Nombre n??gatif

Un nombre n??gatif est un nombre qui est inf??rieure ?? z??ro , tel que -3. Un nombre positif est un nombre qui est sup??rieur ?? z??ro, comme 3. Z??ro soi ne est ni positif ni n??gatif. Les num??ros non-n??gatifs sont les nombres r??els qui ne sont pas n??gative (ils sont positif ou nul). Les num??ros non-positifs sont les nombres r??els qui ne sont pas positif (elles sont n??gatives ou nulles).

Dans le contexte de nombres complexes , positif implique r??el, mais pour plus de clart??, on peut dire ??nombre r??el positif".

Les nombres n??gatifs

Les entiers n??gatifs peuvent ??tre consid??r??s comme une extension des nombres naturels , tels que l'??quation x - y = z a une solution valable pour toutes les valeurs de x et y. Les autres s??ries de chiffres sont ensuite d??riv??s comme des extensions de plus en plus ??labor??s et des g??n??ralisations ?? partir des nombres entiers.

Les nombres n??gatifs sont utiles pour d??crire les valeurs sur une ??chelle qui va au-dessous de z??ro, tels que la temp??rature , et aussi dans comptabilit?? o?? ils peuvent ??tre utilis??s pour repr??senter dettes. En comptabilit??, les dettes sont souvent repr??sent??s par chiffres rouges, ou un nombre entre parenth??ses.

Num??ros non-n??gatifs

Un nombre est non n??gatif si et seulement si elle est sup??rieure ou ??gale ?? z??ro , ?? savoir, positive ou nulle. Ainsi, les entiers naturels sont tous les entiers de z??ro sur le haut, et les r??els positifs sont tous les nombres r??els de z??ro sur le haut.

Un v??ritable matrice A est appel?? non n??gatif si chaque entr??e de A est positive.

Un v??ritable matrice A est appel?? totalement non n??gative par les th??oriciens de la matrice ou totalement positif par des informaticiens si le facteur d??terminant de chaque sous-matrice carr??e de A est positive.

Le n??gatif d'un nombre unique

Le n??gatif d'un num??ro est unique, comme le montre la preuve suivante.

La preuve en est par la contradiction.

Soit X un num??ro et laissez -x ??tre son n??gatif. Laisser . Laisser ??tre un autre n??gatif de x. Ensuite, il doit ??tre vrai que . Par un axiome du syst??me des nombres r??els

,

.

Et donc, . En utilisant la loi d'annulation pour l'addition, on voit que , Ce qui contredit notre supposition. Donc est le m??me nombre que et est le n??gatif unique de x.

Fonction Signum

Il est possible de d??finir une fonction sgn (x) sur les nombres r??els qui est une pour les nombres positifs, -1 pour les nombres n??gatifs et 0 pour z??ro (parfois appel?? le fonction signum):

Nous avons alors (sauf pour x = 0):

O?? | x | est la valeur absolue de x et H (x) est la Fonction de Heaviside. Voir aussi d??riv?? .

Fonction complexe Signum

Il est possible de d??finir une fonction CSGN (x) sur les nombres complexes ce qui est une des nombres positifs, pour les nombres n??gatifs -1 et 0 pour z??ro (parfois appel?? le fonction signe complexe):

Lorsque le complexe in??galit??s doit ??tre interpr??t??e comme suit

Nous avons alors (sauf pour x = 0):

Arithm??tique impliquant des nombres sign??s

Addition et soustraction

Aux fins de l'addition et la soustraction, on peut penser que des nombres n??gatifs dettes.

Ajout d'un nombre n??gatif est le m??me que soustrayant le nombre positif correspondant:

+ 5 (-3) = 5-3 = 2

(Si vous avez 5 $ et l'acquisition d'une dette de $ 3, alors vous avez une valeur nette de $ 2)

-2 + (-5) = -2 ?? 5 = -7

(Afin d'??viter toute confusion entre les concepts de la soustraction et la n??gation, souvent le signe n??gatif est ??crit en exposant:

^- 2 + ^- = 5 ^- 2 ^- 5 = ^- 7)

Soustrayant un nombre positif d'un nombre positif plus petit donne un r??sultat n??gatif:

4-6 = -2

(Si vous avez 4 $ et d??penser 6 $, alors vous avez une dette de 2 $).

Soustrayant un nombre positif de tout nombre n??gatif donne un r??sultat n??gatif:

-3-6 = -9

(Si vous avez une dette de 3 $ et de passer une autre 6 $, vous avez une dette de 9 $).

Soustrayant un n??gatif est ??quivalent ?? l'ajout positif correspondant:

5 - (-2) = 5 + 2 = 7

(Si vous avez une valeur nette de $ 5 et vous d??barrasser d'une dette de 2 $, alors votre nouvelle valeur nette est de 7 $).

