
Collecteur
?? propos de ce ??coles s??lection Wikipedia
SOS Enfants, qui se d??roule pr??s de 200 sos ??coles dans le monde en d??veloppement, a organis?? cette s??lection. Voir http://www.soschildren.org/sponsor-a-child pour conna??tre le parrainage d'enfants.


Un collecteur est un r??sum?? espace math??matique dans laquelle chaque point a une quartier qui ressemble ?? l'espace euclidien , mais dans laquelle la structure globale peut ??tre plus complexe. En discuter collecteurs, l'id??e de dimension est importante. Par exemple, les lignes sont ?? une dimension, et des plans ?? deux dimensions.
Dans un collecteur unidimensionnelle (ou un collecteur), chaque point a un voisinage qui ressemble ?? un segment d'une ligne. Des exemples de une-collecteurs comprennent une ligne, un cercle , et deux milieux distincts. Dans un deux-collecteur, chaque point a un voisinage qui ressemble ?? un disque. Des exemples comprennent un plan, la surface d'une sph??re , et la surface d'un tore .
Collecteurs sont des objets importants en math??matiques et en physique , car ils permettent des structures plus complexes pour ??tre exprim??es et comprises en termes de propri??t??s relativement bien compris de simples espaces.
Structures suppl??mentaires sont souvent d??finis sur les vari??t??s. Exemples de vari??t??s avec une structure suppl??mentaire comprennent vari??t??s diff??rentiables sur lequel on peut faire le calcul , Vari??t??s riemanniennes sur lequel distances et les angles peuvent ??tre d??finis, vari??t??s symplectiques qui servent l'espace de phase dans la m??canique classique , et les quatre dimensions collecteurs de pseudo-riemannienne qui mod??le espace-temps de la relativit?? g??n??rale .
Une d??finition math??matique pr??cise d'un collecteur est donn??e ci-dessous. Pour bien comprendre les math??matiques derri??re collecteurs, il est n??cessaire de conna??tre les concepts ??l??mentaires concernant ensembles et fonctions , et utile d'avoir une connaissance pratique de calcul et de topologie .
Exemples de motivation
Cercle


Le cercle est l'exemple le plus simple d'un collecteur topologique apr??s une ligne. Topologie ignore torsions, un petit morceau d'un cercle est exactement le m??me que un petit morceau d'une ligne. Consid??rons, par exemple, la moiti?? sup??rieure de la cercle unit??, x 2 + y 2 = 1, o?? le -Coordonner y est positif (indiqu?? par l'arc jaune sur la figure 1). Tout point de ce demi-cercle peut ??tre d??crit de fa??on unique par son x -Coordonner. Alors, projection sur la premi??re coordonn??e est une continue et inversible , cartographie du demi-cercle sup??rieur de la intervalle ouvert (-1,1):
Ces fonctions sont appel??es tableau s. De m??me, il existe des cartes pour le fond (rouge), ?? gauche (bleu) et (vert) bonnes pi??ces du cercle. Ensemble, ces parties couvrent l'ensemble du cercle et les quatre tableaux font atlas pour le cercle.
Les graphiques haut et droite se chevauchent: leur intersection se trouve dans le quartier du cercle o?? les deux x - et les -coordinates de y sont positives. Le sommet de deux cartes de χ et χ droite ?? chaque carte cette partie dans l'intervalle (0,1). Ainsi, une fonction de T (0,1) pour lui-m??me peut ??tre construite, qui utilise le premier inverse du diagramme de base pour atteindre le cercle, puis suit le tableau arri??re droit de l'intervalle. Soit a un nombre quelconque de (0,1), puis:
Une telle fonction est appel??e une carte de transition.


Le haut, bas, gauche et droite graphiques montrent que le cercle est une vari??t??, mais ils ne font pas les seules possibles atlas. Graphiques ne sont pas n??cessairement des projections g??om??triques, et le nombre de cartes est un sujet de choix. Consid??rez les cartes
et
Ici s est la pente de la ligne par le point de coordonn??es (x, y) et le point de pivot fixe (-1,0); t est l'image en miroir, avec un point de pivot (+1,0). La mise en correspondance inverse de s ?? (x, y) est donn??e par
Il peut facilement ??tre confirm?? que x 2 + y 2 = 1 pour toutes les valeurs de la pente de l'art. Ces deux tableaux fournissent une seconde atlas pour le cercle, avec
Chaque tableau omet un seul point, soit (-1,0) pour s ou (+1,0) pour t, de sorte que ni tableau seul est suffisant pour couvrir l'ensemble du cercle. Topologie peut prouver qu'il ne est pas possible de couvrir le cycle complet avec un seul tableau. Par exemple, m??me se il est possible de construire un cercle ?? partir d'un intervalle de ligne unique par le chevauchement et ??coller?? les extr??mit??s, cela ne produit pas un tableau; une partie du cercle sera associ??e ?? deux extr??mit??s ?? la fois, de perdre inversibilit??.
Autres courbes


Collecteurs ne doivent pas ??tre connect?? (all in "One Piece"); ainsi une paire de cercles distincts est ??galement un collecteur. Ils ne doivent pas ??tre ferm??e; ainsi un segment de ligne sans ses points d'extr??mit?? est un collecteur. Et ils ne doivent pas ??tre finie; ainsi un parabole est un collecteur. Rassembler ces libert??s, deux autres exemples de collecteurs sont un hyperbole (deux pi??ces, infinies ouvertes) et le lieu des points sur la courbe cubique y 2 = x 3 - x (une pi??ce de boucle ferm??e et, une pi??ce infini ouvert).
Cependant, nous excluons des exemples comme deux cercles touchantes qui partagent un point pour former une figure-huit; au point partag?? nous ne pouvons pas cr??er un graphique satisfaisant. M??me avec la flexion admis par la topologie, le voisinage du point partag?? ressemble ?? un "+", pas une ligne.
