Multiplication

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3 x 4 = 12, de sorte que douze points peuvent ??tre dispos??s en trois rang??es de quatre (ou quatre colonnes de trois).

Multiplication des nombres entiers est le op??ration math??matique de l'addition des copies multiples du m??me num??ro. Par exemple, quatre multipli?? par trois, ce est douze, ??tant donn?? que trois ensembles de quatre font douze:

$4 + 4 + 4 = 12. \! \,$

La multiplication peut ??galement ??tre consid??r?? comme un objet de comptage dispos??s dans un rectangle ou trouver la zone de rectangle dont les c??t??s ont donn?? longueurs.

La multiplication est l'une des quatre op??rations principales en arithm??tique ??l??mentaire , et la plupart des gens apprennent multiplication de base des algorithmes de ??cole primaire. L'inverse de la multiplication est la division .

Multiplication est g??n??ralis??e ?? toutes sortes de chiffres et ?? des constructions plus abstraites comme des matrices.

Notation et la terminologie

La multiplication est ??crite en utilisant le signe de multiplication "??" entre les termes; ce est-?? notation infix??e. Le r??sultat est exprim?? avec une signe ??gal. Par exemple,

$2 \ times 3 = 6$ (Verbalement, "deux fois trois ??galent six")

$3 \ 4 fois = 12$

$2 \ 3 \ fois fois 5 = 30$

$2 \ \ fois 2 fois 2 \ fois 2 \ times 2 = 32$

Il ya plusieurs autres notations communes pour la multiplication:

La multiplication est parfois d??sign?? par un navigateur point du milieu ou d'un p??riode:
$5 \ cdot 2 \ quad \ text {ou} \ quad 5 \,. \, 2$
Le point central est la norme dans le ??tats-Unis , le Royaume-Uni et d'autres pays o?? la dur??e est utilis?? comme virgule. Dans certains pays qui utilisent une virgule comme s??parateur d??cimal, la p??riode est utilis??e pour la multiplication place.
Le ast??risque (* 2 5 par exemple) est souvent utilis?? avec des ordinateurs, car il appara??t sur chaque fl??che. Cet usage origine dans le Langage de programmation FORTRAN.
En alg??bre , la multiplication impliquant des variables est souvent ??crit comme un juxtaposition (par exemple pour xy x y fois ou 5 x ?? cinq fois x). Cette notation peut ??galement ??tre utilis??e pour les nombres qui sont entour??s par parenth??ses (par exemple 5 (2) ou (5) (2) pour deux ?? cinq reprises).

Les chiffres ?? multiplier sont g??n??ralement appel??s les ??facteurs?? ou ??multiplicandes". Quand on pense que la multiplication addition r??p??t??e, le nombre d'??tre r??p??t?? est appel?? le "multiplicande", tandis que le nombre de r??p??titions est appel?? le ??multiplicateur??. En alg??bre, un nombre qui est multipli?? par une variable ou une expression (ce est ?? dire 3 en 3 xy ²⁾ est appel?? coefficient.

Le r??sultat de la multiplication est appel??e produit, et est un multiples de chaque facteur. Par exemple 15 est le produit de trois et cinq, et est ?? la fois un multiple de 3 et un multiple de cinq.

Calcul

Les m??thodes standard pour la multiplication de nombres en utilisant crayon et du papier n??cessitent une table de multiplication de produits m??moris??s ou consult??s de petits nombres (g??n??ralement deux num??ros 0-9), mais une m??thode, le algorithme de multiplication paysanne, ne fonctionne pas. Beaucoup de programmes de math??matiques d??velopp?? selon les normes de la 1989 NCTM ne enseignent pas de m??thodes arithm??tiques standard, au lieu guider les ??tudiants ?? inventer leurs propres m??thodes de calcul. Bien que largement adopt?? par de nombreux districts scolaires dans des pays comme les Etats-Unis, ils se sont heurt??s ?? la r??sistance de certains parents et math??maticiens, et certains districts ont abandonn?? depuis ces programmes en faveur des math??matiques traditionnelles.

En multipliant le nombre ?? plus de deux d??cimales ?? la main est fastidieux et source d'erreurs. Logarithmes communs ont ??t?? invent??es pour simplifier ces calculs. Le r??gle ?? calcul a permis chiffres pour ??tre rapidement multipli??s ?? environ trois lieux de pr??cision. D??s le d??but du XXe si??cle , m??caniques calculatrices , comme le Marchant, la multiplication automatique de jusqu'?? 10 chiffres. ??lectroniques modernes ordinateurs et calculatrices ont consid??rablement r??duit la n??cessit?? pour la multiplication ?? la main.

Algorithmes historiques

M??thodes de multiplication ont ??t?? document??s dans le ??gyptienne , la Gr??ce , Babylone , vall??e de l'Indus , et chinois civilisations.

