Logarithme naturel

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Le logarithme naturel, anciennement connu sous le nom logarithme hyperbolique, est le logarithme de la base e, o?? e est un irrationnel constante approximativement ??gale ?? 2,718 281 828 459. En termes simples, le logarithme naturel d'un nombre x est la puissance ?? laquelle e devrait ??tre soulev??e ?? l'??galit?? x - par exemple le logarithme naturel de e lui-m??me est une cause e ¹ = e, tandis que le logarithme naturel de 1 serait 0, puisque e ⁰ = 1. Le logarithme naturel peut ??tre d??fini pour tous les positifs nombres r??els x que l' aire sous la courbe y = 1 / t de 1 ?? x, et peut ??galement ??tre d??fini pour z??ro non nombres complexes comme expliqu?? ci-dessous .

Le graphique de la fonction de logarithme naturel. La fonction va vite ?? l'infini n??gative lorsque x tend vers 0, mais se d??veloppe lentement ?? l'infini positif x augmente.

La fonction de logarithme naturel peut ??galement ??tre d??finie comme ??tant la fonction inverse de la fonction exponentielle , ce qui conduit ?? l'identit??:

$e ^ {\ ln (x) = x} \ qquad \ mbox {} si x> 0 \, \!$

$\ Ln (e ^ x) = x. \, \!$

En d'autres termes, la fonction logarithme est une bijection de l'ensemble des nombres r??els positifs ?? l'ensemble des nombres r??els. Il est plus pr??cis??ment une isomorphisme du groupe des nombres r??els positifs sous la multiplication au groupe des nombres r??els en vertu de plus. Repr??sent?? en fonction :

$\ Ln: \ mathbb {R} ^ + \ ?? \ mathbb {R}$

Les logarithmes peuvent ??tre d??finis pour ne importe quelle base positif autre que 1, et pas seulement e, et sont utiles pour la r??solution d'??quations dont l'inconnue appara??t comme l'exposant d'une autre quantit??.

Conventions de notation

Math??maticiens, statisticiens, et quelques ing??nieurs comprennent g??n??ralement soit "log (x)?? ou ??ln (x)?? signifie log _e (x), ce est ?? dire, le logarithme naturel de x, et ??crire ??log ₁₀ (x)" si le logarithme en base 10 de x est destin??.

Certains ing??nieurs, biologistes, et quelques autres ??crivent g??n??ralement "ln (x)" (ou parfois "log _e (x)") quand ils veulent dire le logarithme naturel de x, et prennent "log (x)?? signifie log ₁₀ (x) ou, dans le cas de certains des informaticiens , log ₂ (x) (lg bien que ce est souvent ??crit (x) ?? la place).

En plus couramment utilis??s langages de programmation , y compris C , C ++ , MATLAB, Fortran, et BASE , "log" ou "log" se r??f??re au logarithme naturel.

Dans portatifs calculatrices , le logarithme naturel est not??e ln, alors journal est le logarithme en base 10.

Pourquoi il est appel?? ??naturel??

Initialement, il pourrait sembler que, depuis notre syst??me de num??rotation est base 10 , cette base serait plus ??naturel?? que la base e. Mais math??matiquement, le nombre 10 ne est pas particuli??rement importante. Son utilisation culturellement comme base pour de nombreuses soci??t??s de num??rotation des syst??mes susceptibles d??coule de l'homme de nombre typique de doigts. Et d'autres cultures ont bas?? leur syst??me de comptage sur ces choix comme 5, 20, et 60.

Log _E est un journal ??naturel?? parce qu'il vient automatiquement ?? partir, et semble si souvent, en math??matiques. Par exemple, consid??rons le probl??me de diff??rencier une fonction logarithmique:

$\ Frac {d} {dx} \ log_b (x) = \ frac {\ log_b (e)} {x} = \ frac {1} {\ ln (b) x}$

Si le e est ??gal ?? base b, puis le d??riv?? est simplement 1 / x, et x = 1 ce d??riv?? est ??gal ?? 1. Un autre sens dans lequel le logarithme base-e est la plus naturelle, ce est qu'il est possible de d??finir tr??s facilement en termes de simple int??grante ou s??rie de Taylor et ce ne est pas vrai pour d'autres logarithmes.

D'autres sens de ce naturel ne font aucune utilisation du calcul. A titre d'exemple, il ya un certain nombre de s??ries simples impliquant le logarithme naturel. En fait, Pietro et Mengoli Nicholas Mercator appel?? Logarithmus naturalis quelques d??cennies avant que Newton et Leibniz d??velopp??s calcul.

D??finitions

Ln (x) d??finie comme l'aire sous la courbe f (x) = 1 / x.