??galement:

-8 - (-3) = -5

(Si vous avez une dette de 8 $ et de se d??barrasser d'une dette de 3 $, alors vous avez encore une dette de $ 5).

Multiplication

Brahmagupta indiqu?? dans Brahmasputhasiddhanta "temps positifs positif est fois positifs et n??gatifs n??gative est positif". Cette notion a ??t?? contest??e par Lazare Carnot (1753-1823). Il a demand?? comment la place d'un petit nombre pourrait ??tre plus grand que la place d'un grand nombre. En d'autres termes carr?? de -3 est plus grand que le carr?? de 2. Pourtant, -3 est inf??rieure ?? 2. Cette objection de Carnot ?? la notion de Brahmagupta ??tait pas contest??e pendant un si??cle. Grands math??maticiens tels que Euler, Laplace et Cauchy ont ??t?? incapables de fournir une r??ponse compl??te. Hermann Hankel prouv?? en utilisant des nombres complexes qui Brahmagupta avait raison. . (R??f??rence Intuition en sciences et en math??matiques, Efrain Fischbein, Kluwer Academic Publishers, Springer, 1899) Multiplication d'un nombre n??gatif par un nombre positif donne un r??sultat n??gatif: -2 ?? 3 = -6. Multiplication de deux nombres n??gatifs donne un r??sultat positif: -4 ?? -3 = 12.

Une fa??on de comprendre ce est de consid??rer la multiplication par un nombre positif que l'addition r??p??t??e. Pensez ?? 3 x 2 que trois groupes, deux dans chaque groupe. Ainsi, 3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6 si naturellement et -2 ?? 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6.

Multiplication par un nombre n??gatif peut ??tre consid??r?? comme une addition r??p??t??e ainsi. Par exemple, 3 ?? -2 peut ??tre consid??r?? comme trois groupes, avec -2 dans chaque groupe. 3 ?? -2 = (-2) + (-2) + (-2) = -6. Notez que cela emp??che la multiplication commutative : 3 ?? -2 = -2 ?? 3 = -6.

En appliquant la m??me interpr??tation du terme "multiplication par un nombre n??gatif" pour une valeur qui est ??galement n??gatif, on a:

Cependant, d'un point de vue formel, la multiplication de deux nombres n??gatifs est re??u directement par l'interm??diaire du distributivit?? de la multiplication sur l'addition:

Division

Division est similaire ?? la multiplication. Brahmagupta a d??clar?? pour la premi??re fois ce n??gatif divis?? par n??gatif au positif. Positif divis?? par n??gative ?? ??tre n??gatif. (R??f??rence: Arithm??tique et mensuration de Brahmagupta par Colebrooke HT). La convention de Brahmagupta a surv??cu ?? ce jour: si la dividende et diviseur ont des signes diff??rents, alors le r??sultat est n??gatif.

8 / = -2 -4

-10 / 2 = -5

Si dividende et le diviseur ont le m??me signe, le r??sultat est positif, m??me si les deux sont n??gatifs.

-12 / -3 = 4

Construction formelle de nombres entiers n??gatifs et non-n??gatifs

D'une mani??re similaire ?? des nombres rationnels , on peut ??tendre le nombre naturel N jusqu'au entiers Z en d??finissant en tant que nombres entiers paire ordonn??e de nombres naturels (a, b). Nous pouvons ??tendre addition et la multiplication de ces paires avec les r??gles suivantes:

(A, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(A, b) x (C, D) = (a ?? b + c ?? d, d + a ?? b ?? c)

Nous d??finissons une relation d'??quivalence ~ sur ces paires avec la r??gle suivante:

(A, b) ~ (c, d) si et seulement si A + D = b + c.

Cette relation d'??quivalence est compatible avec l'addition et la multiplication d??fini ci-dessus, et l'on peut d??finir comme la Z quotient fix?? N ?? / ~, ce est ?? dire nous identifions deux paires (a, b) et (c, d) si elles sont ??quivalentes au sens ci-dessus.

Nous pouvons ??galement d??finir une ordre total sur Z par ??crit

(A, b) ≤ (c, d) si et seulement si a + d ≤ b + c.

Cela conduira ?? un additif z??ro de la forme (a, a), un inverse additif de (a, b) de la forme (b, a), une unit?? de multiplication de la forme (a + 1, a), et un d??finition de soustraction

(A, b) - (c, d) = (a + d, b + c).