Egyptiens

La m??thode ??gyptienne de la multiplication de nombres entiers et fractions, document?? dans le Ahm??s Papyrus, ??tait par ajouts successifs et doublement. Par exemple, pour trouver le produit des 13 et 21 il fallait doubler 21 trois fois, obtenir une ?? 21 = 21, 2 ?? 21 = 42, 4 ?? 21 = 84, 8 ?? 21 = 168. Le produit complet pourrait alors trouv?? en ajoutant les termes appropri??s trouv??s dans la s??quence de doublement:

13 ?? 21 = (1 + 4 + 8) x 21 = (1 x 21) + (4 x 21) + (8 x 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babyloniens

Les Babyloniens ont utilis?? un sexag??simal syst??me de num??ration positionnel, analogue ?? l'??poque moderne syst??me d??cimal. Ainsi, la multiplication babylonienne ??tait tr??s semblable ?? virgule moderne multiplication. En raison de la relative difficult?? de se souvenir de 60 ?? 60 produits diff??rents, math??maticiens babyloniens employ??s tables de multiplication. Ces tableaux ont consist?? d'une liste des vingt premiers multiples d'un certain nombre principale n: n, 2 n, ..., 20 n; suivie des multiples de 10 n: 30 n 40 n, et 50 n. Ensuite, pour calculer un produit sexag??simal, dire 53 n, une seule suffit d'ajouter 50 n et 3 n calcul??e ?? partir de la table.

Chinois

Dans les livres, Chou Pei Suan Ching dat?? avant 300 avant JC, et de la Neuf chapitres sur l'art math??matique, les calculs de multiplication ont ??t?? ??crits en mots, bien que les premiers math??maticiens chinois employ??s un boulier dans les calculs de la main d'addition et de multiplication.

Vall??e de l'Indus

Produit de 45 et 256. Remarque l'ordre des chiffres de 45 est invers?? en bas de la colonne de gauche. L'??tape de report de la multiplication peut ??tre effectu??e ?? la derni??re ??tape du calcul (en gras), retournant le produit final de 45 x 256 = 11 520.

Les math??maticiens hindous d??but de la r??gion de la vall??e de l'Indus ont utilis?? une vari??t?? de trucs intuitives pour effectuer la multiplication. La plupart des calculs ont ??t?? effectu??s sur de petits comprim??s d'ardoise ?? la main, en utilisant des tables de craie. Une technique a ??t?? que de multiplication treillis (ou gelosia multiplication). Voici un tableau a ??t?? ??labor?? avec les lignes et les colonnes marqu??es par les multiplicandes. Chaque bo??te de la table a ??t?? divis??e en deux en diagonale, comme triangulaire treillis. Les entr??es de la table lieu les produits partiels, ??crites sous forme de nombres d??cimaux. Le produit peut ensuite ??tre form?? en additionnant vers le bas des diagonales du treillis.

M??thode moderne

La m??thode moderne de multiplication sur la base du Syst??me de num??ration indo-arabe a ??t?? d??crite par Brahmagupta. Brahmagupta a donn?? des r??gles pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Henry Burchard fine, puis professeur de math??matiques ?? l'Universit?? de Princeton , a ??crit ce qui suit:

Les Indiens sont les inventeurs non seulement du syst??me d??cimal de position elle-m??me, mais de la plupart des processus impliqu??s dans la prise en compte ??l??mentaire avec le syst??me. Addition et soustraction ils ont jou?? tout ?? fait aussi qu'ils sont effectu??s de nos jours; multiplication qu'ils effectuent ?? bien des ??gards, le n??tre parmi eux, mais ils l'ont fait cumbrously division.

Produits des s??quences

notation pi Capital

Le produit d'une s??quence de termes peut ??tre ??crit avec le symbole de produits, qui d??coule de la capitale lettre Π (Pi) dans le alphabet grec . position de Unicode U + 220F (Π) est d??finie -aire un produit de n ?? cette fin, distinct de U + 03A0 (Π), la lettre. Ceci est d??fini comme:

$\ Prod_ {i = m} ^ {n} x_ {i}: = x_ {m} \ cdot x_ {m + 1} \ cdot x_ {m + 2} \ cdot \ cdots \ cdot x_ {n-1} \ cdot x_ {n}.$

L'indice donne le symbole d'une variable muette ( $Je$ dans notre cas) et sa valeur inf??rieure ( $m$ ); l'exposant donne sa valeur sup??rieure. Ainsi, par exemple:

$\ Prod_ {i = 2} ^ {6} \ left (1 + {1 \ over i} \ right) = \ left (1 + {1 \ over 2} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ plus de 3} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ over 4} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ over 5} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ over 6 } \ right) = {7 \ over 2}.$

Dans le cas o?? m = n, la valeur du produit est la m??me que celle du facteur x _m. Si m> n, le produit est le vide produit, avec la valeur 1.

