Solide de Platon

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??Solide platonicien?? est un convexe poly??dre r??gulier. Ce sont les analogues en trois dimensions de la partie convexe polygones r??guliers. Il ya exactement cinq de ces chiffres (ci-dessous). Ils sont uniques en ce que les faces, les ar??tes et les angles sont tous congruents.

Poly??dres r??guliers Cinq Convex (des solides de Platon)
T??tra??dre	Hexa??dre ou Cube	Octa??dre	Dod??ca??dre	Icosa??dre
( animation )	( animation )	( animation )	( Animation)	( animation )

Le nom de chaque figure est d??riv?? du nombre de ses faces respectivement: 4, 6, 8, 12 et 20.

Le la beaut?? esth??tique et la sym??trie des solides de Platon en ont fait un sujet de pr??dilection des g??om??tres pour des milliers d'ann??es. Ils sont nomm??s pour le philosophe grec Platon qui a th??oris?? la ??l??ments classiques ont ??t?? construits ?? partir des solides r??guliers.

Histoire

Mod??le solide platonicien de Kepler du syst??me solaire ?? partir de Mysterium Cosmographicum (1596)

Les solides de Platon ont ??t?? connus depuis l'antiquit??. Mod??les orn??s d'entre eux peuvent ??tre trouv??s parmi les boules de pierre sculpt??s cr????es par la fin les gens n??olithiques de l'Ecosse au moins 1000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003).

Les anciens Grecs ont ??tudi?? les solides de Platon abondamment. Certaines sources (telles que Proclus) cr??dit Pythagore avec leur d??couverte. D'autres donn??es indiquent qu'il pourrait avoir ??t?? seulement familier avec le t??tra??dre, le cube, et le dod??ca??dre, et que la d??couverte de l'octa??dre et l'icosa??dre appartiennent ?? Th????t??te, un contemporain de Platon. Dans tous les cas, Th????t??te a donn?? une description math??matique de tous les cinq ans et peut avoir ??t?? responsable de la premi??re preuve connue qu'il n'y a pas d'autres poly??dres r??guliers convexes.

Les solides de Platon figurent en bonne place dans la philosophie de Platon pour qui ils sont nomm??s. Platon a ??crit ?? leur sujet dans le dialogue Tim??e c 0,360 BC dans laquelle il associ?? chacun des quatre ??l??ments classiques ( terre, l'air, l'eau, et feu) avec un solide r??gulier. Terre a ??t?? associ??e avec le cube, l'octa??dre avec l'air, l'eau avec l'icosa??dre, et le feu avec le t??tra??dre. Il y avait justification intuitive de ces associations: la chaleur du feu se sent forte et poignardant (comme la petite t??tra??dres). L'air est constitu?? de l'octa??dre; ses composants minuscules sont si lisse que l'on peut ?? peine sentir. L'eau, l'icosa??dre, se ??coule de l'un de la main quand ramass??, comme si elle est faite de minuscules petites boules. En revanche, un solide hautement non sph??rique, l'hexa??dre (cube) repr??sente la terre. Ces petits solides maladroits provoquent la salet?? ?? se effriter et de briser quand ramass??, en nette diff??rence au bon ??coulement de l'eau. Le cinqui??me platonicienne solide, le dod??ca??dre, Platon remarques obscur??ment, "... le dieu utilis?? pour organiser les constellations sur le ciel tout entier". Aristote ajout?? un cinqui??me ??l??ment, Aither (??ther en latin, "??ther" en anglais) et postul?? que les cieux ont ??t?? faits de cet ??l??ment, mais il ne avait aucun int??r??t ?? faire correspondre avec Platon cinqui??me solide.

Euclide a donn?? une description math??matique compl??te des solides de Platon dans les ??l??ments ; le dernier livre (Livre XIII) qui est consacr??e ?? leurs propri??t??s. Propositions 13-17 dans le Livre XIII d??crivent la construction du t??tra??dre, l'octa??dre, cube, icosa??dre et dod??ca??dre dans cet ordre. Pour chaque solide Euclide trouve le rapport du diam??tre de la sph??re circonscrite ?? la longueur d'ar??te. Dans la proposition 18, il fait valoir qu'il n'y a pas encore poly??dres r??guliers convexes. Une grande partie de l'information dans le Livre XIII est probablement d??riv?? du travail du Th????t??te.

