta} = 90 ^ \ circ - \ theta Ou
{\ Theta} = 90 ^ \ circ - \ delta ,

si la latitude est g??n??ralement repr??sent?? par θ ainsi. Il se agit d'un angle de z??nith provenant du plan xy avec un domaine de -90 ?? θ ≤ 90 ??. La longitude est mesur??e en degr??s ?? l'est ou ?? l'ouest de 0 ??, de sorte que son domaine est -180 ?? φ ≤ 180 ??.

Coordonn??es cylindriques

Coordinates2.svg cylindrique

Le syst??me de coordonn??es cylindrique est une extrusion en trois dimensions du syst??me de coordonn??es polaires , avec une coordonn??e z de d??crire la hauteur d'un point au-dessus ou en dessous du plan xy. Le tuple compl??te de coordonn??es est (r, φ, z).

Les coordonn??es cylindriques peuvent ??tre convertis en coordonn??es sph??riques par:

r = \ sqrt {\ rho ^ 2 + z ^ 2}
{\ Theta} = \ arctan \ frac {\ rho} {z}
{\ Varphi} = \ varphi \ quad

Les coordonn??es sph??riques peuvent ??tre convertis en coordonn??es cylindriques par:

\ Rho = r \ sin \ theta \,
\ Varphi = \ varphi \,
z = r \ cos \ theta \,

Applications

Le syst??me de coordonn??es g??ographiques applique les deux angles de la sph??rique syst??me d'exprimer endroits sur Terre coordonn??es, les qualifiant de latitude et longitude. De m??me que la bidimensionnel syst??me de coordonn??es cart??siennes est utile dans l'avion, un syst??me de coordonn??es sph??rique ?? deux dimensions est utile sur la surface d'une sph??re. Dans ce syst??me, la sph??re est prise comme une sph??re unitaire, de sorte que le rayon est g??n??ralement l'unit?? et peut ??tre ignor??. Cette simplification peut ??galement ??tre tr??s utile lorsqu'il se agit d'objets tels que matrices de rotation.

Les coordonn??es sph??riques sont utiles dans des syst??mes qui sont sym??triques par rapport ?? un point de l'analyse; une sph??re qui a l'??quation cart??sienne x 2 + y + z 2 2 = c 2 a l'??quation tr??s simple r = c en coordonn??es sph??riques. Un exemple est dans la r??solution d'un int??grale triple avec une sph??re comme son domaine.

L'??l??ment de surface d'une surface sph??rique est

\ DS mathrm = r ^ 2 \ sin \ theta \, \ mathrm d \ theta \, \ mathrm d \ varphi

L'??l??ment de volume est

\ Mathrm dV = r ^ 2 \ sin \ theta \, \ mathrm dr \, \ mathrm d \ theta \, \ mathrm d \ varphi

Coordonn??es sph??riques sont les coordonn??es naturelles pour d??crire et analyser des situations physiques o?? il ya une sym??trie sph??rique, comme le domaine de l'??nergie potentielle entourant une sph??re (ou point) avec la masse ou la charge. Deux importantes ??quations aux d??riv??es partielles , L'??quation de Laplace et le ??quation de Helmholtz, permettre ?? un s??paration des variables en coordonn??es sph??riques. Les parties angulaires des solutions ?? ces ??quations prennent la forme de harmoniques sph??riques.

Une autre application est la conception ergonomique, o?? r est la longueur du bras d'une personne ?? l'arr??t et les angles de d??crire la direction du bras lorsqu'il atteint out.

Le concept de coordonn??es sph??riques peut ??tre ??tendue ?? des espaces de dimensions sup??rieures et sont ensuite appel?? hypersph??riques coordonn??es.

Cin??matique

En coordonn??es sph??riques la position d'un point est ??crit,

\ Mathbf {r} = \ rho \ mathbf {e} _ \ rho

sa vitesse est alors,

\ Mathbf {v} = \ dot \ rho \ mathbf {e} _ \ rho + \ rho \ dot \ theta \ mathbf {e} _ \ theta + \ rho \ dot \ phi \ sin \ theta \ mathbf {e} _ \ phi

et son acc??l??ration est,

\ Mathbf {a} = \ left (\ ddot \ rho - \ rho \ dot \ theta ^ 2 - \ rho \ dot \ phi ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ right) \ mathbf {e} _ \ rho
+ \ Left (\ rho \ ddot \ theta + 2 \ dot \ rho \ dot \ theta - \ rho \ dot \ phi ^ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ \ theta
+ \ Left (\ rho \ ddot \ phi \ sin \ theta + 2 \ dot \ rho \ dot \ phi \ sin \ theta + 2 \ rho \ dot \ theta \ dot \ phi \ cos \ theta \ right) \ mathbf { e} _ \ phi
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