Cercle enrichi
Vu en utilisant le calcul , la fonction transition cercle T est simplement une fonction entre les intervalles ouverts, ce qui donne un sens ?? la d??claration que T est diff??rentiable . La carte de transition T, et tous les autres, sont diff??rentiables sur (0, 1); donc, avec cet atlas est un cercle vari??t?? diff??rentiable. Il est aussi lisse et analytique parce que les fonctions de transition ont ces propri??t??s ainsi.
Autres propri??t??s du cercle lui permettent de r??pondre aux exigences de types plus sp??cialis??s de collecteur. Par exemple, le cercle a une notion de distance entre deux points, la longueur d'arc entre les points; par cons??quent, ce est un Vari??t?? riemannienne.
Histoire
L'??tude des vari??t??s combine de nombreux domaines importants des math??matiques: il g??n??ralise concepts tels que courbes et surfaces ainsi que des id??es de l'alg??bre lin??aire et de topologie .
Pr??histoire
Avant le concept moderne d'un collecteur, il y avait plusieurs r??sultats importants.
La g??om??trie non-euclidienne consid??re espaces o?? Euclide l ' postulat des parall??les ??choue. Saccheri d'abord les ??tudes ?? 1733. Lobachevsky, Bolyai et Riemann entre eux ont d??velopp?? 100 ans plus tard. Leur recherche a d??couvert deux types d'espaces dont les structures g??om??triques diff??rer de celle de classique espace euclidien ; ceux-ci ont donn?? lieu ?? g??om??trie hyperbolique et g??om??trie elliptique. Dans la th??orie moderne de collecteurs, ces notions correspondent ?? Vari??t??s riemanniennes avec n??gative constante et positive courbure, respectivement.
Carl Friedrich Gauss peut avoir ??t?? le premier ?? consid??rer espaces abstraits comme des objets math??matiques dans leur propre droit. Son theorema egregium donne une m??thode de calcul de la courbure d'une surface sans tenir compte du espace ambiant dans lequel se trouve la surface. Une telle surface serait, dans la terminologie moderne, ??tre appel?? un collecteur; et en termes modernes, le th??or??me prouv?? que la courbure de la surface est une propri??t?? intrins??que. Th??orie Manifold est venu de se concentrer exclusivement sur ces propri??t??s intrins??ques (ou invariants), tout en ignorant largement les propri??t??s extrins??ques de l'espace ambiant.
Un autre, plus topologique exemple d'un intrins??que la propri??t?? d'un collecteur est sa caract??ristique d'Euler . Leonhard Euler a montr?? que pour une forme convexe polytope dans l'espace euclidien ?? trois dimensions avec des sommets (V) ou des coins, des bords E, et F faces,
- V - E + F = 2.
La m??me formule tiendra si nous projetons les sommets et les ar??tes du polytope sur une sph??re , la cr??ation d'une ??carte?? avec des sommets de V, bords de E, et F visages, et en fait, restera vrai pour ne importe quelle carte sph??rique, m??me si elle ne se pose pas de tout polytope convexe. Ainsi, la figure 2 est un invariant topologique de la sph??re, appel??e sa caract??ristique d'Euler. D'autre part, un tore peut ??tre tranch?? ouverte par sa cercles 'Meridian' ??parall??le?? et la cr??ation d'une carte avec V = 1 vertex, E = deux bords, et F = 1 visage. Ainsi, la caract??ristique d'Euler du tore est de 1 ?? 2 + 1 = 0. La caract??ristique d'Euler d'autres surfaces est utile invariant topologique, qui peut ??tre ??tendue ?? des dimensions sup??rieures ?? l'aide Nombres de Betti. Dans le milieu du XIXe si??cle, le Th??or??me de Gauss-Bonnet li??e la caract??ristique d'Euler ?? la courbure gaussienne.
Synth??se
Enqu??tes de Niels Henrik Abel et Carl Gustav Jacobi sur inversion de int??grales elliptiques dans la premi??re moiti?? du 19e si??cle les ont amen??s ?? envisager des types particuliers de vari??t??s complexes, maintenant connu comme Jacobiens. Bernhard Riemann a ??galement contribu?? ?? leur th??orie, la clarification du sens g??om??trique du processus de prolongement analytique de fonctions de variables complexes, bien que ces id??es ??taient en avance sur leur temps.
Une autre source importante de collecteurs dans le 19??me si??cle ??tait les math??matiques m??canique analytique, tel que d??velopp?? par Sim??on Poisson, Jacobi, et William Rowan Hamilton. Les ??tats possibles d'un syst??me m??canique sont consid??r??s comme des points d'un espace abstrait, espace de phase Lagrange et Formalismes hamiltonien de la m??canique classique. Cet espace est, en fait, une grande dimension-collecteur, dont la dimension correspond aux degr??s de libert?? du syst??me et o?? les points sont sp??cifi??s par leur coordonn??es g??n??ralis??es. Pour un mouvement sans contrainte de particules libres le collecteur est ??quivalent ?? l'espace euclidien, mais diverses lois de conservation limitent ?? des formations plus complexes, par exemple Liouville tori. La th??orie d'un corps solide en rotation, d??velopp?? dans le 18??me si??cle par Leonhard Euler et Joseph Lagrange , donne un autre exemple o?? le collecteur ne est pas triviale. Aspects g??om??triques et topologiques de la m??canique classique ont ??t?? soulign??s par Henri Poincar??, l'un des fondateurs de la topologie .