Dans le 16??me si??cle , le Allemand astronome Johannes Kepler a tent?? de trouver une relation entre les cinq connus plan??tes ?? l'??poque (?? l'exclusion de la Terre) et les cinq solides de Platon. En Mysterium Cosmographicum, publi?? en 1596, Kepler ??tabli un mod??le du syst??me solaire dans lequel les cinq solides ont ??t?? mis ?? l'int??rieur de l'autre et s??par??es par une s??rie de sph??res inscrites et circonscrites. Les six sph??res chaque correspondaient ?? l'une des plan??tes ( Mercure , V??nus , la Terre , Mars , Jupiter et Saturne ). Les solides ont ??t?? command??s avec la plus ?? l'int??rieur ??tant l'octa??dre, suivie de l'icosa??dre, dod??ca??dre, t??tra??dre, et enfin le cube. De cette fa??on, la structure du syst??me solaire et les relations ?? distance entre les plan??tes a ??t?? dict?? par les solides de Platon. En fin de compte, l'id??e originale de Kepler a d?? ??tre abandonn??e, mais de sa recherche a ??t?? la d??couverte de la Kepler solides, la r??alisation que les orbites des plan??tes ne sont pas des cercles et des Lois de Kepler pour lequel il est d??sormais c??l??bre.

Propri??t??s combinatoires

Un poly??dre convexe est un solide platonique si et seulement si

toutes ses faces sont convexe congruent polygones r??guliers,
aucun de ses faces se coupent ?? l'exception de leurs bords, et
le m??me nombre de faces r??pondre ?? chacune de ses sommets.

Chaque bo??te solide platonicien donc ??tre d??sign?? par un symbole {p, q} o??

p = le nombre de c??t??s de chaque face (ou le nombre de sommets de chaque face) et

q = le nombre de faces r??pondant ?? chaque sommet (ou le nombre de r??union des bords ?? chaque sommet).

Le symbole {p, q}, appel?? Symbole Schl??fli, donne une combinatoire Description du poly??dre. Les symboles Schl??fli des cinq solides de Platon sont donn??s dans le tableau ci-dessous.

Poly??dre	Sommets	Bords	Visages	Symbole Schl??fli	Sommet configuration
t??tra??dre	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
cube	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
octa??dre	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dod??ca??dre	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
icosa??dre	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Toutes les autres informations combinatoire de ces solides, tels que le nombre total de sommets (V), les bords (E), et des faces (F), peut ??tre d??termin??e ?? partir de p et q. Depuis ne importe quel bord se joint deux sommets et a deux faces adjacentes nous devons avoir:

$pF = 2E = qV. \,$

L'autre relation entre ces valeurs est donn??e par la formule d'Euler :

$V - E + F = 2. \,$

Ce fait peut ??tre prouv?? non triviale dans une grande vari??t?? de moyens (en topologie alg??brique il r??sulte du fait que la caract??ristique d'Euler de la sph??re est de 2). L'ensemble de ces trois relations d??terminent compl??tement V, E et F:

$V = \ frac {} {4p 4 - (P-2) (q-2)}, \ quad E = \ frac {} {2pq 4 - (P-2) (q-2)}, \ quad F = \ frac {} {4 4q - (P-2) (q-2)}.$

Notez que la permutation p et q ??changes F et V tout en laissant inchang??e E (Pour une interpr??tation g??om??trique de ce fait, voir la section sur la double poly??dres ci-dessous).

Classification

Ce est un r??sultat classique qu'il n'y a que cinq poly??dres r??guliers convexes. Deux arguments communs sont donn??s ci-dessous. Ces deux arguments ne montrent qu'il peut y avoir pas plus de cinq solides de Platon. Que les cinq existe r??ellement, ce est une question-une s??par?? qui peut ??tre r??pondu par une construction explicite.

