Limite (math??matiques)

Saviez-vous ...

Arrangeant une s??lection Wikipedia pour les ??coles dans le monde en d??veloppement sans internet a ??t?? une initiative de SOS Enfants. Parrainer un enfant de faire une r??elle diff??rence.

Le Wikibook Calcul a une page sur le th??me de: Limites

En math??matiques , la notion de ??limite?? est utilis?? pour d??crire la comportement d'une fonction que son l'argument soit "se rapproche" ?? un moment donn??, ou comme il devient arbitrairement grande; ou le comportement d'une s??quence ??l??ments s 'comme leur indice augmente ind??finiment. Les limites sont utilis??es dans le calcul et les autres branches de l'analyse math??matique pour d??finir d??riv??s et la continuit??.

Le concept de la "limite d'une fonction" est plus g??n??ralis??e de la notion de topologique net, tandis que la limite d'une suite est ??troitement li??e ?? limite et limite directe th??orie des cat??gories.

Limite d'une fonction

Supposons que f (x) est une fonction ?? valeurs r??elles et c est un nombre r??el . L'expression:

$\ {X lim_ \ ?? c} f (x) = L$

signifie que ?? (x) peut ??tre fait pour ??tre aussi proche de L comme vous le souhaitez en faisant x suffisamment proche de c. Dans ce cas, nous disons que "la limite de ?? de x, quand x tend vers c, est L". Notez que cette d??claration peut ??tre vrai m??me si $\ Scriptstyle f (c) \ L neq$ . En effet, la fonction f (x) ne doit pas m??me ??tre d??fini au c. Deux exemples permettent d'illustrer cela.

Envisager $f (x) = \ frac {x} {x ^ 2 + 1}$ quand x tend 2. Dans ce cas, f (x) est d??finie ?? 2 et est ??gal ?? la limite de 0,4:

f (1,9)	f (1,99)	f (1,999)	f (2)	f (2,001)	f (2,01)	f (2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\ Fl??che Droite$ 0,4 $\ Leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

Comme x 2 approches, ?? (x) 0,4 approches et donc nous avons $\ Scriptstyle \ {x lim_ \ 2} f (x) = 0,4$ . Dans le cas o?? $\ Scriptstyle f (c) = \ {x lim_ \ ?? c} f (x)$ , Ƒ est dit ??tre continu ?? x = c. Mais il ne est pas toujours le cas. Envisager

$g (x) = \ \ left {\ begin {matrix} \ frac {x} {x ^ 2 + 1}, et \ mbox {if} x \ 2 ne \\ \\ 0, & \ mbox {if} x = 2. \ End {matrix} \ right.$

La limite de g (x) lorsque x tend vers 2 est de 0,4 (comme dans f (x)), mais $\ Scriptstyle \ {x lim_ \ 2} g (x) \ neq g (2)$ ; G ne est pas continu ?? x = 2.

Ou, consid??rons le cas o?? ?? (x) ne est pas d??fini ?? x = c.

$f (x) = \ frac {x - 1} {\ sqrt {x} - 1}$

Dans ce cas, quand x tend vers 1, f (x) ne est pas d??finie ?? x = 1, mais la limite est ??gal ?? 2:

f (0,9)	f (0,99)	f (0,999)	f (1,0)	f (1,001)	f (1,01)	f (1,1)
1,95	1,99	1,999	$\ Fl??che Droite$ undef $\ Leftarrow$	2,001	2,010	2.10

Ainsi, f (x) peut ??tre faite arbitrairement proche de la limite de 2 x tout en faisant suffisamment assez proche de 1.

D??finition formelle

Karl Weierstrass d??finie formellement une limite comme suit:

Soit f une fonction d??finie sur un intervalle ouvert contenant c (sauf peut-??tre au c) et laisser L un nombre r??el .

$\ {X lim_ \ ?? c} f (x) = L$

signifie que

pour chaque r??el ε> 0, il existe un r??el δ> 0 tel que pour tout x avec 0 <| x - c | <δ, nous avons | f (x) - L | <ε.

La d??finition formelle d'une limite est parfois appel??e la forme delta-epsilon, car il utilise les lettres grecques delta (δ) et epsilon (ε). L'utilisation des lettres grecques particuliers δ et ε est simplement traditionnelle; la d??finition serait, bien entendu, ??tre inchang??e si diff??rentes lettres ou des symboles sont utilis??s.

Attention: Il est ?? noter que cette d??finition fournit un moyen de reconna??tre une limite sans fournir une fa??on de le calculer. Il faut souvent de trouver une limite en utilisant des proc??d??s informels, en particulier lorsque f (x) est discontinue ?? c, par exemple, lorsque f est un rapport dont le d??nominateur qui devient 0 ?? c. Il faut v??rifier que le r??sultat r??pond effectivement ?? la d??finition Weierstrass dans de tels cas.

Limite d'une fonction ?? l'infini

Un concept li?? ?? des limites que x tend vers un certain nombre fini est la limite quand x tend positive ou n??gative l'infini . Cela ne signifie pas litt??ralement que la diff??rence entre x et l'infini devient faible, puisque l'infini ne est pas un nombre r??el; plut??t, cela signifie que soit x cro??t sans li?? positivement (infini positif) ou cro??t sans li?? n??gativement (infini n??gatif).

