Projection de Mercator

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Mercator carte du monde Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio annonce Usum Navigatium Emendate (1569)

La projection de Mercator est une projection cartographique cylindrique pr??sent?? par le G??ographe et cartographe flamand Gerardus Mercator, en 1569. Il est devenu la projection cartographique standard ?? des fins nautiques en raison de sa capacit?? ?? repr??senter des lignes de constante rel??vement vrai ou vrai bien s??r, connu sous le nom loxodromies, que droite des segments de ligne. Bien que la direction et les formes sont exacts sur une projection de Mercator, il d??forme la taille, ?? un degr?? de plus en plus loin de l'??quateur.

Propri??t??s et d??tails historiques

1569 ??dition de Mercator ??tait un grand Planisph??re mesure 202 par 124 cm, imprim??es en dix-huit feuilles s??par??es. Comme dans toutes les projections cylindriques , parall??les et m??ridiens sont rectilignes et perpendiculaires entre elles. Dans l'accomplissement de cela, est-ouest in??vitable ??tirement de la carte, ce qui augmente comme distance des ??quateur augmente, est accompagn?? d'un nord-sud correspondant ??tirement, de sorte que, ?? chaque emplacement du point, l'??chelle est-ouest est le m??me que l'??chelle nord-sud, ce qui rend la projection conformationnelle. Une carte Mercator ne peut jamais montrer pleinement les r??gions polaires, depuis ??chelle lin??aire devient infiniment ??lev??e au niveau des p??les. ??tre une projection conforme, les angles sont conserv??s dans tous les endroits, cependant ??chelle varie d'un endroit ?? l'autre, faussant la taille des objets g??ographiques. En particulier, les zones proches des p??les sont plus touch??s, de transmettre une image de la g??om??trie de la plan??te qui est plus fauss?? les plus pr??s des p??les. ?? des latitudes sup??rieures ?? 70 ?? nord ou au sud, la projection de Mercator est pratiquement inutilisable.

Un carte du ciel avec une projection cylindrique similaire ?? projection de Mercator, du livre de l'Xin Yi Xiang Fa Yao, publi?? en 1092 par le chinois scientifique Su Song.

Toutes les lignes de constante palier ( loxodromies ou loxodromes - ceux qui font des angles constants avec les m??ridiens), sont repr??sent??s par des segments de droite sur une carte Mercator. Ce est pr??cis??ment le type d'itin??raire habituellement utilis??s par les navires en mer, o?? compas sont utilis??s pour indiquer les directions g??ographiques et de diriger les navires. Les deux propri??t??s, conformalit?? et droit lignes de rhumb, faire cette projection unique adapt?? ?? la navigation maritime: cours et les roulements sont mesur??es ?? l'aide vent roses ou rapporteurs, et les directions correspondantes sont facilement transf??r??es de point ?? point, sur la carte, ?? l'aide d'un r??gle parall??le ou une paire de carr??s de navigation.

Le nom et des explications donn??es par Mercator ?? sa carte du monde (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio annonce Usum Navigatium Emendate: "description nouvelle et augment??e de la Terre corrig??es pour l'utilisation de la navigation??) montrent qu'il a ??t?? express??ment con??u pour l'utilisation de la navigation maritime . Bien que la m??thode de construction ne est pas expliqu?? par l'auteur, Mercator a probablement utilis?? une m??thode graphique, le transfert de certaines lignes de rhumb pr??alablement trac??es sur un globe ?? un carr?? graticule, puis r??gler l'espacement entre les parall??les de sorte que les lignes droites sont devenus, faisant le m??me angle avec les m??ridiens comme dans le monde entier.