Preuve g??om??trique

L'argument g??om??trique suivante est tr??s similaire ?? celle donn??e par Euclide dans les ??l??ments:

Chaque sommet du solide doit co??ncider avec un sommet de chacun d'au moins trois faces.
A chaque sommet du solide, le total, entre les faces adjacentes, des angles entre les c??t??s adjacents respectifs doit ??tre inf??rieure ?? 360 ??.
Les angles ?? tous les sommets de toutes les faces d'un solide platonicien sont identiques, de sorte que chaque sommet de chaque face doivent contribuer ?? moins de 360 ?? / 3 = 120 ??.
Polygones r??guliers de six ou plusieurs parties ont que des angles de 120 ?? ou plus, de sorte que la face commune doit ??tre le triangle, carr??, ou d'un pentagone. Et pour:
- Triangulaires visages: chaque sommet d'un triangle r??gulier est de 60 ??, donc une forme peut avoir trois, quatre ou cinq triangles r??unis ?? un sommet; ceux-ci sont respectivement le t??tra??dre, l'octa??dre, et l'icosa??dre.
- Place face: chaque sommet d'un carr?? est de 90 ??, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois visages ?? un sommet, le cube.
- Pentagonale face: chaque sommet est de 108 ??; de plus, seulement un agencement, de trois faces ?? un sommet est possible, le dod??ca??dre.

La preuve topologique

Un purement topologique preuve peut ??tre faite en utilisant seulement des informations combinatoire sur les solides. La cl?? est l'observation d'Euler que $V - E + F = 2$ Et le fait que $pF = 2E = qV$ . La combinaison de ces ??quations on obtient l'??quation

$\ Frac {} {2E q} - E + \ frac {} {2E p} = 2.$

Manipulation alg??brique simple donne alors

${1 \ over q} + {1 \ over p} = {1 \ over 2} + {1 \ over E}.$

Depuis $E$ est strictement positif, nous devons avoir

$\ Frac {1} {q} + \ frac {1} {p}> \ frac {1} {2}.$

En utilisant le fait que p et q doivent tous deux ??tre d'au moins 3, on peut facilement voir qu'il n'y a que cinq possibilit??s pour {p, q}:

$\ {3, 3 \}, \ quad \ {4, 3 \}, \ quad \ {3, 4 \}, \ quad \ {5, 3 \}, \ quad \ {3,5 \}.$

Propri??t??s g??om??triques

Angles

Il ya un certain nombre d' angles associ??s ?? chaque solide platonicien. Le di??dre est l'angle int??rieur entre deux plans tout le visage. L'angle di??dre θ, du solide {p, q} est donn??e par la formule

$\ P??ch?? {\ theta \ over 2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / p)}.$

Ceci est parfois plus commod??ment exprim??e en termes de la tangente par:

$\ Tan {\ theta \ over 2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / h)}.$

La quantit?? h est 4, 6, 6, 10, et 10 pour le t??tra??dre, le cube, l'octa??dre, le dod??ca??dre, et l'icosa??dre respectivement.

Le carence angulaire au niveau du sommet d'un poly??dre est la diff??rence entre la somme des angles au visage que sommet et 2π. Le d??faut, δ, ?? ne importe quel sommet des solides platoniciens {p, q} est

$\ Delta = 2 \ pi - q \ pi \ gauche (1- {2 \ over p} \ right).$

Par Th??or??me de Descartes, ce est ??gal ?? 4π divis?? par le nombre de sommets (ce est ?? dire la d??faillance totale ?? tous les sommets est 4π).

Analogue trois dimensions d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide platonicien est donn??e en termes de l'angle di??dre par

$\ Omega = q \ theta -. (Q-2) \ pi \,$

Cela d??coule de la formule exc??s sph??rique pour un polygone sph??rique et le fait que le Figure de sommet du poly??dre {p, q} est un q -gon r??guli??re.

Les diff??rents angles associ??s avec les solides de Platon sont rassembl??s ci-dessous. Les valeurs num??riques des angles solides sont donn??s dans st??radians. La constante φ = (1 + √5) / 2 est le nombre d'or .