Riemann a ??t?? le premier ?? faire un travail consid??rable de g??n??raliser l'id??e d'une surface aux dimensions sup??rieures. Le nom vient du collecteur d'origine de Riemann allemande terme, Mannigfaltigkeit, qui William Kingdon Clifford traduit comme "multiplicit??". Dans sa le??on inaugurale G??ttingen, Riemann d??crit l'ensemble de toutes les valeurs possibles d'une variable ?? certaines contraintes comme Mannigfaltigkeit, car la variable peut avoir de nombreuses valeurs. Il distingue stetige Mannigfaltigkeit et Diskrete Mannigfaltigkeit (de multiplicit?? et multiplicit?? continue discontinue), selon que les changements de valeur continue ou non. Comme exemples continues, Riemann se r??f??re ?? non seulement les couleurs et les emplacements des objets dans l'espace, mais aussi les formes possibles d'une figure spatiale. Utilisation induction, Riemann construit un n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n fois multiplicit?? prolong?? ou multiplicit?? de dimension n) en tant que pile continue de (n-1) manifoldnesses dimensions. Notion intuitive de Riemann d'un Mannigfaltigkeit ??volu?? dans ce qui est aujourd'hui formalis??e comme un collecteur. Vari??t??s riemanniennes et surfaces de Riemann sont nomm??s d'apr??s Bernhard Riemann.
Hermann Weyl a donn?? une d??finition intrins??que vari??t??s diff??rentiables dans son cours magistral sur les surfaces de Riemann en 1911-1912, ouvrant la voie ?? la notion g??n??rale d'un espace topologique qui a suivi peu de temps. Durant les ann??es 1930 Hassler Whitney et d'autres clarifi?? la aspects fondamentaux de la personne, et donc intuitions datant de la seconde moiti?? du 19??me si??cle sont devenus pr??cise, et d??velopp??es ?? travers la g??om??trie diff??rentielle et la th??orie des groupes de Lie.
Topologie des vari??t??s: faits saillants
Collecteurs en deux dimensions, aussi connu comme surfaces, ont ??t?? examin??es par Riemann sous le couvert de surfaces de Riemann , et rigoureusement class??s dans le d??but du 20e si??cle par Poul Heegaard et Max Dehn. Henri Poincar?? pionnier de l'??tude des vari??t??s en trois dimensions et a soulev?? une question fondamentale ?? leur sujet, aujourd'hui connu sous le nom Conjecture de Poincar??. Apr??s pr??s d'un si??cle d'efforts par de nombreux math??maticiens, en commen??ant par Poincar?? lui-m??me, un consensus parmi les experts (en 2006), ce est que Grigori Perelman a prouv?? la conjecture de Poincar?? (voir le Solution de la conjecture de Poincar?? Hamilton-Perelman). Bill Thurston programme de g??om??trisation, formul??e dans les ann??es 1970, ?? condition d'une extension en profondeur de la conjecture de Poincar?? aux collecteurs tridimensionnels g??n??rales. Quatre dimensions collecteurs ont ??t?? port??s ?? l'avant-garde de la recherche math??matique dans les ann??es 1980 par Michael Freedman et dans un contexte diff??rent, par Simon Donaldson, qui a ??t?? motiv?? par les progr??s alors r??cente en physique th??orique ( Th??orie de Yang-Mills), o?? ils servent comme un substitut pour ordinaire 'plat' l'espace-temps. Un important travail sur les vari??t??s de dimension sup??rieure, y compris des analogues de la conjecture de Poincar??, avait ??t?? fait plus t??t par Ren?? Thom, John Milnor, Stephen Smale et Sergei Novikov. Une des techniques les plus r??pandues et flexibles sous-jacents beaucoup de travail sur la topologie des vari??t??s est La th??orie de Morse.
D??finition math??matique
Officieusement, un collecteur est un espace qui est "calqu?? sur" l'espace euclidien .
Il existe de nombreux types de vari??t??s et des g??n??ralisations. En la g??om??trie et la topologie, tous les collecteurs sont vari??t??s topologiques, ??ventuellement avec une structure suppl??mentaire, le plus souvent un la structure diff??rentiable. En termes de construction de collecteurs via patch, un collecteur a une structure suppl??mentaire si les cartes de transition entre les diff??rents patchs satisfont axiomes au-del?? de la continuit??. Par exemple, vari??t??s diff??rentiables ont hom??omorphismes sur les quartiers se chevauchent diff??omorphes uns avec les autres, de sorte que le collecteur a un ensemble bien d??fini de fonctions qui sont diff??rentiables dans chaque quartier, etc. d??rivable sur le collecteur dans son ensemble.
Formellement, un collecteur topologique est un seconde d??nombrable Hausdorff espace qui est localement hom??omorphe ?? l'espace euclidien.
Deuxi??me comptable et sont s??par?? point set conditions; seconde exclut d??nombrables espaces de cardinal sup??rieur comme le longue lign??e, tout s??par?? exclut espaces tels que "la ligne avec deux origines" (ces collecteurs g??n??ralis??es sont discut??s dans non s??par?? collecteurs).
Localement hom??omorphe ?? l'espace euclidien signifie que chaque point a un voisinage hom??omorphe ?? un euclidienne ouverte n -boule,
G??n??ralement collecteurs sont prises pour avoir une dimension fixe (l'espace doit ??tre localement hom??omorphe ?? un fixe n -Ball), et un tel espace est appel?? un n -manifold; Cependant, certains auteurs admettre collecteurs o?? diff??rents points peuvent avoir diff??rents dimensions. Depuis dimension est un invariant local, chaque composant connect?? a une dimension fixe.
Sch??ma-th??oriquement, un collecteur est un annel?? espace localement, dont la structure faisceau est localement isomorphe ?? la gerbe de continu (ou diff??rentiables, ou analytique complexe, etc.) fonctions sur l'espace euclidien. Cette d??finition est principalement utilis?? lors de la discussion collecteurs analytiques dans g??om??trie alg??brique.
D??finition large
La large d??finition commune de collecteur est un espace topologique localement hom??omorphe ?? un espace vectoriel topologique sur les r??els. Ce omet les axiomes de point-set (permettant cardinalit??s plus ??lev??s et non-Hausdorff collecteurs) et la dimension finie (ce qui permet de divers collecteurs analyse fonctionnelle). Habituellement on se d??tend un ou l'autre condition: collecteurs sans les axiomes de point-set sont ??tudi??s dans topologie g??n??rale, tandis que les vari??t??s de dimension infinie sont ??tudi??s dans analyse fonctionnelle.
