??nergie cin??tique

Sujets connexes: Math??matiques ; Physique

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Les voitures d'un montagnes russes atteignent leur maximum lorsque l'??nergie cin??tique en bas de leur trajectoire. Quand ils commencent ?? augmenter, l'??nergie cin??tique commence ?? ??tre convertie en ??nergie potentielle gravitationnelle, mais le montant total de l'??nergie dans le syst??me reste constante; en supposant n??gligeable frottement et autres facteurs de conversion d'??nergie.

L'??nergie cin??tique d'un objet est le suppl??ment d'??nergie qu'elle poss??de en raison de son mouvement. Il est d??fini comme le travail n??cessaire pour acc??l??rer un corps d'une masse donn??e de repos ?? sa vitesse actuelle. Ayant acquis cette ??nergie au cours de son acc??l??ration , le corps maintient cette ??nergie cin??tique ?? moins que ses changements de vitesse. Travail n??gatif de la m??me ampleur serait n??cessaire pour retourner le corps ?? un ??tat de repos ?? partir de cette vitesse.

??tymologie

Chercher cin??tique dans Wiktionary, le dictionnaire libre.

L'adjectif ??cin??tique?? au substantif ??nergie a ses racines dans le grec mot pour ??motion?? ( Kinesis). Les termes de l'??nergie cin??tique et de travail et de leurs significations scientifiques actuelles datent du milieu du 19??me si??cle. Les premiers accords de ces id??es peuvent ??tre attribu??s ?? Gaspard-Gustave Coriolis qui en 1829 a publi?? le document intitul?? Du Calcul de l'Effet des Machines d??crivant les math??matiques de l'??nergie cin??tique.

William Thomson , plus tard Lord Kelvin, est donn?? le cr??dit pour inventer le terme ??nergie cin??tique c. 1849.

Introduction

Il existe diff??rentes formes d'??nergie: ??nergie chimique, la chaleur , rayonnement ??lectromagn??tique , l'??nergie potentielle (gravitationnelle, ??lectrique, ??lastique, etc.), ??nergie nucl??aire, ??nergie au repos. Ceux-ci peuvent ??tre class??s en deux cat??gories principales: ??nergie potentielle et l'??nergie cin??tique.

L'??nergie cin??tique peut ??tre mieux compris par des exemples qui d??montrent comment il est transform?? ?? partir d'autres formes d'??nergie et aux autres formes. Par exemple, un cycliste utilisera ??nergie chimique qui a ??t?? apport?? par l'alimentation pour acc??l??rer un v??lo pour une vitesse choisie. Cette vitesse peut ??tre maintenue sans la poursuite des travaux, ?? l'exception de surmonter r??sistance de l'air et la friction. L'??nergie a ??t?? transform??e en l'??nergie du mouvement, connu comme l'??nergie cin??tique, mais le processus ne est pas totalement efficace et la chaleur est ??galement produite dans le cycliste.

L'??nergie cin??tique dans le d??placement ?? v??lo et de la cycliste peut ??tre convertie en d'autres formes. Par exemple, le cycliste pourrait rencontrer une colline juste assez haut ?? l'autre, de sorte que le v??lo vient ?? un arr??t complet au sommet. L'??nergie cin??tique est maintenant largement ??t?? convertie en ??nergie potentielle gravitationnelle qui peut ??tre lib??r?? par roue libre vers le bas de l'autre c??t?? de la colline. (Depuis la bicyclette a perdu une partie de son ??nergie ?? la friction, il ne retrouvera jamais la totalit?? de sa vitesse sans p??daler. Notez que l'??nergie ne est pas perdue, car il n'a ??t?? convertie en une autre forme par le frottement.) Sinon, le cycliste peut connecter un dynamo ?? l'une des roues et ??galement g??n??rer de l'??nergie ??lectrique ?? la descente. Le v??lo se rendrait plus lentement en bas de la colline parce que certains de l'??nergie a ??t?? d??tourn?? dans la prise ??lectrique. Une autre possibilit?? serait pour le cycliste d'appliquer les freins, dans ce cas, l'??nergie cin??tique serait dissip??e par frottement que l'??nergie thermique.