Poly??dre	Di??dre $(\ Theta) \,$	$\ Tan \ frac {\ theta} {2}$	D??faut $(\ Delta) \,$	Angle solide $(\ Omega) \,$
t??tra??dre	70,53 ??	$1 \ over {\ sqrt 2}$	$\ Pi \,$	$\ Cos ^ {- 1} \ left (\ frac {23} {27} \ right)$	$\ Environ 0.551286$
cube	90 ??	$1 \,$	$\ Pi \ over 2$	$\ Frac {\ pi} {2}$	$\ Environ 1,57080$
octa??dre	109,47 ??	$\ Sqrt 2$	${2 \ pi} \ plus de 3$	$4 \ sin ^ {- 1} \ left ({1 \ over 3} \ right)$	$\ Environ 1,35935$
dod??ca??dre	116,57 ??	$\ Varphi \,$	$\ Pi \ plus de 5$	$\ Pi - \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {11} \ right)$	$\ Environ 2,96174$
icosa??dre	138,19 ??	$\ Varphi ^ 2 \,$	$\ Pi \ plus de 3$	$2 \ pi - 5 \ sin ^ {- 1} \ left ({2 \ plus de 3} \ right)$	$\ Environ 2,63455$

Rayons, la surface et le volume

Une autre vertu de r??gularit?? est que les solides de Platon poss??dent tous trois sph??res concentriques:

la sph??re circonscrite qui passe ?? travers tous les sommets,
la midsphere qui est tangent ?? chaque ar??te au milieu de la bordure, et
la sph??re inscrite qui est tangent ?? chaque face au centre de la face.

Le rayons de ces sph??res sont appel??s les circonscrit, le midradius et le inradius. Ce sont les distances du centre du poly??dre aux sommets, les milieux des bords, et des centres de visage respectivement. Le circonscrit R et r de la inradius du solide {p, q} avec une longueur d'ar??te sont donn??s par

$R = \ left ({a \ over 2} \ right) \ tan \ frac {\ pi} {q} \ tan \ frac {\ theta} {2}$

$r = \ left ({a \ over 2} \ right) \ lit \ frac {\ pi} {p} \ tan \ frac {\ theta} {2}$

o?? θ est l'angle di??dre. La ρ de midradius est donn??e par

$\ Rho = \ left ({a \ over 2} \ right) \ frac {\ cos (\ pi / p)} {\ sin (\ pi / h)}$

o?? h est la quantit?? utilis??e ci-dessus dans la d??finition de l'angle di??dre (h = 4, 6, 6, 10, ou 10). A noter que le rapport entre le cercle circonscrit ?? la inradius est sym??trique en p et q:

${R \ over r} = \ tan \ frac {\ pi} tan \ frac {\ pi} {p} \ {q}.$

Le surface, A, d'un solide platonicien {p, q} est facilement calcul?? comme zone d'un r??guliers fois p -gon le nombre de faces F. C'est:

$A = \ left ({a \ over 2} \ right) ^ 2 Fp \ lit \ frac {\ pi} {p}.$

Le volumique est calcul?? comme F fois le volume de la pyramide dont la base est un p -gon r??guli??re et dont la hauteur est la inradius r. C'est,

$V = {1 \ over 3} rA.$

Le tableau suivant r??pertorie les diff??rents rayons des solides de Platon avec leur surface et le volume. La taille globale est fix?? en prenant la longueur d'ar??te, une, pour ??tre ??gal ?? 2.

Poly??dre (A = 2)	Inradius (r)	Midradius (ρ)	Circonscrit (R)	Surface (A)	Volume (V)
t??tra??dre	$1 \ over {\ sqrt 6}$	$1 \ over {\ sqrt 2}$	$\ Sqrt {3 \ over 2}$	$4 \ sqrt 3$	$\ Frac {2 \ sqrt 2} {3}$
cube	$1 \,$	$\ Sqrt 2$	$\ Sqrt 3$	$24 \,$	$8 \,$
octa??dre	$\ Sqrt {2 \ plus de 3}$	$1 \,$	$\ Sqrt 2$	$8 \ sqrt 3$	$\ Frac {8 \ sqrt 2} {3}$
dod??ca??dre	$\ Frac {\ varphi ^ 2} {\ xi}$	$\ Varphi ^ 2$	$\ Sqrt 3 \, \ varphi$	$60 \ frac {\ varphi} {\ xi}$	$20 \ frac {\ varphi ^ 3} {\ xi ^ 2}$
icosa??dre	$\ Frac {\ varphi ^ 2} {\ sqrt 3}$	$\ Varphi$	$\ Xi \ varphi$	$20 \ sqrt 3$	$\ Frac {20 \ varphi ^ 2} {3}$