Produits infinis

On peut aussi consid??rer les produits de infinit?? de termes; ceux-ci sont appel??s produits infinis. Notationally, nous remplacerions n ci-dessus par le lemniscate (symbole de l'infini) ∞. Dans les r??els, le produit d'une telle s??rie est d??fini comme la limite du produit de la premi??re $n$ termes, que $n$ cro??t sans borne. Ce est, par d??finition,

$\ Prod_ {i = m} ^ {\ infty} x_ {i} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ prod_ {i = m} ^ {n} x_ {i}.$

On peut de m??me remplacer $m$ avec l'infini n??gatif, et de d??finir:

$\ Prod_ {i = - \ infty} ^ \ infty x_i = \ left (\ lim_ {m \ To-\ infty} \ prod_ {i = m} ^ 0 x_i \ right) \ cdot \ left (\ lim_ {n \ ?? \ infty} \ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right),$

pr??vues deux limites existent.

Interpr??tation

Produit cart??sien

La d??finition de la multiplication comme r??p??t?? addition fournit un moyen de parvenir ?? une interpr??tation th??orique de r??glage de la multiplication de nombres cardinaux . Dans l'expression

$\ Displaystyle a \ cdot n = \ underbrace {a + \ cdots + a} _ {n},$

si les n copies d'un doivent ??tre combin??es en union disjointe il est clair qu'ils doivent ??tre disjoints; un moyen ??vident de le faire est d'utiliser un ou n que l'indexation pr??vue pour l'autre. Ensuite, les membres de $un \ cdot n \,$ sont exactement ceux de la Produit cart??sien $une fois \ n \,$ . Les propri??t??s de l'op??ration de multiplication comme se appliquant ?? des nombres naturels suivent alors trivialement des propri??t??s correspondantes du produit cart??sien.

Propri??t??s

Pour les nombres entiers, les fractions, r??elle et les nombres complexes, la multiplication poss??de certaines propri??t??s:

Commutativit??: L'ordre dans lequel deux nombres sont multipli??s n'a pas d'importance.; ?? x ?? y = y x.

Associativit??: Probl??mes impliquant uniquement la multiplication sont invariantes par rapport ?? ordre des op??rations.; (X ?? y) ?? z = x ?? (y ?? z).

Distributivit??: Dit par rapport ?? l'addition sur la multiplication. Cette identit?? est d'une importance primordiale dans la simplification des expressions alg??briques.; ?? x (y + z) = x ?? y ?? z + x.

??l??ment d'identit??: de la multiplication est une; tout multipli?? par lui-m??me est une. Ceci est connu comme la propri??t?? d'identit??; ?? x 1 = x.

??l??ment z??ro: Tout multipli?? par z??ro est ??gal ?? z??ro. Ceci est connu comme ??tant la propri??t?? de multiplication z??ro.; x 0 = 0 ??

Propri??t?? inverse: Chaque nombre x, sauf z??ro, a une inverse multiplicatif, 1 / x, de telle sorte que x ?? (1 / x) = 1.

la pr??servation de commande: Multiplication par un nombre positif pr??serve Pour: si un> 0, alors si b> c alors une ?? b> a ?? c. Multiplication par un nombre n??gatif inverse l'ordre: si un <0, alors si b> c ?? b alors un <a ?? c.

N??gatif une fois ne importe quel nombre est ??gal ?? la valeur n??gative de ce nombre.

(-1) ?? X = (- x)

Une fois l'inverse n??gatif est positif.

(-1) ?? (-1) = 1

D'autres syst??mes math??matiques qui comprennent une op??ration de multiplication peuvent ne pas avoir toutes ces propri??t??s. Par exemple, la multiplication ne est pas, en g??n??ral, pour des matrices et commutative quaternions.

Preuves

Toutes ces propri??t??s ne sont pas ind??pendants; certains sont une cons??quence des autres. Une propri??t?? qui peut ??tre prouv?? par les autres est la propri??t?? z??ro de multiplication. Il est prouv?? au moyen de la propri??t?? distributive. Nous supposons toutes les propri??t??s habituelles d'addition et de soustraction, et - x signifie la m??me chose que

x ?? 0

= (X ?? 0) + x - x

= (X ?? 0) + (x ?? 1) - x

= X ?? (0 + 1) - x

= (X ?? 1) - x

= X - x

= 0.

Donc, nous avons prouv??:

?? x 0 = 0.