Graphiques, atlas et cartes de transition
La Terre sph??rique est navigu?? en utilisant des cartes ou des tableaux plats, recueillies dans un atlas. De m??me, une vari??t?? diff??rentiable peut ??tre d??crite ?? l'aide cartes math??matiques, appel??es coordonner les arbres, recueillies dans un atlas math??matiques. Il ne est g??n??ralement pas possible de d??crire un collecteur avec un seul tableau, parce que la structure globale du collecteur est diff??rente de la structure simple des charts. Par exemple, aucune carte forfaitaire unique peut bien repr??senter la Terre enti??re. Quand un collecteur est construit ?? partir de plusieurs graphiques qui se chevauchent, les r??gions o?? ils se chevauchent pr??sentent les informations essentielles ?? la compr??hension de la structure globale.
Hit-parade
Une carte de coordonner, un tableau de coordonn??es, ou tout simplement un tableau, d'un collecteur est un inversible la carte entre un sous-ensemble de l'espace collecteur et un simple tel que ?? la fois la carte et son inverse pr??servent la structure d??sir??e. Pour un collecteur topologique, l'espace est simple: un certain espace euclidien R n et l'int??r??t se concentre sur la structure topologique. Cette structure est pr??serv??e par hom??omorphismes , cartes inversibles qui sont continues dans les deux directions.
Dans le cas d'un vari??t?? diff??rentiable, un ensemble de graphiques appel?? un atlas nous permet de faire le calcul sur les vari??t??s. Les coordonn??es polaires , par exemple, forment un tableau pour le plan R 2 moins le axe x positif et l'origine. Un autre exemple d'un tableau est le haut de la carte χ mentionn?? dans la section ci-dessus, un tableau pour le cercle.
Atlas
La description de la plupart des collecteurs n??cessite plus d'un tableau (un seul graphique est suffisante pour que les collecteurs les plus simples). Une collection sp??cifique de graphiques qui couvre un collecteur est appel?? un atlas. Un atlas ne est pas unique que tous les collecteurs peuvent ??tre couverts de multiples fa??ons en utilisant diff??rentes combinaisons de cartes.
L'atlas contenant toutes les cartes possibles compatibles avec un atlas donn?? se appelle l'atlas maximales. Contrairement ?? un atlas ordinaires, l'atlas maximales d'une vari??t?? donn??e est unique. Bien qu'il est utile pour les d??finitions, ce est un objet tr??s abstrait et non utilis?? directement (par exemple, dans les calculs).
cartes de transition
Graphiques dans un atlas peuvent se chevaucher et un point d'une vari??t?? unique peuvent ??tre repr??sent?? dans plusieurs tableaux. Si deux cartes se chevauchent, des parties de les repr??senter de la m??me r??gion du collecteur, comme une carte de l'Europe et une carte de l'Asie peut contenir ?? la fois Moscou. Compte tenu de deux graphiques qui se chevauchent, une fonction de transition peuvent ??tre d??finis qui va de une boule ouverte dans R n pour le collecteur, puis de nouveau ?? un autre (ou peut-??tre le m??me) boule ouverte dans R n. La carte r??sultante, comme la carte T dans l'exemple de cercle au-dessus, est appel?? un changement de coordonn??es, une transformation de coordonn??es, une fonction de transition, ou une carte de transition.
Structure suppl??mentaires
Un atlas peut ??galement ??tre utilis?? pour d??finir la structure suppl??mentaire sur le collecteur. La structure est d'abord d??fini sur chaque carte s??par??ment. Si toutes les cartes de transition sont compatibles avec cette structure, la structure de transferts vers le collecteur.
Ce est le moyen standard vari??t??s diff??rentiables sont d??finis. Si les fonctions de transition d'un atlas pour une vari??t?? topologique pr??servent la structure diff??rentielle naturel de R n (autrement dit, si elles sont diff??omorphismes), la structure diff??rentielle transferts vers le collecteur et le transforme en une vari??t?? diff??rentiable. Vari??t??s complexes sont introduits d'une mani??re analogue en exigeant que les fonctions de transition d'un atlas sont fonctions holomorphes. Pour vari??t??s symplectiques, les fonctions de transition doivent ??tre symplectomorphismes.
La structure du collecteur d??pend de l'atlas, mais parfois diff??rentes atlas peut dire de donner lieu ?? la m??me structure. Ces atlas sont appel??s compatible.
Ces notions sont faits pr??cis, en g??n??ral par l'utilisation de pseudogroups.
Construction
Un seul collecteur peut ??tre construit de diff??rentes mani??res, en soulignant chacun un aspect diff??rent de la tubulure, ce qui conduit ?? un point de vue l??g??rement diff??rent.
Hit-parade


Peut-??tre le moyen le plus simple pour construire un collecteur est celui utilis?? dans l'exemple ci-dessus du cercle. Tout d'abord, un sous-ensemble de R 2 est identifi??, puis un atlas couvrant ce sous-ensemble est construit. Le concept de collecteur a grandi historiquement de constructions de ce genre. Voici un autre exemple, l'application de cette m??thode pour la construction d'une sph??re:
Sph??re avec des graphiques
Une sph??re peut ??tre trait??e pratiquement de la m??me mani??re que le cercle. En math??matiques une sph??re ne est que la surface (et non le solide int??rieur), qui peut ??tre d??finie comme un sous-ensemble de R 3:
La sph??re est en deux dimensions, de sorte que chaque tableau permettra de cartographier partie de la sph??re ?? un sous-ensemble ouvert de R 2. Envisager l'h??misph??re nord, qui est la partie avec z positif coordonn??es (couleur rouge sur la photo ?? droite). La fonction d??finie par χ
cartes de l'h??misph??re nord ?? l'air libre unit?? de disque en la projetant sur le plan (x, y). Un tableau similaire existe pour l'h??misph??re sud. Avec deux arbres en saillie sur le plan (x, z) et les deux arbres en saillie sur le plan (y, z), un atlas des six arbres est obtenu qui couvre l'ensemble du domaine.