Comme toute grandeur physique qui est fonction de la vitesse, l'??nergie cin??tique d'un objet ne d??pend pas seulement de la nature interne de cet objet. Elle d??pend aussi de la relation entre l'objet et l'observateur (en physique un observateur est formellement d??fini par une classe particuli??re de syst??me de coordonn??es appel?? r??f??rentiel inertiel). Grandeurs physiques de ce genre sont, dit-on pas invariant. L'??nergie cin??tique est co-localis??s avec l'objet et contribue ?? son champ gravitationnel.

Calculs

Il existe plusieurs ??quations diff??rentes qui peuvent ??tre utilis??es pour calculer l'??nergie cin??tique d'un objet. Dans de nombreux cas, ils donnent presque la m??me r??ponse ?? bien dans la pr??cision mesurable. Si elles sont diff??rentes, le choix de l'utiliser est d??termin??e par la vitesse du corps ou sa taille. Ainsi, si l'objet se d??place ?? une vitesse bien inf??rieure ?? la vitesse de la lumi??re, les m??caniciens (classiques) newtoniens seront suffisamment pr??cis; mais si la vitesse est comparable ?? la vitesse de la lumi??re, la relativit?? commence ?? faire des diff??rences significatives au r??sultat et doit ??tre utilis??. Si la taille de l'objet est sub-atomique, la m??canique quantique ??quation est la plus appropri??e.

L'??nergie cin??tique newtonienne

L'??nergie cin??tique des corps rigides

Dans la m??canique classique , l'??nergie cin??tique d'un "objet point" (un corps si petit que sa taille peut ??tre ignor??), ou d'un non rotatif corps rigide, est donn??e par l'??quation $E_k = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} mv ^ 2$ o?? m est la masse et v est la vitesse du corps.

Par exemple - on peut calculer l'??nergie cin??tique d'un d??placement de masse 80 kg ?? 18 m??tres par seconde (40 mph) en tant que $\ Begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot 80 \ cdot 18 ^ 2 = 12960 \ \ mathrm {} joules$ .

Notez que l'??nergie cin??tique augmente avec le carr?? de la vitesse. Cela signifie, par exemple, que si vous voyagez deux fois plus vite, vous aurez quatre fois plus d'??nergie cin??tique. ?? la suite de cela, une voiture roulant deux fois plus vite n??cessite quatre fois plus de distance pour se arr??ter (en supposant une force de freinage constante. Voir travail m??canique ).

Ainsi, l'??nergie cin??tique peut ??tre calcul??e en utilisant la formule:

$E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2$

o??:

E _k est l'??nergie cin??tique en joules

m est la masse en kg, et

v est la vitesse, en m??tres par seconde.

Pour l'??nergie cin??tique de translation d'un corps dont la constante de masse m, dont le centre de masse se d??place en ligne droite ?? une vitesse v, comme on le voit ci-dessus est ??gal ??

$E_T = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} mv ^ 2$

o??:

m est la masse du corps

v est la vitesse du centre de masse du corps.

Ainsi l'??nergie cin??tique est une mesure relative et aucun objet ne peut ??tre consid??r?? comme ayant une ??nergie cin??tique unique. Un moteur-fus??e peut ??tre consid??r??e ?? transf??rer son ??nergie ?? la fus??e ou dans le flux de gaz d'??chappement en fonction de la trame de r??f??rence choisi. Mais l'??nergie totale du syst??me, ce est ?? dire l'??nergie cin??tique, l'??nergie chimique du carburant, de l'??nergie thermique, etc, sera conserv??e quel que soit le choix de la trame de sondage.

L'??nergie cin??tique d'un objet est en relation avec son ??lan par l'??quation:

$E_k = \ frac {p ^ 2} {} 2m$

Calcul et d??finition

Le travail effectu?? acc??l??rer une particule pendant l'intervalle de temps infinit??simal dt est donn?? par le produit scalaire de la force et le d??placement:

$\ Mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v})$

L'application de la r??gle du produit, nous voyons que:

$d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 ( \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v})$

Par cons??quent (en supposant une masse constante), ce qui suit peut ??tre vu:

$\ Mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ frac {m} {2} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = \ frac {m} {2} dv ^ 2 = d \ left (\ frac {mv ^ 2} {2} \ right)$

Puisque ce est une diff??rentielle totale (ce est, il ne d??pend que de l'??tat final, pas comment la particule est arriv?? l??), nous pouvons int??grer et appeler le r??sultat de l'??nergie cin??tique:

$E_k = \ int \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ frac {mv ^ 2} {2}$

Cette ??quation indique que l'??nergie cin??tique (E _k) est ??gale ?? l' int??grale de la point produit de la vitesse (v) d'un corps et la changement infinit??simal de l'organisme l'??lan (p). Il est suppos?? que le corps commence sans ??nergie cin??tique quand il est au repos (immobile).