Formellement, ln (a) peut ??tre d??finie comme ??tant la surface sous le graphique de 1 / x allant de 1 ?? a, ce est que l' int??grale ,

$\ Ln (a) = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \, dx.$

Ceci d??finit un logarithme parce qu'elle satisfait la propri??t?? fondamentale d'un logarithme:

$\ Ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b) \, \!$

Ceci peut ??tre d??montr?? en laissant $t = \ frac xa$ comme suit:

$\ Ln (ab) = \ int_1 ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \; dx \; + \ Int_a ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ {a} \ frac {1} {x} \; dx \; + \ Int_1 ^ {b} \ frac {1} {t} \; dt = \ ln (a) + \ ln (b)$

Le num??ro e peut alors ??tre d??fini comme le nombre r??el unique, telle que ln (a) = 1.

Alternativement, si le fonction exponentielle a ??t?? d??finie en utilisant d'abord un s??rie infinie, le logarithme naturel peut ??tre d??finie comme la fonction inverse , ce est-ln (x) est que la fonction de telle sorte que $e ^ {\ ln (x) = x} \!$ . Depuis la plage de la fonction exponentielle sur des arguments r??els est tous les nombres r??els positifs et depuis la fonction exponentielle est strictement croissante, ce est bien d??finie pour tout x positif.

D??riv??e, s??rie de Taylor

Le d??riv?? du logarithme naturel est donn??e par

$\ Frac {d} {dx} \ ln (x) = \ frac {1} {x}. \,$

Les polyn??mes de Taylor pour $\ Log_e$ (1 + x) ne pr??voient que des approximations pr??cises dans la plage -1 <x ≤ 1. Notez que, pour x> 1, les polyn??mes de Taylor de degr?? sup??rieur sont des approximations pire.

Cela conduit ?? la s??rie de Taylor pour $\ Ln (1 + x)$ autour $0$ ; ??galement connu sous le nom S??rie Mercator

$\ Ln (1 + x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} x ^ n = x - \ frac {x ^ 2} {2 } + \ frac {x ^ 3} {3} - \ cdots \ quad {\ rm for} \ quad \ left | x \ right | \ leq 1 \ quad$

${\ Rm moins} \ quad x = -1$

A droite, une photo de $\ Ln$ $(1 + x)$ et une partie de son polyn??mes de Taylor autour $0$ . Ces approximations convergent ?? la fonction que dans la r??gion -1 <x ≤ 1; en dehors de cette r??gion la plus ??lev??e degr?? polyn??mes de Taylor sont des approximations pire pour la fonction.

En substituant x -1 pour x, nous obtenons une forme alternative pour ln (x) lui-m??me, ?? savoir

$\ Ln (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} (x-1) ^ n$

$\ Ln (x) = (x - 1) - \ frac {(x-1) ^ 2} {2} + \ frac {(x-1) ^ 3} {3} - \ frac {(x-1) ^ 4} {4} \ cdots$

${\ Rm for} \ quad \ left | x-1 \ right | \ leq 1 \ quad {\ rm moins} \ quad x = 0.$

En utilisant le Euler transform??e de la s??rie Mercator, on obtient ce qui suit, qui est valable pour tout x ayant une valeur absolue sup??rieure ?? 1:

$\ Ln {x \ x {plus-1}} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {1 \ over {nx ^ n}} = {1 \ over x} + {1 \ over {2x} ^ 2 } + {1 \ over {3x ^ 3}} + \ cdots$

Cette s??rie est similaire ?? un BBP type formule.

Notez ??galement que $x \ x {plus-1}$ est sa propre fonction inverse, de sorte que pour obtenir le logarithme naturel d'un certain nombre n, il suffit de mettre en $n \ over {n-1}$ pour x.

Le logarithme naturel de l'int??gration

Le logarithme naturel permet simple, l'int??gration des fonctions de la forme g (x) = f '(x) / f (x): un primitive de g (x) est donn??e par ln (| f (x) |). Ce est le cas en raison de la r??gle de la cha??ne et le fait suivant:

$\ {D \ over dx} \ left (\ ln \ left | x \ right | \ right) = {1 \ over x}.$

Autrement dit,

$\ Int {1 \ over x} dx = \ ln | x | + C$

$\ Int {\ frac {f '(x)} {f (x)} \, dx} = \ ln | f (x) | + C.$

Voici un exemple dans le cas de g (x) = tan (x):

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {\ sin (x) \ over \ cos (x)} \, dx$

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {- {d \ over dx} \ cos (x) \ over {\ cos (x)}} \, dx.$

Laisser f (x) = cos (x) et f '(x) = - sin (x):

$\ Int \ tan (x) \, dx = - \ ln {\ left | \ cos (x) \ right |} + C$

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ ln {\ left | \ s (x) \ right |} + C$

o?? C est une constante arbitraire d'int??gration.