Premi??re utilisation de nombres n??gatifs

Pendant longtemps, les solutions aux probl??mes n??gatifs ont ??t?? consid??r??s comme "false" parce qu'ils ne pouvaient ??tre trouv??s dans le monde r??el (dans le sens o?? on ne peut pas, par exemple, avoir un nombre n??gatif de graines). Le concept abstrait a ??t?? reconnu d??s 100 BC - 50 BC A Travail chinois, Neuf chapitres sur l'art math??matique (Jiu-zhang suanshu), contient des m??thodes pour trouver les zones de chiffres; rouge tiges de comptage ont ??t?? utilis??s pour d??signer positif coefficients, tiges noires pour le n??gatif. Les Chinois ont ??galement pu r??soudre des ??quations simultan??es impliquant des nombres n??gatifs. L'ancienne indienne Bakhshali Manuscrit, qui a ??t?? ??crit ?? un moment donn?? entre 200 avant JC et AD 300, effectu?? des calculs avec des nombres n??gatifs, en utilisant "+" comme un signe n??gatif. Ce sont les premi??res utilisations connues de nombres n??gatifs.

En Egypte hell??nistique, Diophante dans le troisi??me si??cle de notre ??re appel??e une ??quation qui ??tait ??quivalente ?? 4 x + 20 = 0 (qui a une solution n??gative) Arithmetica, disant que l'??quation ??tait absurde. Cela indique que pas de notion de nombres n??gatifs existait dans le M??diterran??e antique.

Pendant le VIIe si??cle apr??s JC, les nombres n??gatifs ont ??t?? utilis??s dans l'Inde pour repr??senter dettes. Le math??maticien indien Brahmagupta , dans Brahma-Sphuta-Siddhanta (??crit en AD 628), discut?? de l'utilisation des nombres n??gatifs pour produire la forme g??n??rale formule quadratique qui reste en usage aujourd'hui. Il a ??galement trouv?? des solutions n??gatifs des ??quations du second degr?? et a donn?? des r??gles concernant les op??rations portant sur des nombres n??gatifs et z??ro , comme "Une dette coup?? du n??ant devient un cr??dit;. un cr??dit coup??e du n??ant devient une dette" Il a appel?? nombres positifs "fortunes, "z??ro" un chiffre ", et les nombres n??gatifs" de dettes. "

Pendant le huiti??me si??cle de notre ??re, le Monde islamique appris nombres n??gatifs de l'arabe traductions des ??uvres de Brahmagupta, et en AD 1000 math??maticiens arabes ??taient utiliser des nombres n??gatifs pour les dettes.

Dans le XII e si??cle en Inde, Bhaskara ??galement donn?? racines n??gatives pour ??quations du second degr??, mais les a rejet??es parce qu'elles ??taient inappropri??es dans le contexte du probl??me. Il a d??clar?? que une valeur n??gative est "dans ce cas de ne pas ??tre pris, car il est insuffisant, les gens ne approuvent pas de racines n??gatives."

La connaissance des nombres n??gatifs finalement atteint l'Europe ?? travers latine traductions de l'arabe et des ??uvres indiennes.

Europ??ennes math??maticiens, pour la plupart, ont r??sist?? ?? la notion de nombres n??gatifs jusqu'?? ce que le 17??me si??cle , bien que Fibonacci permis solutions n??gatives dans les probl??mes financiers o?? ils pourraient ??tre interpr??t??s comme des d??bits (chapitre 13 Liber Abaci, AD 1202) et plus tard comme des pertes (en Flos). A cette ??poque, les chinois ont ??t?? indiquant les nombres n??gatifs en dessinant un trait diagonal ?? travers le plus ?? droite non nulle chiffres.

Au 15??me si??cle, Nicolas Chuquet, un Fran??ais, utilis?? comme nombres n??gatifs exposants et appelaient les "num??ros absurdes."

En AD 1759, Francis Maseres, un math??maticien anglais, a ??crit que les nombres n??gatifs "assombrissent les doctrines tr??s entiers des ??quations et faire sombre des choses qui sont dans leur nature trop ??vident et simple". Il est venu ?? la conclusion qu'il ne existait nombres n??gatifs.

Les nombres n??gatifs ne ont pas ??t?? bien compris jusqu'?? l'??poque moderne. Aussi r??cemment que le 18??me si??cle , le Swiss math??maticien Leonhard Euler croit que les nombres n??gatifs ??taient sup??rieures ?? l'infini , un point de vue qui a ??t?? partag?? par John Wallis. Ce ??tait une pratique courante ?? l'??poque d'ignorer les r??sultats n??gatifs d??riv??s ?? partir des ??quations, dans l'hypoth??se o?? ils ne ont aucun sens. ( remani??e de 4) L'argument selon lequel les nombres n??gatifs sont sup??rieurs ?? l'infini impliqu?? le quotient 1 / x et compte tenu de ce qui se passe quand x tend et traverse le point x = 0 du c??t?? positif.