Ceci peut ??tre facilement g??n??ralis??e aux sph??res de dimensions sup??rieures.
Patchwork
Un collecteur peut ??tre construit en collant ensemble des morceaux d'une mani??re coh??rente, en faire des tableaux qui se chevauchent. Cette construction est possible pour tout collecteur et par cons??quent, il est souvent utilis?? comme une caract??risation, en particulier pour les vari??t??s diff??rentiables et Riemann. Il se concentre sur un atlas, comme les patchs offrent naturellement graphiques, et puisqu'il n'y a pas d'espace ext??rieur impliqu??s elle conduit ?? une vue intrins??que de la conduite.
Le collecteur est constitu?? par la sp??cification d'un atlas, qui est lui-m??me d??fini par des plans de transition. Un point du collecteur est donc un classe d'??quivalence de points qui sont mis en correspondance les uns aux autres par des plans de transition. Graphiques carte classes d'??quivalence ?? des points d'un seul patch. Il ya habituellement une forte demande sur la coh??rence des cartes de transition. Pour vari??t??s topologiques ils sont tenus d'??tre hom??omorphismes ; se ils sont ??galement diff??omorphismes, le collecteur en r??sulte est une vari??t?? diff??rentiable.
Ceci peut ??tre illustr?? par la carte transition t = 1 / s ?? partir de la seconde moiti?? de l'exemple de cercle. Commencez avec deux copies de la ligne. Utilisez le S de coordonn??es pour la premi??re copie et t pour la deuxi??me copie. Maintenant, collez les deux copies ensemble par identifiant le point t sur le deuxi??me exemplaire avec le point 1 / s sur la premi??re copie (le point t = 0 ne est pas identifi?? avec ne importe quel point de la premi??re copie). Cela donne un cercle.
Vue intrins??que et extrins??que
La premi??re construction et cette construction sont tr??s semblables, mais ils repr??sentent plut??t diff??rents points de vue. Dans la premi??re construction, le collecteur est consid??r??e comme int??gr?? dans un espace euclidien. Ce est la vue extrins??que. Quand un collecteur est consid??r?? de cette fa??on, il est facile ?? utiliser l'intuition d'espaces euclidiens de d??finir une structure suppl??mentaire. Par exemple, dans un espace euclidien il est toujours clair si un vecteur ?? un moment donn?? est tangentielle ou normale dans une certaine surface par ce point.
La construction de patchwork ne utilise aucun enrobage, mais consid??re tout simplement le collecteur comme un espace topologique par lui-m??me. Ce point de vue abstrait est appel??e la vue intrins??que. Il peut rendre plus difficile ?? imaginer ce qu'est un vecteur tangent peut ??tre.
n -Sphere comme un patchwork
Le n -sphere S n est une g??n??ralisation de l'id??e d'un cercle (une sph??re) et la sph??re (2-sph??re) ?? des dimensions sup??rieures. Un -sphere n S n peut ??tre construit en collant ensemble deux copies de R n. La carte de transition entre eux est d??fini comme
Cette fonction est sa propre inverse et peut donc ??tre utilis?? dans les deux sens. Comme le plan de transition est un fonction lisse, cet atlas d??finit un collecteur lisse. Dans le cas n = 1, simplifie l'exemple ?? l'exemple donn?? plus haut de cercle.
Identifier les points d'une vari??t??
Il est possible de d??finir diff??rents points d'un m??me collecteur d'??tre. Ceci peut ??tre visualis?? comme ces points de collage en un seul stade, la formation d'une espace quotient. Il est, cependant, pas de raison de se attendre ?? de tels espaces quotients soient collecteurs. Parmi les espaces possibles de quotient qui ne sont pas n??cessairement collecteurs, orbifolds et CW complexes sont consid??r??s comme ??tant relativement bien comport??s.
Un proc??d?? pour identifier des points (les coller ensemble) se fait par une droite (ou gauche) action d'un groupe , qui agit sur le collecteur. Deux points sont identifi??s si l'on est d??plac?? sur l'autre par un ??l??ment du groupe. Si M est le collecteur et G est le groupe, l'espace quotient r??sultant est d??sign?? par M / G (ou G \ M).
Collecteurs qui peuvent ??tre construits en identifiant des points comprennent tori et espaces projectifs r??els (?? partir avec un plan et une sph??re, respectivement).
Produits cart??siens
Le Produit cart??sien des collecteurs est ??galement un collecteur. Non chaque collecteur peut ??tre ??crit comme un produit d'autres collecteurs.
La dimension de la tubulure de produit est la somme des dimensions de ses facteurs. Sa topologie est la topologie produit, et un produit cart??sien de graphiques est un organigramme pour le collecteur de produit. Ainsi, un atlas pour le collecteur de produit peut ??tre construit en utilisant des atlas pour ses facteurs. Si ces atlas d??finissent une structure diff??rentielle sur les facteurs, les atlas correspondant d??finit une structure diff??rentielle sur le collecteur de produit. Le m??me est vrai pour toute autre structure d??finie sur les ??l??ments. Si l'un des facteurs a une limite, le collecteur de produit a ??galement une limite. Produits cart??siens peuvent ??tre utilis??s pour construire tori et finie des cylindres, par exemple, en tant que S 1 x S 1 et S 1 ?? [0, 1], respectivement.


Vari??t?? ?? bord
Une vari??t?? ?? bord est un collecteur avec un bord. Par exemple, une feuille de papier avec des coins arrondis est un 2-vari??t?? avec une limite de dimension 1. Le bord d'une -manifold n est un (n-1) -manifold. Un disque (cercle, plus int??rieur) est une 2-vari??t?? ?? bord. Sa limite est un cercle, un une-collecteur . Un bille (sph??re, plus int??rieur) est une 3-vari??t?? ?? bord. Sa limite est une sph??re, une 2-vari??t??. (Voir aussi Boundary (topologie)).