L'??nergie cin??tique des syst??mes

Pour un seul point, ou un corps rigide qui ne est pas en rotation, l'??nergie cin??tique va ?? z??ro lorsque le corps se arr??te.

Cependant, pour les syst??mes contenant plusieurs organes mobiles ind??pendamment, ce qui peut exercent des forces entre eux, et peut (ou non) ??tre en rotation; ce ne est plus vrai.

Cette ??nergie est appel??e ??l'??nergie??.

L'??nergie cin??tique du syst??me ?? tout instant dans le temps est simplement la somme des ??nergies cin??tiques et par les masses, y compris l'??nergie cin??tique due aux rotations.

Un exemple serait le syst??me solaire. Dans le centre de masse du syst??me solaire, le Soleil est (presque) stationnaire, mais les plan??tes et les ast??ro??des sont en mouvement ?? ce sujet. Ainsi, m??me dans un fixe centre du cadre de masse, il ya encore de l'??nergie cin??tique pr??sente.

Cependant, recalculer l'??nergie ?? partir de diff??rents cadres serait fastidieux, mais il ya un truc. L'??nergie cin??tique du syst??me ?? partir d'un r??f??rentiel inertiel diff??rente peut ??tre calcul??e simplement ?? partir de la somme de l'??nergie cin??tique dans le centre du cadre de masse et en ajoutant de l'??nergie que la masse totale du corps dans le centre de masse aurait se il ??tait se d??pla??ant ?? la vitesse relative entre les deux cadres.

Ce peut ??tre simplement indiqu??: soit V la vitesse relative de la trame k du centre de masse i:

$E_k = \ int \ frac {v_k ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(v_i + V) ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(v_i ^ 2 + 2 v_i V + V ^ 2) dm} {2} = \ int \ frac {v_i ^ 2 dm} {2} + V \ int v_i dm + \ frac {V ^ 2} {2} \ int dm$

Cependant, laissez- $\ Int \ frac {v_i ^ 2 dm} {2} = E_i$ l'??nergie cin??tique dans le centre de masse, $\ Int v_i dm$ serait tout simplement l'impulsion totale qui est par d??finition z??ro dans le centre de masse, et laissez la masse totale: $\ Int dm = M$ . En substituant, on obtient:

$E_k = E_i + \ frac {M V ^ 2} {2}$

L'??nergie cin??tique d'un syst??me d??pend donc de la rep??re inertiel et il est le plus bas par rapport au centre de masse rep??re de r??f??rence, ce est ?? dire, dans un cadre de r??f??rence dans lequel le centre de masse est ?? l'arr??t. Dans une autre trame de r??f??rence il se agit d'une ??nergie cin??tique suppl??mentaire correspondant ?? la masse totale en mouvement ?? la vitesse du centre de masse.

Corps rotatifs

Si un corps rigide est en rotation sur une ligne passant par le centre de la masse alors qu'elle a ??nergie cin??tique de rotation ( $E_r$ ) Qui est simplement la somme des ??nergies cin??tiques de ses pi??ces mobiles, et il est donc ??gale ??:

$E_r = \ int \ frac {v ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(r \ omega) ^ 2 dm} {2} = \ frac {\ omega ^ 2} {2} \ int {r ^ 2} dm = \ frac {\ omega ^ 2} {2} I = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} I \ omega ^ 2$

o??:

ω est le corps de la vitesse angulaire .

r est la distance de ne importe quelle masse dm de cette ligne

I est le corps de moment d'inertie $= \ Int {r ^ 2} dm$

(Dans cette ??quation, le moment d'inertie doit ??tre pris ?? un axe traversant le centre de masse et la rotation mesur??e par ω doit ??tre autour de cet axe; plusieurs ??quations g??n??rales existent pour les syst??mes o?? l'objet est soumis ?? vaciller en raison de sa forme excentrique) .