Les constantes φ et ξ dans le ci-dessus sont donn??s par

$\ Varphi = 2 \ cos {\ pi \ plus de 5} = \ frac {1+ \ sqrt 5} {2} \ qquad \ xi = 2 \ p??ch?? {\ pi \ plus de 5} = \ sqrt {\ frac {5- \ sqrt 5} {2}} = 5 ^ {1/4} \ varphi ^ {- 1/2}.$

Parmi les solides de Platon, soit le dod??ca??dre ou icosa??dre peut ??tre consid??r??e comme la meilleure approximation de la sph??re. L'icosa??dre a le plus grand nombre de visages, le plus grand angle di??dre, et il ??treint sa sph??re inscrite le plus serr??. Le dod??ca??dre, d'autre part, a le d??faut angulaire plus petit, le plus grand angle solide sommet, et elle remplit sa sph??re circonscrite au plus.

Sym??trie

Double poly??dres

Un cube-octa??dre dual.

Chaque poly??dre a une poly??dre dual avec des visages et des sommets ??chang??s. Le double de chaque Solide de Platon est un autre solide platonicien, de sorte que nous pouvons organiser les cinq solides dans deux paires.

Le t??tra??dre est auto-double (ce est ?? dire son double est un autre t??tra??dre).
Le cube et l'octa??dre forment une paire duale.
Le dod??ca??dre et icosa??dre forment une paire duale.

Si un poly??dre a symbole Schl??fli {p, q}, puis son double a le symbole {q, p}. En effet chaque propri??t?? combinatoire d'un platonicien solide peut ??tre interpr??t?? comme une autre propri??t?? combinatoire de la double.

On peut construire le double poly??dre en prenant les sommets de la double comme les centres des faces de la figure originale. Les bords de la double liaison sont form??s par les centres des faces adjacentes ?? l'original. De cette mani??re, le nombre de faces et de sommets est interchang??, tandis que le nombre d'ar??tes reste le m??me.

Plus g??n??ralement, on peut dualize un solide platonique par rapport ?? une sph??re de rayon d concentrique avec le solide. Les rayons (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R *, ρ *, r *) sont li??s par

$d ^ 2 = R ^ \ ast r = r ^ \ ast R = \ rho ^ \ ast \ rho.$

Il est souvent commode de dualize par rapport ?? la midsphere (d = ρ) puisqu'il a la m??me relation avec les deux poly??dres. Prenant d ² = Rr donne un double solide avec le m??me circonscrit et inradius (c.-??-R * = R et r * = r).

groupes de sym??trie

En math??matiques, le concept de sym??trie est ??tudi?? avec la notion de groupe math??matique . Chaque poly??dre associ?? a un groupe de sym??trie, qui est l'ensemble de toutes les transformations ( Isom??tries euclidiennes) qui laissent l'invariant de poly??dre. Le commande du groupe de sym??trie est le nombre de sym??tries du poly??dre. On distingue souvent entre le groupe de sym??trie compl??te, qui comprend r??flexions, et le groupe de sym??trie appropri??e, qui comprend uniquement rotations.

Les groupes de sym??trie des solides de Platon sont connus comme groupes poly??driques (qui sont une classe sp??ciale de la groupes de points en trois dimensions). Le haut degr?? de sym??trie des solides de Platon peut ??tre interpr??t?? de plusieurs fa??ons. Plus important encore, les sommets de chaque solide sont tous ??quivalents dans le cadre du action du groupe de sym??trie, de m??me que les ar??tes et les faces. On dit de l'action du groupe de sym??trie est transitive sur les sommets, ar??tes et faces. En fait, ce est une autre fa??on de d??finir la r??gularit?? d'un poly??dre: un poly??dre est r??gulier si et seulement si elle est vertex uniforme, bord uniforme et faire face uniforme.