Le d??veloppement de la projection de Mercator repr??sent?? une perc??e majeure dans la cartographie nautique du 16??me si??cle. Cependant, il ??tait en avance sur son temps, puisque les vieilles techniques de navigation et de lev??s ne ??taient pas compatibles avec son utilisation dans la navigation. Deux probl??mes principaux ont emp??ch?? son application imm??diate: l'impossibilit?? de d??terminer la longitude en mer avec une pr??cision suffisante et le fait que directions magn??tiques, au lieu de directions g??ographiques, ont ??t?? utilis??s dans la navigation. Seulement dans le milieu du 18e si??cle, apr??s la chronom??tre de marine a ??t?? invent?? et la distribution spatiale des d??clinaison magn??tique a ??t?? connu, pourrait la projection de Mercator ??tre pleinement adopt?? par les navigateurs.

Plusieurs auteurs sont associ??s au d??veloppement de la projection Mercator:

Allemand Erhard Etzlaub (c. 1460-1532), qui avait grav?? miniatures "compas cartes" (environ 10x8 cm) de l'Europe et certaines r??gions d'Afrique, les latitudes 67 ?? -0 ??, pour permettre l'ajustement de ses cadrans solaires portables de poche, ??tait pour d??cennies d??clar?? avoir con??u "une projection identique ?? Mercator de". Ce est depuis av??r?? ??tre une erreur, remontant ?? la recherche doubtable en 1917.

Math??maticien portugais et cosmographe Pedro Nunes (1502-1578), qui a d??crit l'loxodrome et son utilisation dans la navigation maritime, et a sugg??r?? la construction de plusieurs cartes marines ?? grande ??chelle dans la projection cylindrique ??quidistante de repr??senter le monde avec une distorsion d'un angle minimal (1537).

Math??maticien anglais Edward Wright (c. 1558-1615), qui a formalis?? les math??matiques de la projection de Mercator (1599), et publi?? tables pr??cises pour sa construction (1599, 1610).

Math??maticiens anglais Thomas Harriot (1560-1621) et Henry Bond (c.1600-1678) qui, ind??pendamment (c. 1600 et 1645), associ?? avec la projection de Mercator sa formule logarithmique moderne, plus tard d??duit par le calcul.

Math??matiques de la projection

Relation entre la position verticale sur le plan (horizontal sur le graphique) et latitude (vertical dans le graphique).

Les ??quations suivantes d??terminent le x et y les coordonn??es d'un point sur une carte Mercator de sa latitude et φ longitude λ (avec λ ₀ ??tant la longitude dans le centre de la carte):

Ce est l'inverse de la Fonction de Gudermann:

$\ Begin {align} x & = \ lambda - \ lambda_0 \\ & y = \ ln \ left (\ tan \ gauche (\ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ varphi} {2} \ right) \ right) = \\ & \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ frac {1 + \ sin (\ varphi)} {1 - \ sin (\ varphi)} \ right) = \\ & \ sinh ^ {- 1} \ left (\ tan (\ varphi) \ right) = \\ & \ tanh ^ {- 1} \ left (\ sin (\ varphi) \ right) = \\ & \ ln \ left ( \ tan (\ varphi) + \ s (\ varphi) \ right). \ End {align}$

Ceci est le Fonction de Gudermann:

$\ Begin {align} \ varphi = 2 & \ tan ^ {- 1} (e ^ y) - \ frac {\ pi} {2} \\ & = \ tan ^ {- 1} (\ sinh (y)) \\ \ lambda & = x + \ lambda_0. \ End {align}$

L'??chelle est proportionnelle ?? la s??cante de l'φ de latitude, se arbitrairement grand pr??s de la p??les, o?? φ = ?? 90 ??. En outre, comme le montrent les formules, y du p??le est plus ou moins l'infini.

D??rivation de la projection

La projection de Mercator est une projection cylindrique.