Le logarithme naturel peut ??tre int??gr?? ?? l'aide int??gration par parties:

$\ Int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C.$

Valeur num??rique

Pour calculer la valeur num??rique du logarithme naturel d'un nombre, l'expansion en s??rie de Taylor peut ??tre r????crite comme:

$\ ln (1 + x) = x \, \ left (\ frac {1} {1} - x \, \ left (\ frac {1} {2} - x \, \ left (\ frac {1} { 3} - x \, \ left (\ frac {1} {4} - x \, \ left (\ frac {1} {5} - \ ldots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right) \ quad {\ rm for} \ quad \ left | x \ right | <1 \, \.!$

Pour obtenir un meilleur taux de convergence, l'identit?? suivante peut ??tre utilis??e.

$\ Ln (x) = \ ln \ left (\ frac {1} {+ y 1-y} \ right)$	$= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + \ frac {1} {3} y ^ {2} + \ frac {1} {5} y ^ {4} + \ frac { 1} {7} y ^ {6} + \ frac {1} {9} y ^ {8} + \ ldots \ right)$
	$= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {3} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {5} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {7} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {9} + \ ldots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right)$

?? condition que y = (x-1) / (x + 1) et x> 0.

Pour ln (x) o?? x> 1, plus la valeur de x est de 1, plus la vitesse de convergence. Les identit??s associ??es avec le logarithme peuvent ??tre mis ?? profit pour exploiter cette:

$\ Ln (123,456) \!$	$= \ Ln (1,23456 \ times 10 ^ 2) \, \!$
	$= \ Ln (1,23456) + \ ln (10 ^ 2) \, \!$
	$= \ Ln (1,23456) + 2 \ times \ ln (10) \, \!$
	$\ env \ ln (1,23456) + 2 \ times 2,3025851 \, \!$

Ces techniques ont ??t?? utilis??es avant calculatrices, en se r??f??rant aux tables num??riques et d'effectuer des manipulations comme celles ci-dessus.

Haute pr??cision

Pour calculer le logarithme naturel avec de nombreux chiffres de pr??cision, l'approche en s??rie de Taylor ne est pas efficace car la convergence est lente. Une alternative est d'utiliser la m??thode de Newton pour inverser la fonction exponentielle, dont la s??rie converge plus rapidement.

Une alternative pour le calcul de tr??s haute pr??cision est la formule

$\ Ln x \ approx \ frac {\ pi} {2 M (1,4 / s)} - m \ ln 2$

o?? M d??signe le arithm??tique et la moyenne g??om??trique et

$s = x \, 2 ^ m> 2 ^ {p / 2},$

avec m choisi de sorte que P bits de pr??cision est atteint. En effet, si cette m??thode est utilis??e, Newton inversion du logarithme naturel peut inversement ??tre utilis??e pour calculer la fonction exponentielle de mani??re efficace. (Les constantes ln 2 et π peuvent ??tre pr??-calcul??s ?? la pr??cision souhait??e ?? l'aide de ne importe quel connu plusieurs s??ries convergent rapidement).

Complexit?? de calcul

Le complexit?? de calcul consistant ?? calculer le logarithme naturel (en utilisant la moyenne arithm??tique-g??om??trique) est O (M (n) ln n). Ici, n est le nombre de chiffres de pr??cision ?? laquelle le logarithme naturel doit ??tre ??valu??e et M (n) est la complexit?? de calcul de la multiplication de deux nombres ?? chiffres n.

Logarithmes complexes

La fonction exponentielle peut ??tre ??tendue ?? une fonction qui donne un nombre complexe ^x e comme pour tout nombre complexe x arbitraire; il suffit d'utiliser la s??rie infinie avec x complexe. Cette fonction exponentielle peut ??tre invers??e pour former un logarithme complexe qui pr??sente de plus des propri??t??s du logarithme ordinaire. Il ya deux difficult??s: pas a x e ^x = 0; et il se av??re que e ^{2 πi} = 1 ⁰ = e. Depuis la propri??t?? multiplicatif travaille toujours pour la fonction exponentielle complexe, e ^z = ^{z 2} e ^nπi, pour tout z complexe et entiers n.

Donc le logarithme ne peut pas ??tre d??fini pour toute la plan complexe , et m??me alors, il est multi-valeurs - tout logarithme complexe peut ??tre modifi?? dans un logarithme ????quivalent?? en ajoutant un multiple entier de deux πi ?? volont??. Le logarithme complexe ne peut ??tre ?? valeur unique sur le plan de coupe . Par exemple, ln i = 1/2 ou 5/2 πi πi ou -3/2 πi, etc .; et bien que je ⁴ = 1, 4 log i peut ??tre d??finie comme deux πi, ou 10 πi ou -6 πi, et ainsi de suite.

Parcelles de la fonction logarithme naturel sur le plan complexe (branche principale)
z = Re (ln (x + iy))
z = | Im (ln (x + iy)) |
z = | ln (x + iy) |
La superposition des trois graphes pr??c??dents

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