Il ya seulement trois groupes de sym??trie associ??s avec les solides de Platon plut??t que cinq, puisque le groupe de sym??trie de tout poly??dre co??ncide avec celle de son double. Ce est facile de voir en examinant la construction de la double poly??dre. Toute la sym??trie de l'original doit ??tre une sym??trie de la double et vice-versa. Les trois groupes poly??driques sont:

la t??tra??drique groupe T,
la octa??drique groupe O (qui est ??galement le groupe de sym??trie du cube), et
la icosa??drique groupe I (qui est aussi le groupe de sym??trie du dod??ca??dre).

Les ordres des (rotation) des groupes appropri??s sont 12, 24 et 60 respectivement - pr??cis??ment deux fois le nombre d'ar??tes dans les poly??dres respective. Les ordres des groupes de sym??trie complets sont deux fois plus nouveau (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une d??rivation de ces faits.

Le tableau suivant pr??sente les diverses propri??t??s de sym??trie des solides de Platon. Les groupes de sym??trie indiqu??s sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation donn??e entre parenth??ses (de m??me pour le nombre de sym??tries). La construction de kal??idoscope de Wythoff est un proc??d?? pour construire des poly??dres directement ?? partir de leurs groupes de sym??trie. Nous listons pour le symbole de r??f??rence Wythoff pour chacun des solides de Platon.

Poly??dre	Symbole Schl??fli	Symbole de Wythoff	Poly??dre dual	Sym??tries	Groupe Sym??trie
t??tra??dre	{3, 3}	3 \| 2 3	t??tra??dre	24 (12)	T _d (T)
cube	{4, 3}	3 \| 2 4	octa??dre	48 (24)	O _h (O)
octa??dre	{3, 4}	4 \| 2 3	cube	48 (24)	O _h (O)
dod??ca??dre	{5, 3}	3 \| 2 5	icosa??dre	120 (60)	_I H (I)
icosa??dre	{3, 5}	5 \| 2 3	dod??ca??dre	120 (60)	_I H (I)

Dans la nature et de la technologie

Le t??tra??dre, le cube, l'octa??dre et tous se produisent naturellement dans structures cristallines. Ce ne ??puisent nullement le nombre de formes possibles de cristaux. Toutefois, ni le icosa??dre r??gulier ni le dod??ca??dre r??gulier sont parmi eux. L'une des formes, appel?? le pyritohedron (nomm?? pour le groupe de min??raux dont il est typique) a douze faces pentagonales, dispos?? dans le m??me sch??ma que les faces du dod??ca??dre r??gulier. Les faces de la pyritohedron sont cependant pas r??gulier, de sorte que le pyritohedron est ??galement pas r??guli??re.

Circogonia icosa??dres, une esp??ce de Radiolaires, la forme d'un icosa??dre r??gulier.

Au d??but du 20e si??cle, Ernst Haeckel d??crit (Haeckel, 1904) un certain nombre d'esp??ces de Radiolaires, dont certains sont en forme de squelettes diff??rents poly??dres r??guliers. Les exemples incluent Circoporus octahedrus, Circogonia icosa??dres, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dod??ca??dres. Les formes de ces animaux devraient ??tre ??vidents ?? partir de leurs noms.

De nombreux virus , tels que le virus de l'herp??s, ont la forme d'un icosa??dre r??gulier. Structures virales sont construites r??p??t??es identiques prot??ines sous-unit??s et l'icosa??dre est la forme la plus facile ?? assembler en utilisant ces sous-unit??s. Un poly??dre r??gulier est utilis?? car il peut ??tre construit ?? partir d'une seule unit?? de prot??ine de base utilis?? encore et encore; ce qui ??conomise de l'espace dans le virale g??nome.

Dans la m??t??orologie et la climatologie, des mod??les num??riques mondiaux de flux atmosph??rique sont d'un int??r??t croissant qui utilisent des grilles qui sont bas??s sur un icosa??dre (affin??s par triangulation) au lieu de la plus couramment utilis??e longitude / latitude grille. Ceci pr??sente l'avantage de la r??solution spatiale sans uniform??ment r??partie singularit??s (?? savoir la p??les) au d??triment d'un peu plus grande difficult?? num??rique.

G??om??trie de cadres de l'espace est souvent bas??e sur des solides platoniques. Dans le syst??me MERO, solides platoniciens sont utilis??s pour la convention de d??nomination des diff??rentes configurations de ch??ssis de l'espace. Par exemple ?? O + T fait r??f??rence ?? une configuration en une moiti?? d'un t??tra??dre et octa??dre.