Supposons une Terre sph??rique. (Ce est en fait l??g??rement aplati, mais ?? petite ??chelle maps la diff??rence est n??gligeable. Pour plus de pr??cision, interposer conforme latitude .) Nous cherchons une transform??e de longitude-latitude (λ, φ) ?? cart??sien (x, y) qui est "un cylindre tangent ?? l'??quateur" (ce est ?? dire x = λ) et conforme, de telle sorte que :

$\ Frac {\ x partielle} {\ partial \ lambda} = \ cos (\ varphi) \ frac {\ y partielle} {\ partial \ varphi}$

$\ Frac {\ y partielle} {\ partial \ lambda} = - \ cos (\ varphi) \ frac {\ x partielle} {\ partial \ varphi}$

De x = λ nous obtenons

$\ Frac {\ x partielle} {\ partial \ lambda = 1}$

$\ Frac {\ x partielle} {\ partial \ varphi} = 0$

donnant

$1 = \ cos (\ varphi) \ frac {\ y partielle} {\ partial \ varphi}$

$0 = \ frac {\ y partielle} {\ partial \ lambda}$

Ainsi y est une fonction de φ seulement avec $y '= \ s \ varphi$ ?? partir de laquelle un table des int??grales donne

$y = \ ln (| \ s (\ varphi) + \ tan (\ varphi) |) + C \,$

Il est commode de la carte φ = 0 ?? y = 0, afin de prendre C = 0.

Utilisations

Indicatrice de Tissot

Le ci-dessus reprojet??es que sinuso??dale

Comme toutes les projections cartographiques qui tentent de se adapter ?? une surface courbe sur une feuille plate, la forme de la carte est une d??formation de la v??ritable mise en page de la surface de la Terre. La projection de Mercator exag??re la taille des zones loin de l' ??quateur . Par exemple:

Groenland est pr??sent?? comme ayant ?? peu pr??s autant de superficie que l'Afrique , alors qu'en fait, la zone de l'Afrique est d'environ 14 fois sup??rieure ?? celle du Groenland.
Alaska est pr??sent?? comme ayant une plus grande superficie de terres similaires ou m??me l??g??rement que le Br??sil , o?? la zone du Br??sil est en fait plus de cinq fois sup??rieure ?? celle de l'Alaska.
La Finlande est pr??sent?? comme ayant une plus grande mesure Nord-Sud comme l'Inde , lorsque cette distance est beaucoup plus grande en Inde que la Finlande.

Bien que la projection de Mercator est encore d'usage courant pour la navigation, en raison de ses propri??t??s uniques, les cartographes conviennent qu'il ne est pas adapt?? ?? repr??senter le monde entier dans des publications ou des cartes murales en raison de sa d??formation de la surface terrestre. Mercator se utilis?? l'??galit?? de zone projection sinuso??dale pour montrer domaines relatifs. A la suite de ces critiques, moderne atlas ne utilisent plus la projection de Mercator pour les cartes du monde ou pour les zones ??loign??es de l'??quateur, pr??f??rant d'autres projections cylindriques , ou formes de projection ??quivalente . La projection de Mercator est encore couramment utilis??e pour les zones pr??s de l'??quateur, cependant, o?? la distorsion est minime.

Arno Peters a suscit?? la controverse quand il a propos?? ce qui est connu sous le nom Projection de Peters , une l??g??re modification de la projection cylindrique ??quivalente Lambert-salon, comme l'alternative ?? l'Mercator. Une r??solution de 1989 par sept groupes g??ographiques Am??rique du Nord a d??nonc?? l'utilisation de toutes les cartes rectangulaires de coordonn??es monde, y compris le Mercator et Peters-Gall.

Google Maps utilise actuellement une projection Mercator pour ses images cartographiques. Malgr?? ses relatifs distorsions d'??chelle, le Mercator est bien adapt?? comme une carte du monde interactive qui peut ??tre d??plac?? et zoom?? de mani??re transparente ?? des cartes locales. (Google Satellite Maps, d'autre part, a utilis?? une projection plaque carr??e jusqu'au 2005-07-22 .)

Le Google Maps maximale φ de latitude se produit ?? ?? 85,05113 degr??s lorsque l'Mercator valeur y = π. Ou plus pr??cis??ment:

$\ Frac {1} {2} \ ln \ bigg (\ frac {1+ \ sin (\ varphi)} {1- \ sin (\ varphi)} \ bigg) = \ h \ pi \ Rightarrow \ varphi = \ h \ arcsin \ bigg (\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi -1}} {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi} 1} \ bigg)$

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