Par exemple, consid??rons f (x) = 2 x / (x + 1).

f (100) = 1,9802
f (1000) = 1,9980
f (10000) = 1,9998

Comme x devient extr??mement grande, la valeur de f (x) se rapproche de 2, la valeur de f (x) peut ??tre rendu aussi proche de 2 ?? souhait tout en ramassant x suffisamment grand. Dans ce cas, nous disons que la limite de f (x) quand x tend vers l'infini est 2. Dans la notation math??matique,

$\ {X lim_ \ to \ infty} f (x) = 2.$

Formellement, nous avons la d??finition

$\ {X lim_ \ to \ infty} f (x) = c$ si et seulement si pour chaque ε> 0, il existe un n tel que

$| F (x) - c | <\ varepsilon \ text {} lorsque x> n.$

Notez que le n dans la d??finition d??pend g??n??ralement de ε. Une d??finition similaire se applique pour $\ Scriptstyle \ {x lim_ \ ?? - \ infty} f (x) = c.$

Si l'on consid??re la domaine de f soit le longue ligne de nombre r??el, alors la limite d'une fonction ?? l'infini peut ??tre consid??r?? comme un cas particulier de limite d'une fonction en un point.

Limite d'une s??quence

Consid??rons la s??quence suivante: 1,79, 1,799, 1,7999, ... Nous avons pu observer que les chiffres sont "approchent" 1.8, la limite de la s??quence.

Formellement, supposons que x _1, x _2, ... est une s??quence de nombres r??els . Nous disons que le nombre r??el L est la limite de cette s??quence et nous ??crivons

$\ N \ {lim_ ?? \ infty} x_n = L$

si et seulement si pour tout nombre r??el ε> 0, il existe un nombre naturel n ₀ (qui d??pendra de ε) tel que pour tout n> n ₀ nous avons | x _n - L | <ε.

Intuitivement, cela signifie que finalement tous les ??l??ments de la s??quence se rapprocher autant que nous voulons ?? la limite, puisque la valeur absolue | x _n - L | est la distance entre x et L _n. Non chaque s??quence a une limite; si ce est le cas, nous l'appelons convergente, sinon divergentes. On peut montrer que une s??quence convergente a qu'une seule limite.

La limite d'une s??quence et la limite d'une fonction sont ??troitement li??s. D'une part, la limite d'une suite est simplement la limite ?? l'infini d'une fonction d??finie sur des nombres naturels . D'autre part, une limite d'une fonction f au point x, se il existe, est la m??me que la limite de la suite x _n = f (x + 1 / n).

Identit??s utiles

$\ N \ {lim_ ?? c} S \ Sdot f (n) = S \ Sdot \ n \ {lim_ ?? c} f (n)$ , O?? S est un multiplicateur scalaire.
$\ N \ lim_ {} b ?? c ^ {f (n) = b} ^ {\ {n \ lim_ ?? c} f (n)}$ , O?? b est une constante.

Les r??gles suivantes ne sont valables que si les limites sur le c??t?? droit existe et sont finies.

$\ N \ {lim_ ?? c} f (n) + g (n) = \ {n \ lim_ ?? c} f (n) + \ {n \ lim_ ?? c} g (n)$
$\ N \ {lim_ ?? c} f (n) - g (n) = \ {n \ lim_ ?? c} f (n) - \ n \ {lim_ ?? c} g (n)$
$\ N \ {lim_ ?? c} f (n) \ Sdot g (n) = \ {n \ lim_ ?? c} f (n) \ Sdot \ n \ {lim_ ?? c} g (n)$
$\ N \ {lim_ ?? c} \ frac {f (n)} {g (n)} = \ frac {\ {n \ lim_ ?? c} f (n)} {\ {n \ lim_ ?? c} g ( n)}$ , Si le d??nominateur contenant la limite ne est pas ??gal ?? z??ro

Si l'une des limites dans le c??t?? droit ne est pas d??fini ou infini, les r??gles ne fonctionnent pas n??cessairement.

Par exemple, $\ Lim_ {n \ to \ infty} (3n + 2) + (2-3n) = 4$ mais $\ Lim_ {n \ to \ infty} (3n + 2) + \ lim_ {n \ to \ infty} (2-3n)$ ne est pas d??fini.

Limites de l'int??r??t suppl??mentaire

$\ N \ {lim_ ?? 0} \ frac {\ sin n} {n} = 1$
$\ N \ {lim_ ?? 0} \ frac {1 - \ cos n} {n} = 0$
$\ N \ {lim_ ?? \ infty} \ frac {\ sin n} {n} = 0$
$\ N \ {lim_ ?? \ infty} \ frac {\ cos n} {n} = 0$

la r??gle de l'H??pital

Cette r??gle utilise d??riv??s et a une utilisation conditionnelle. Il ne peut ??tre utilis?? sur formes ind??termin??es.

$\ N \ {lim_ ?? c} \ frac {f (n)} {g (n)} = \ {n \ lim_ ?? c} \ frac {f '(n)} {g' (n)}$

Par exemple: $\ N \ {lim_ ?? 0} \ frac {\ sin (2n)} {\ sin (3n)} = \ {n \ lim_ ?? 0} \ frac {2 \ cos (2n)} {3 \ cos (3n) } = \ frac {2 \ Sdot 1} {3 \ Sdot 1} = \ frac {2} {3}$

Sommations

Une courte fa??on d'??crire la limite $\ N \ {lim_ ?? \ infty} \ sum_ {i = s} ^ {n} f (i)$ est $\ Sum_ {i = s} ^ {\ infty} f (i)$

Net topologique

Toutes les notions ci-dessus de la limite peut ??tre unifi??e et g??n??ralis??e au arbitraire espaces topologiques en introduisant topologique filets et la d??finition de leurs limites. L'article sur les filets des pr??cisions sur ce sujet.

Une alternative est la notion de limite pour filtres sur les espaces topologiques.

Limite de la th??orie des cat??gories

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_(mathematics)&oldid=189022086 "