La rotation dans les syst??mes

Il est parfois commode de diviser l'??nergie cin??tique totale d'un corps en la somme du centre de masse du corps de l'??nergie cin??tique de translation et de l'??nergie de rotation autour du centre de masse ??nergie de rotation:

$E_k = E_T + E_r \,$

o??:

E _k est l'??nergie cin??tique totale

_T E est l'??nergie cin??tique de translation

E _r est l'??nergie de rotation ou l'??nergie cin??tique angulaire dans le cadre de repos

Ainsi, l'??nergie cin??tique d'une balle de tennis en vol est l'??nergie cin??tique due ?? sa rotation, ainsi que l'??nergie cin??tique due ?? sa traduction.

L'??nergie cin??tique relativiste de corps rigides

Dans la relativit?? restreinte , nous devons changer l'expression de la quantit?? de mouvement. Int??gration par parties, on obtient:

$E_k = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d (m \ gamma \ mathbf {v}) = m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - \ int m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v} = m \ gamma v ^ 2 - \ frac {m} {2} \ int \ gamma d (v ^ 2)$

Se souvenant que $\ Gamma = (1 - v ^ 2 / c ^ 2) ^ {- 1/2} \!$ , On a:

$E_k = m \ gamma v ^ 2 - \ frac {- mc ^ 2} {2} \ int \ gamma d (1 - v ^ 2 / c ^ 2) = m \ gamma v ^ 2 + mc ^ 2 (1 - v ^ 2 / c ^ 2) ^ {1/2} + C$

Et ainsi:

$E_k = m \ gamma (v ^ 2 + c ^ 2 (1 - v ^ 2 / c ^ 2)) + C = m \ gamma (v ^ 2 + c ^ 2 - v ^ 2) + C = m \ gamma c ^ 2 + C \!$

La constante d'int??gration se trouve en observant que $\ Gamma = 1 \!$ quand $\ Mathbf {v} = 0$ , Ainsi nous obtenons la formule habituelle:

$E_k = m \ gamma c ^ 2 - mc ^ 2 = \ frac {mc ^ 2} {\ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}} - mc ^ 2$

Si la vitesse d'un corps est une fraction significative de la vitesse de la lumi??re , il est n??cessaire d'utiliser la m??canique relativiste (la th??orie de la relativit?? comme expos?? par Albert Einstein ) pour calculer son ??nergie cin??tique.

Pour un objet relativiste l'??lan p est ??gal ??:

$p = \ frac {m} v {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}}$ ,

o?? m est le masse au repos, v est la vitesse de l'objet, et c est la vitesse de la lumi??re dans le vide.

Ainsi, le travail d??pens?? acc??l??rer un objet du repos ?? une vitesse relativiste est:

$E_k = \ frac {m c ^ 2} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} - c m ^ 2$ .

L'??quation montre que l'??nergie d'un objet se approche de l'infini comme la vitesse v se approche de la vitesse de la lumi??re c, il est donc impossible d'acc??l??rer un objet ?? travers cette fronti??re.

Le sous-produit math??matique de ce calcul est le formule l'??quivalence masse-??nergie corps au repos doit avoir un contenu d'??nergie ??gale ??:

$E_ \ mbox {} reste = m c ^ 2 \!$

A une vitesse faible (v < approximation binomiale. En effet, en prenant d??veloppement de Taylor pour racine carr??e et de garder deux premiers termes, on obtient:

$E_k \ environ mc ^ 2 \ left (1 + \ frac {1} {2} ^ v 2 / c ^ 2 \ right) - mc ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2$ ,

Ainsi, l'??nergie totale E peut ??tre partitionn?? en l'??nergie de la masse au repos, plus l'??nergie cin??tique newtonien classique ?? basse vitesse.

Lorsque les objets se d??placent ?? une vitesse beaucoup plus lente que la lumi??re (par exemple dans les ph??nom??nes de tous les jours sur la Terre), les deux premiers termes de la s??rie pr??dominent. Le prochain terme dans le rapprochement est faible pour les faibles vitesses, et peut ??tre trouv?? en ??tendant l'expansion dans une s??rie de Taylor par un autre mandat:

$E \ environ mc ^ 2 \ gauche (1 + \ frac {1} {2} ^ v 2 / c ^ 2 + \ frac {3} {8} v ^ 4 / c ^ 4 \ right) = mc ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 + \ frac {3} {8} mv ^ 4 / c ^ 2$ .