En langage technique, une vari??t?? ?? bord est un espace contenant les deux points int??rieurs et points limites. Chaque point int??rieur a un voisinage hom??omorphe au n -boule ouverte {(x 1, x 2, ..., x n) | Σ x i 2 <1}. Chaque point limite a un voisinage hom??omorphe ?? la "moiti??" n -boule {(x 1, x 2, ..., x n) | Σ x i 2 <1 et 1 x ≥ 0}. Le hom??omorphisme doit envoyer le point limite jusqu'?? un point avec x 1 = 0.
Collage le long des fronti??res
Deux collecteurs avec des limites peuvent ??tre coll??s ensemble le long d'une fronti??re. Si cela est fait de la bonne fa??on, le r??sultat est ??galement un collecteur. De m??me, deux limites d'un seul collecteur peuvent ??tre coll??es ensemble.
Formellement, le collage est d??fini par une bijection entre les deux limites. Deux points sont identifi??s quand ils sont mis en correspondance sur l'autre. Pour une vari??t?? topologique bijection ce doit ??tre un hom??omorphisme, sinon, le r??sultat ne sera pas un collecteur topologique. De m??me, pour une vari??t?? diff??rentiable il doit ??tre un diff??omorphisme. Pour les autres collecteurs autres structures devraient ??tre pr??serv??s.
Un cylindre fini peut ??tre r??alis?? sous forme de collecteur en partant d'une bande [0, 1] x [0, 1] et collage d'une paire de bords oppos??s sur la limite par un diff??omorphisme appropri??. Un plan projectif peut ??tre obtenu par collage d'une sph??re avec un trou ?? un M??bius bande le long de leurs fronti??res respectives circulaires.
Classes de collecteurs
Vari??t??s topologiques
Le type le plus simple de vari??t?? ?? d??finir est le collecteur topologique, qui ressemble localement comme un "ordinaire" espace euclidien R n. Formellement, un collecteur topologique est un espace topologique localement hom??omorphe ?? un espace euclidien. Cela signifie que chaque point a un voisinage pour lesquels il existe un hom??omorphisme (un bijective fonction continue dont l'inverse est ??galement continu) la cartographie de ce quartier ?? R n. Ces hom??omorphismes sont les graphiques du collecteur.
Il est ?? noter que un collecteur topologique ressemble localement comme un espace euclidien d'une mani??re plut??t faible: alors que pour chaque tableau individuel, il est possible de distinguer les fonctions diff??rentiables ou mesurer des distances et des angles, du seul fait d'??tre un collecteur topologique un espace fait pas un choix particulier et coh??rente de ces concepts. Afin de discuter de ces propri??t??s pour un distributeur, il faut pr??ciser davantage la structure et envisager vari??t??s diff??rentiables et vari??t??s riemanniennes ci-dessous. En particulier, un m??me collecteur topologique sous-jacent peut avoir plusieurs classes mutuellement incompatibles de fonctions diff??rentiables et un nombre infini de fa??ons de sp??cifier les distances et les angles.
Habituellement hypoth??ses techniques suppl??mentaires sur l'espace topologique sont faites pour exclure les cas pathologiques. Il est de coutume d'exiger que l'espace soit S??par?? et seconde d??nombrable.
La dimension de la vari??t?? ?? un certain point est la dimension de l'espace euclidien que les cartes ?? ce point carte pour (nombre n dans la d??finition). Tous les points dans un vari??t?? connexe ont la m??me dimension. Certains auteurs exigent que toutes les cartes d'une carte de collecteur topologique euclidienne des espaces de m??me dimension. Dans ce cas, toute vari??t?? topologique a un invariant topologique, sa dimension. D'autres auteurs permettent syndicats disjoints de vari??t??s topologiques avec diff??rentes dimensions d'??tre appel??s collecteurs.
Vari??t??s diff??rentiables
Pour la plupart des applications, une aimables sp??cial de vari??t?? topologique, une vari??t?? diff??rentiable, est utilis??. Si les cartes locales sur un collecteur sont compatibles dans un certain sens, on peut d??finir les directions, espaces tangents, et fonctions diff??rentiables sur ce collecteur. En particulier, il est possible d'utiliser le calcul sur une vari??t?? diff??rentiable. Chaque point d'une vari??t?? diff??rentiable de dimension n a une espace tangente. Ce est un espace euclidien de dimension n constitu?? de la vecteurs tangents des courbes passant par le point.
Deux classes importantes de vari??t??s diff??rentiables sont des vari??t??s lisses et analytiques. Pour les vari??t??s lisses cartes de transition sont lisse, ce est infiniment diff??rentiable. Collecteurs analytiques sont des vari??t??s lisses avec la condition suppl??mentaire que les cartes de transition sont analytique (ils peuvent ??tre exprim??s sous forme de s??ries de puissance, qui sont essentiellement des polyn??mes de degr?? infini). La sph??re peut ??tre donn??e la structure analytique, tout comme les courbes et les surfaces les plus familiers.
Un ensemble rectifiable g??n??ralise l'id??e d'un morceaux lisse ou courbe rectifiable ?? des dimensions sup??rieures; Toutefois, ensembles rectifiables ne sont pas en collecteurs g??n??raux.
Vari??t??s riemanniennes
Pour mesurer les distances et les angles sur les vari??t??s, le collecteur doit ??tre de Riemann. Une vari??t?? riemannienne est une vari??t?? diff??rentiable dans lequel chaque espace tangent est ??quip?? d'un produit scalaire <⋅, ⋅> d'une mani??re qui varie en douceur de point ?? point. ??tant donn?? deux vecteurs tangents U et V, le produit scalaire <u, v> donne un nombre r??el. Le dot (ou scalaire) produit est un exemple typique d'un produit interne. Cela permet de d??finir diverses notions telles que longueur, les angles , les zones (ou volumes ), courbure, gradients de fonctions et de divergence champs de vecteurs.
