
Radian
Renseignements g??n??raux
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Le radian est une unit?? de plan angle , ??gal ?? 180 / π degr??s , soit environ 57,2958 degr??s. Ce est l'unit?? de mesure standard angulaire dans tous les domaines de math??matiques au-del?? du niveau ??l??mentaire.
Le radian est repr??sent?? par le symbole ??rad?? ou, plus rarement, par le c exposant (pour "mesure circulaire??). Par exemple, un angle de 1,2 radians serait ??crit que "1,2 rad" ou "1.2 c" (le deuxi??me symbole peut ??tre confondu avec un degr??: ??1,2 ????). Toutefois, le radian est math??matiquement consid??r??e comme un ??nombre pur" qui n'a pas besoin symbole de l'unit??, et par ??crit math??matique le symbole ??rad?? est presque toujours omis. En l'absence de toute radians de symboles sont pris en charge, et quand degr??s visent le symbole Est utilis??.
Le radian ??tait auparavant SI unit?? suppl??mentaire, mais cette cat??gorie a ??t?? aboli en 1995 et le radian est maintenant consid??r?? comme un SI d??riv??es unit??. L'unit?? SI de mesure de l'angle solide est la st??radian.
D??finition


Un radian est l' angle sous-tendu au centre d'un cercle par un arc de circonf??rence qui est ??gale en longueur ?? la rayon du cercle.
Plus g??n??ralement, l'amplitude en radians de ne importe quel angle sous-tendu par deux rayons est ??gale au rapport de la longueur de l'arc ferm?? au rayon du cercle; ce est-?? θ = l / r, o?? θ est l'angle sous-tendu en radians, s est la longueur d'arc, et r est le rayon. Inversement, la longueur de l'arc est ferm??e ??gal au rayon multipli?? par la valeur de cet angle en radians; ce est, s = rθ.
Il se ensuit que la grandeur en radians d'un tour complet (360 ??) est la longueur de la totalit?? de la circonf??rence divis??e par le rayon, ou 2π r / r, ou 2π. Ainsi 2π radians est ??gale ?? 360 degr??s, ce qui signifie une radian est ??gal ?? 180 / π degr??s.
Histoire
Le concept de radians, par opposition ?? la mesure d'un angle, devrait probablement ??tre cr??dit?? sur Roger Cotes en 1714. Il avait le radian dans tout sauf le nom, et il a reconnu son naturel comme une unit?? de mesure angulaire.
Le terme est apparu en radian impression sur 5 juin 1873 , dans les questions d'examen ??tabli par James Thomson (fr??re de Lord Kelvin ) au Coll??ge Queen, Belfast . Il a utilis?? le terme d??s 1871, alors que en 1869, Thomas Muir, puis de l' Universit?? de St Andrews , h??sitait entre rad, radial et radian. En 1874 , Muir a adopt?? radian apr??s une consultation avec James Thomson.
Conversions
Conversion entre les radians et les degr??s
Comme indiqu?? plus haut, une radian est ??gal ?? 180 / π degr??s. Ainsi, pour convertir de radians en degr??s, multiplier par 180 / π. Par exemple,
A l'inverse, pour convertir les degr??s en radians, multiplier par π / 180. Par exemple,
Vous pouvez ??galement convertir des radians en r??volutions en divisant nombre de radians par 2π.
Le tableau montre la conversion de certains angles communs.
Degr??s | 0 ?? | 30 ?? | 45 ?? | 60 ?? | 90 ?? | 180 ?? | 270 ?? | 360 ?? |
Radians | 0 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Conversion entre radians et les grades
2π radians sont ??gales ?? une r??volution compl??te, qui est de 400 g. Alors, pour convertir de radians ?? dipl??m??s multiplier par 200 / π, et de convertir les dipl??m??s en radians multiplier par π / 200. Par exemple,
Raisons pour lesquelles radians sont pr??f??r??s en math??matiques
Dans le calcul et la plupart des autres branches des math??matiques au-del?? de la g??om??trie pratique, les angles sont mesur??s en radians universellement. Ce est parce que radians ont un ??naturel?? math??matique qui conduit ?? une formulation plus ??l??gante d'un certain nombre de r??sultats importants.