Par exemple, pour une vitesse de 10 km / s, la correction de l'??nergie cin??tique est newtonien 0,07 J / kg (sur une ??nergie cin??tique de 50 newtonien MJ / kg) et pour une vitesse de 100 km / s, il est de 710 J / kg (sur une ??nergie cin??tique newtonienne de 5 GJ / kg), etc.

Pour des vitesses sup??rieures, la formule de l'??nergie cin??tique relativiste est d??riv?? par la soustraction de l'??nergie masse au repos de l'??nergie totale:

$E_k = m \ gamma c ^ 2 - mc ^ 2 = mc ^ 2 \ gauche (\ frac {1} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} - 1 \ right)$ .

La relation entre l'??nergie cin??tique et la dynamique est plus compliqu?? dans ce cas, et est donn?? par l'??quation:

$E_k = \ sqrt {p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4} - c m ^ 2$ .

Cela peut aussi ??tre d??velopp??e en s??rie de Taylor , le premier terme de ce qui est la simple expression de la m??canique newtonienne.

Ce que cela sugg??re est que les formules pour l'??nergie et le dynamisme ne sont pas sp??cial et axiomatique, mais plut??t des concepts qui ??mergent de l'??quation de la masse d'??nergie et les principes de la relativit??.

Quantum ??nergie cin??tique m??canique des corps rigides

Dans le domaine de la m??canique quantique, la valeur moyenne de l'??nergie cin??tique des ??lectrons, $\ Langle \ hat {T} \ rangle$ , Par un syst??me d'??lectrons d??crit par la fonction d'onde $\ Vert \ psi \ rangle$ est une somme de 1 ??lectron valeurs op??rateur d'attentes:

$\ Langle \ hat {T} \ rangle = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2} m_e \ bigg \ langle \ psi \ bigg \ vert \ sum_ {i = 1} ^ N \ nabla ^ 2_i \ bigg \ vert \ psi \ bigg \ rangle$

o?? $m_e$ est la masse de l'??lectron et $\ Nabla ^ 2_i$ est le Op??rateur laplacien agissant sur les coordonn??es du i ^??me ??lectrons et la sommation se ??tend sur tous les ??lectrons. Notez que ce est la version quantifi??e de l'expression non relativiste de l'??nergie cin??tique en termes de dynamique:

$E_k = \ frac {p ^ 2} {} 2m$

Le densit?? formalisme de la fonctionnelle de la m??canique quantique n??cessite la connaissance de la densit?? ??lectronique uniquement, ce est ?? dire, il ne exige pas formellement connaissance de la fonction d'onde. Compte tenu de la densit?? d'??lectrons $\ Rho (\ mathbf {r})$ , La N-??lectrons l'??nergie cin??tique exacte fonctionnelle est inconnue; toutefois, pour le cas sp??cifique d'un syst??me 1-??lectrons, l'??nergie cin??tique peut se ??crire

$T [\ rho] = \ frac {1} {8} \ int \ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})} ^ D 3r$

o?? $T [\ rho]$ il est connu que l'??nergie cin??tique de Weizs??cker fonctionnel.

Quelques exemples

l'utilisation de l'engin spatial de l'??nergie chimique de d??coller et d'acqu??rir l'??nergie cin??tique consid??rable pour atteindre vitesse orbitale. Cette ??nergie cin??tique acquise au cours de lancement restera constante en orbite parce qu'il n'y a pratiquement pas de frottement. Cependant il appara??t ?? la rentr??e lorsque l'??nergie cin??tique est convertie en chaleur.

L'??nergie cin??tique peut ??tre pass??e d'un objet ?? un autre. Dans le jeu de billard, le joueur donne de l'??nergie cin??tique ?? la boule en le frappant avec la queue de billard. Si la bille blanche entre en collision avec une autre balle, il va ralentir de fa??on spectaculaire et le ballon est entr?? en collision avec la volont?? d'acc??l??rer ?? une vitesse que l'??nergie cin??tique est pass?? sur elle. Collisions en billard sont effectivement collisions ??lastiques, o?? l'??nergie cin??tique est pr??serv??e.

Volants sont d??velopp??s comme une m??thode de stockage de l'??nergie (voir l'article volant de stockage d'??nergie). Cela montre que l'??nergie cin??tique de rotation peut ??galement ??tre. Notez la formule dans les articles sur les volants pour le calcul de l'??nergie cin??tique de rotation est diff??rente, mais analogue.

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