Toutes les vari??t??s diff??rentiables (de dimension constante) peuvent ??tre donn??s la structure d'une vari??t?? riemannienne. L'espace euclidien lui-m??me une structure naturelle de vari??t?? riemannienne (les espaces tangents sont naturellement identifi??s avec l'espace euclidien lui-m??me et portent le produit scalaire niveau de l'espace).Beaucoup de courbes et de surfaces familiers, y compris par exemple lesn-Sphères, sont spécifiés comme des sous-espaces d'un espace euclidien et héritent d'une métrique de leur incorporation en elle.
Collecteurs Finsler
Un collecteur Finsler permet la définition de la distance, mais pas de l'angle; il est un collecteur d'analyse dans lequel chaque espace tangent est équipé d'une norme, || || ·, d'une manière qui varie en douceur de point à point. Cette norme peut être étendue à une métrique définissant la longueur d'une courbe; mais il ne peut pas en général être utilisé pour définir un produit scalaire.
Toute variété riemannienne est un collecteur Finsler.
groupes de Lie
groupes de Lie, nommé d'aprèsSophus Lie, sont des variétés différentiables qui portent également la structure d'ungroupequi est telle que les opérations de groupe sont définis par les cartes lisses.
Un espace vectoriel euclidien avec l'opération de groupe de plus de vecteur est un exemple d'un groupe de Lie non-compact. Un exemple simple d'un compact groupe de Lie est le cercle: l'opération de groupe est tout simplement la rotation. Ce groupe, connu sous le nom U (1), peut également être caractérisé en tant que groupe de nombres complexes de module avec une multiplication en tant que l'opération de groupe. D'autres exemples de groupes de Lie comprennent des groupes spéciaux de matrices , qui sont tous les sous-groupes du groupe linéaire général, le groupe de n par n matrices non nulle déterminant. Si les entrées de la matrice sont des nombres réels , ce sera un n 2 -dimensionnelle collecteur déconnecté. Le groupes orthogonaux, les groupes de symétrie de la sphère et hypersphères, sont n ( n -1) / 2, où les variétés de dimension n -1 est la dimension de la sphère. D'autres exemples peuvent être trouvés dans la table des groupes de Lie.
D'autres types de collecteurs
- Un variété complexe est un collecteur sur le modèle C n avec fonctions de transition holomorphes sur tableau chevauchements. Ces collecteurs sont les objets de base de l'étude de la géométrie complexe. Un collecteur d'un complexe de dimension est appelée une surface de Riemann . Notez qu'un n variété complexe de dimension 2 est de dimension n comme une véritable variété différentiable.
- Un CR collecteurest un collecteur calqué sur les frontières de domaines dansC n.
- Collecteurs de dimension infinie: pour permettre dimensions infinies, on peut considérercollecteurs de Banach qui sont localement homéomorphe à Espaces de Banach.même, collecteurs Fréchet sont localement homéomorphe à Espaces de Fr??chet.
- Un variété symplectique est une sorte de collecteur qui est utilisé pour représenter les espaces de phase dans la mécanique classique . Ils sont doués d'une 2-forme qui définit le crochet de Poisson. Un type étroitement lié de collecteur est un collecteur de contact.
Classification et invariants
Différentes notions de collecteurs ont différentes notions de classification et invariant; dans cette section, nous nous concentrons sur les variétés lisses fermées.
La classification des variétés fermées lisses est bien compris , en principe , sauf en dimension 4: dans les dimensions faibles (2 et 3), il est géométrique, via le théorème de l'uniformisation et de la solution de Hamilton-Perelman de la conjecture de Poincaré, et en haute dimension ( et 5 ci-dessus), il est algébrique, via la théorie de la chirurgie. Ceci est une classification en principe: la question générale de savoir si deux variétés lisses sont difféomorphes est pas calculable en général. En outre, les calculs spécifiques restent difficiles, et il ya de nombreuses questions ouvertes.
Surfaces orientables peuvent être visualisés, et leurs classes de difféomorphisme énumérés, par genre. Compte tenu de deux surfaces orientables, on peut déterminer si elles sont difféomorphes en calculant leurs genres respectifs et en comparant: ils sont difféomorphes si et seulement si les genres sont égaux, de sorte que le genre constitue un ensemble complet d'invariants.
Cela est beaucoup plus difficile dans les dimensions plus élevées: les variétés de dimension plus élevés ne peuvent être directement visualisés (bien que l'intuition visuelle est utile dans les comprendre), ni leurs classes de difféomorphisme peut être énuméré, ni peut-on en général de déterminer si deux descriptions différentes d'une variété de dimensions supérieures reportez-vous au même objet.
Toutefois, on peut déterminer si deux collecteurs sont différents si il ya une caractéristique intrinsèque qui les différencie. Ces critères sont communément appelées invariants , parce que, même si elles peuvent être définies en termes d'une certaine présentation (tels que le genre en termes de triangulation), ce sont les mêmes par rapport à toutes les descriptions possibles d'un collecteur particulier: ils sont invariant sous différentes descriptions.
Naïvement, on pourrait espérer développer un arsenal de critères invariants qui définitivement classer tous les collecteurs à isomorphisme. Malheureusement, il est connu que pour les variétés de dimension 4 et plus, aucun programme existe qui peut décider si deux collecteurs sont difféomorphes.
Variétés lisses ontun riche ensemble d'invariants, venant detopologie point-set, classique topologie alg??brique, et topologie g??om??trique.Les invariants les plus familiers, qui sont visibles pour les surfaces, sontorientability (un invariant normal, aussi détecté parhomologie) etgenre (un invariant homologique).
Lisse collecteurs fermés n'a pas invariants locaux (dimension) autres que, bien que les collecteurs ont invariants géométriques locales, notamment la courbure d'une variété de Riemann et la torsion d'un collecteur équipé d'une connexion affine. Cette distinction entre aucun invariants locales et les invariants locaux est une façon courante de faire la distinction entre la géométrie et la topologie. Tous les invariants d'une variété fermée lisse sont donc mondiale.