Plus particuli??rement, les r??sultats de l'analyse portant sur les fonctions trigonom??triques sont simples et ??l??gant quand les arguments des fonctions sont exprim??s en radians. Par exemple, l'utilisation de radians conduit ?? la simple limite formule
,
qui est la base de beaucoup d'autres identit??s en math??matiques, y compris
En raison de ceux-ci et d'autres propri??t??s, les fonctions trigonom??triques apparaissent dans des solutions ?? des probl??mes math??matiques qui ne sont pas ??videmment li??es ?? significations g??om??triques des fonctions (par exemple, les solutions de l'??quation diff??rentielle d 2 y / dx 2 = - y, l'??valuation de l'int??grale ∫ dx / (1 + x 2), et ainsi de suite). Dans tous ces cas, il se trouve que les arguments aux fonctions sont plus naturellement ??crites sous la forme qui correspond, dans des contextes g??om??triques, ?? la mesure des angles radians.
Les fonctions trigonom??triques ont en outre des extensions simples et ??l??gantes de la s??rie lorsque radians sont utilis??s; par exemple, ce qui suit la s??rie de Taylor pour le p??ch?? x:
Si x ont ??t?? exprim??es en degr??s alors la s??rie contiendra facteurs d??sordre impliquant pouvoirs de π / 180: si x est le nombre de degr??s, le nombre de radians est y = x π / 180, de sorte
Math??matiquement relations importantes entre le sinus et le cosinus et la fonction exponentielle (voir, par exemple, La formule d'Euler) sont, ?? nouveau, ??l??gant quand les arguments des fonctions sont en radians et d??sordre autrement.
Analyse dimensionnelle
Bien que le radian est une unit?? de mesure, ce est un grandeur sans dimension. Ceci peut ??tre vu ?? partir de la d??finition donn??e plus haut: l'angle sous-tendu au centre d'un cercle, mesur??e en radians, est le rapport de la longueur de l'arc ferm?? ?? la longueur du rayon du cercle. Depuis les unit??s de mesure se annulent, ce rapport est sans dimension.
Une autre fa??on de voir le dimensionlessness du radian est dans les repr??sentations de la s??rie des fonctions trigonom??triques, comme la s??rie de Taylor pour le p??ch?? x mentionn?? pr??c??demment:
Si x avait unit??s, alors la somme serait vide de sens: le terme lin??aire x ne peut pas ??tre ajout?? ?? (ou ont soustrait) du terme cubique ou le terme quintique
, Etc. Par cons??quent, x doivent ??tre sans dimension.
Utilisation dans la physique
Le radian est largement utilis?? en physique lorsque les mesures angulaires sont n??cessaires. Par exemple, la vitesse angulaire est g??n??ralement mesur??e en radians par seconde (rad / s). Un tour par seconde est ??gale ?? 2π radians par seconde.
De m??me, acc??l??ration angulaire est souvent mesur??e en radians par seconde par seconde (rad / s 2).
Les raisons sont les m??mes que pour les math??matiques.
Multiples d'unit??s radian
Pr??fixes m??triques ont une utilisation limit??e avec radians, et aucun en math??matiques.
Le milliradian (0,001 rad, ou une mrad) est utilis?? dans artillerie et ciblage, car elle correspond ?? une erreur de 1 m ?? une distance de 1 000 m (?? ces petits angles, la courbure est n??gligeable). Le divergence de laser poutres est ??galement g??n??ralement mesur??e en milliradians.
Les petites unit??s comme microradians (μrads) et nanoradians (nrads) sont utilis??s en astronomie, et peuvent ??galement ??tre utilis??s pour mesurer la qualit?? du faisceau de lasers ultra-faible divergence. De m??me, les pr??fixes plus petite que milli- sont potentiellement utiles dans la mesure de tr??s petits angles.
Cependant, les pr??fixes plus grands ont aucune utilit?? apparente, principalement en raison de d??passer 2π radians est de commencer le m??me cercle (ou cycle r??volutionnaire) ?? nouveau.