L'identit?? (-1) ?? x = (- x) peut ??galement ??tre prouv?? en utilisant la propri??t?? distributive:

(-1) ?? X

= (-1) ?? X + x - x

= (-1) ?? X ?? x + 1 - x

= (-1 + 1) ?? x - x

= 0 ?? x - x

= 0 - x

= - X

La preuve que (-1) ?? (-1) = 1 est maintenant facile:

(-1) ?? (-1)

= - (- 1)

= 1.

Multiplication avec les axiomes de Peano

Dans le livre Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano a propos?? un nouveau syst??me pour la multiplication ?? partir de ses axiomes pour nombres naturels.

a ?? 1 = a
A ?? B '= (a ?? b) + un

Ici, b 'repr??sente la successeur de b, ou le nombre entier naturel qui suit b. Avec son autre neuf axiomes, il est possible de prouver r??gles communes de la multiplication, telles que les propri??t??s de distribution ou associatives.

Multiplication avec la th??orie des ensembles

Il est possible, bien que difficile, pour cr??er une d??finition r??cursive de multiplication avec la th??orie des ensembles. Un tel syst??me repose g??n??ralement sur la d??finition de peano de la multiplication.

Multiplication en th??orie des groupes

Il est facile de montrer qu'il ya un groupe pour multiplication- non nuls nombres rationnels. Multiplication avec les nombres non nuls satisfait

Fermeture - Pour tout a et b dans le groupe, a ?? b est dans le groupe.
Associativit?? - Ce est juste la propri??t?? associative: (a ?? b) ?? c = a ?? (b ?? c)
Identit?? - Cela d??coule directement de la d??finition de Peano. Tout est multipli?? par lui-m??me.
Inverse - Tous les num??ros non-z??ro ont une inverse multiplicatif.

Multiplication est aussi un groupe ab??lien, car il suit la propri??t?? commutative.

a ?? b = b ?? a

La multiplication des diff??rents types de num??ros

Num??ros peuvent compter (3 pommes), pour (la 3e pomme), ou de la mesure (3,5 pieds de haut); que l'histoire des math??matiques a progress?? de compter sur nos doigts ?? la m??canique de la mod??lisation Quantuum, la multiplication a ??t?? g??n??ralis?? ?? des types plus complexes et abstraits de chiffres et ?? des choses qui ne sont pas des num??ros (comme matrices ) ou ne ressemble pas beaucoup ?? nombre (tel que quaternions).

Les entiers N ?? M est la somme des M copies de N lorsque N et M sont des nombres entiers positifs. Cela donne le nombre de choses dans un tableau large et N M ??lev??. G??n??ralisation ?? des nombres n??gatifs peut ??tre effectu?? par (N x -M) = - (N x M).

Rationnels G??n??ralisation aux fractions A / B ?? C / D est en multipliant les num??rateurs et des d??nominateurs respectivement: A / B ?? C / D = (A ?? B) / (C ?? D). Cela donne ?? l'aire d'un rectangle A / B ??lev?? et C / D de large, et est le m??me que le nombre de choses dans un tableau lorsque les nombres rationnels se trouvent ??tre des nombres entiers.

Reals x ?? y est la limite des produits des termes correspondants dans certaines s??quences de rationnels qui convergent vers x et y, respectivement, et est important dans Calculus . Cela donne ?? l'aire d'un rectangle et y x hauteur large. Voir ci-dessus .

Complexe Consid??rant nombres complexes Z1 et Z2 comme couples ou des nombres r??els (a1, b1) et (a2, b2), le produit de z1 z2 est ?? (a1 ?? a2 - b2 b1 ??, a1 a2 + b2 ?? ?? b1). Ce est le m??me que pour les nombres r??els, x a1 a2, lorsque les parties imaginaires B1 et B2 sont ??gaux ?? z??ro.

D'autres g??n??ralisations Voir ci-dessus et Multiplicatif groupe, qui comprend par exemple la multiplication de matrices. Un tr??s g??n??rale et abstraite, concept de multiplication est que la (seconde) op??ration binaire "multiplicativement not??e" dans un anneau. Un exemple d'une bague qui ne est pas l'un des syst??mes de num??ro ci-dessus est anneaux de polyn??mes (vous pouvez ajouter et multiplier des polyn??mes, mais polyn??mes sont pas des chiffres dans tous les sens d'habitude.)

Souvent Division division x / y est la m??me que la multiplication par l'inverse, x ?? (1 / y). Multiplication pour certains types de "num??ros" peut avoir division correspondante, sans inverses; dans une Domaine int??grante x peut ne avoir aucun inverse "1 / x", mais x / y peut ??tre d??finie. Dans un Corps il ya inverses mais ils ne sont pas commutative (depuis 1 / x X 1 / y ne est pas le m??me que 1 / y X 1 / x, x / y peut ??tre ambigu??).

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