Topologie algébrique est une source d'un certain nombre de propriétés invariantes mondiaux importants. Certains critères clés comprennent le simplement connexe propriété et orientability (voir ci-dessous). En effet, plusieurs branches des mathématiques, comme homologie et homotopie théorie et la théorie des classes caractéristiques ont été fondées afin d'étudier les propriétés invariantes des collecteurs.
Des exemples de surfaces
Orientability
En deux dimensions et supérieur, un critère invariant simple mais importante est la question de savoir si un collecteur admet une orientation significative. Considérons une variété topologique avec des graphiques à la cartographie R n . Compte tenu d'une base commandé pour R n , un tableau fait sa part du collecteur de se acquérir un sens de l'ordre, qui en 3 dimensions peut être considérée soit comme droitier ou gaucher. Graphiques se chevauchent ne sont pas tenus d'accepter dans leur sens de la commande, ce qui donne une liberté importante collecteurs. Pour certaines variétés, comme la sphère, diagrammes peuvent être choisis de sorte que les régions se chevauchent d'accord sur leur "impartialité"; ceux-ci sont orientables collecteurs. Pour d'autres, cela est impossible. Cette dernière possibilité est facile d'oublier, parce que toute surface fermée intégré (sans auto-intersection) dans l'espace en trois dimensions est orientable.
Quelques exemples de collecteurs non orientables comprennent: (1) leruban de Möbius, qui est une variété à bord, (2) labouteille de Klein, qui doit se coupent en 3-espace, et (3) leplan projectif réel, qui se pose naturellement dansla géométrie.
Ruban de Möbius
Commencez avec un cylindre circulaire infinie debout verticalement, un collecteur sans limite. Slice travers elle haut et bas pour produire deux limites circulaires, et la bande cylindrique entre eux. Ceci est une variété orientable avec limite, sur laquelle "chirurgie" sera exécutée. Couper la bande ouverte, afin qu'il puisse se dérouler à devenir un rectangle, mais garder une emprise sur les extrémités coupées. Twist un bout à 180 °, ce qui rend le visage de surface intérieure sur, et coller les extrémités de retour ensemble de façon transparente. Il en résulte une bande avec une demi-torsion permanente: l' Ruban de M??bius. Sa limite est plus une paire de cercles, mais (topologiquement) un seul cercle; et ce qui était autrefois son "à l'intérieur" a fusionné avec son «dehors», de sorte qu'il a maintenant qu'un seul côté.
La bouteille de Klein
Prenez deux bandes de Möbius; chacun a une seule boucle comme une frontière. Redresser les boucles dans les cercles, et de laisser les bandes faussent en cross-caps. Le collage des cercles ensemble va produire une nouvelle variété fermée sans limite, la bouteille de Klein . Fermeture de la surface ne fait rien pour améliorer le manque de orientability, il supprime simplement la frontière. Ainsi, la bouteille de Klein est une surface fermée sans distinction entre intérieur et extérieur. Notez que dans l'espace en trois dimensions, la surface d'une bouteille de Klein doit passer par lui-même. Construire une bouteille de Klein, qui ne sont pas auto-intersection nécessite quatre ou plusieurs dimensions de l'espace.
Plan projectif réel
Commencez par une sphère centrée sur l'origine. Chaque ligne par l'origine perce la sphère en deux points opposés appelés antipodes . Bien qu'il n'y ait aucun moyen de le faire physiquement, il est possible de fusionner mathématiquement chaque paire de antipode en un seul point. La surface fermée ainsi produit est le plan projectif réel, encore une autre surface non-orientable. Il a un certain nombre de descriptions et constructions équivalentes, mais cette route explique son nom: tous les points sur une ligne donnée par le projet de l'origine à la même "point" sur ce "plan".
Genre et la caractéristique d'Euler
Pour deux variétés de dimension une propriété invariante clé est le genre, ou le «nombre de poignées» présents dans une surface. Un tore est une sphère avec une poignée, un double tore est une sphère avec deux poignées, et ainsi de suite. En effet, il est possible de caractériser complètement les variétés compactes, en deux dimensions sur la base du genre et de orientability. Dans collecteurs de dimensions supérieures genre est remplacé par la notion de caractéristique d'Euler .
Généralisations de collecteurs
- Orbifolds : Un orbifold est une généralisation du collecteur permettant pour certains types de « singularités »dans la topologie. Grosso modo, il est un espace qui ressemble localement comme les quotients de certains simple espace ( par exemple de l'espace euclidien ) par les actions de divers groupes finis. Les singularités correspondent à des points fixes des actions de groupe, et les actions doivent être compatibles dans un certain sens.
- Variétés et des systèmes algébriques : variétés algébriques non-singuliers sur les nombres réels ou complexes sont des variétés. On généralise cette première en permettant singularités, d'autre part en permettant aux différents domaines, et, troisièmement, en émulant la construction de correction de variétés: tout comme un collecteur est collé ensemble à partir de sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien, une variété algébrique est collée à partir de variétés algébriques affines, qui ya zéro ensembles de polynômes sur des corps algébriquement clos. schémas sont également collées ensemble des régimes affines, qui sont une généralisation des variétés algébriques. Les deux sont liées à des collecteurs, mais sont construits algébrique utilisant gerbes à la place de atlas.
- ?? cause de points singuliers, une variété est en général pas un collecteur, bien que linguistiquement les FrançaisVariété, allemandMannigfaltigkeitet en anglaiscollecteursont en grande partie synonymes.en français une variété algébrique est appeléjuin Variété algébrique(unevariété algébrique), tandis qu'une variété lisse est appeléejuin Variété différentielle(unevariété différentielle).
- CW-complexes : Un complexe CW est un espace topologique formé par collage des disques de dimension différente ensemble. En général, l'espace qui en résulte est singulier, et par conséquent pas un collecteur. Cependant, ils sont d'un intérêt central dans la topologie algébrique, en particulier dans théorie de l'homotopie , car ils sont faciles à calculer avec singularités et ne sont pas une préoccupation.