Solides platoniciens sont souvent utilis??s pour faire d??s , parce d??s de ces formes peuvent ??tre faites juste. D??s ?? 6 faces sont tr??s fr??quents, mais les autres num??ros sont couramment utilis??s dans jeux de r??le. De telles matrices sont couramment d??sign??s sous le nom d n o?? n est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir notation d??s pour plus de d??tails.

D??s poly??driques sont souvent utilis??s dans jeux de r??le.

Ces formes montrent fr??quemment dans d'autres jeux ou des puzzles. Puzzles similaires ?? un cube de Rubik venir dans les cinq formes - voir poly??dres magie.

Poly??dres et polytopes connexes

Poly??dres uniformes

Il existe quatre poly??dres r??guliers qui ne sont pas convexe, appel?? Poly??dres Kepler-Poinsot. Celles-ci ont toutes sym??trie icosa??drique et peut ??tre obtenu en tant que stellations du dod??ca??dre et l'icosa??dre.

cubocta??dre

icosidod??ca??dre

La prochaine poly??dres convexes plus r??gulier apr??s les solides de Platon sont les cubocta??dre, qui est un rectification du cube et l'octa??dre, et la icosidod??ca??dre, qui est une rectification du dod??ca??dre et l'icosa??dre (la rectification du t??tra??dre auto-dual est un octa??dre r??gulier). Ce sont ?? la fois sens quasi-r??guli??re qu'ils sont Vertex- et le bord uniforme et ont des visages r??guliers, mais les visages ne sont pas congruents (?? venir dans deux classes diff??rentes). Ils forment deux des treize Solides d'Archim??de, qui sont convexes poly??dres uniformes ?? sym??trie poly??drique.

Le poly??dres uniformes forment une classe beaucoup plus large de poly??dres. Ces chiffres sont sommet uniforme et avoir un ou plusieurs types de r??guli??re ou polygones ??toiles pour les visages. Il se agit notamment tous les poly??dres mentionn?? ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini de antiprismes, et 53 d'autres formes non convexe.

Le Solides de Johnson sont des poly??dres convexes qui ont visages r??guliers, mais ne sont pas uniformes.

Tessellations

L'arbre pavages r??guliers du plan sont ??troitement li??s aux solides de Platon. En effet, on peut voir les solides de Platon que les cinq mosa??ques r??guli??res de la sph??re . Cela se fait en projetant chaque solide sur une sph??re concentrique. Les visages projettent sur r??guli??re polygones sph??riques qui couvrent exactement la sph??re. On peut montrer que chaque tessellation r??guli??re de la sph??re est caract??ris?? par une paire d'entiers {p, q} avec 1 / p + 1 / q> 1/2. De m??me, un pavage r??gulier du plan se caract??rise la condition 1 / + 1 p / q = 1/2. Il ya trois possibilit??s:

{4, 4} dont une carrelage carr??,
{3, 6} qui est un pavage triangulaire, et
{6, 3} qui est un pavage hexagonal (dual du carrelage triangulaire).

D'une mani??re similaire, on peut consid??rer pavages r??guliers de la plan hyperbolique. Ils sont caract??ris??s la condition 1 / p + 1 / q <1/2. Il ya un nombre infini de ces mosa??ques.

Dimensions sup??rieures

En plus de trois dimensions, poly??dres ?? g??n??raliser polytopes, avec convexe de dimension sup??rieure polytopes r??guliers ??tant les ??quivalents des solides de Platon en trois dimensions.

Dans le milieu du 19e si??cle, le math??maticien suisse Ludwig Schl??fli d??couvert les analogues ?? quatre dimensions des solides platoniciens, appel?? 4-polytopes r??guliers convexes. Il ya exactement six de ces chiffres; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixi??me, le 24 cellules, n'a pas d'analogue inf??rieure dimensions.

Dans toutes les dimensions sup??rieur ?? quatre, il ya seulement trois polytopes r??guliers convexes: le simplex, le hypercube, et de la Hyperocta??dre. En trois dimensions, celles-ci co??ncident avec le t??tra??dre, le cube, l'octa??dre et.

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