
Lois de Kepler
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En astronomie , les lois de Kepler sur le mouvement plan??taire sont trois lois math??matiques qui d??crivent le mouvement des plan??tes dans le syst??me solaire . Allemand math??maticien et astronome Johannes Kepler ( 1571- 1630) entre eux ont d??couvert.
Kepler a ??tudi?? la observations de l'astronome danois pr??cise l??gendaire Tycho Brahe. Autour de 1605, Kepler a constat?? que les observations de Brahe des positions des plan??tes suivaient trois lois math??matiques relativement simples.
Les lois de Kepler contest??es astronomie et la physique aristot??licienne et ptol??ma??que. Son affirmation selon laquelle la Terre tournait, son utilisation de ellipses plut??t que ??picycles, et sa preuve que les vitesses des plan??tes vari??es, chang?? l'astronomie et de la physique . N??anmoins, l'explication physique du comportement des plan??tes est venu pr??s d'un si??cle plus tard, quand Isaac Newton ??tait en mesure de d??duire les lois de Kepler ?? partir de Newton propres lois du mouvement et son la loi de la gravitation universelle, en utilisant son invention du calcul . Autres mod??les de la gravitation donneraient empiriquement faux r??sultats.
Trois lois de Kepler sont:
- Le orbite de chaque plan??te est une ellipse avec le soleil ?? l'un des foyers. Une ellipse est caract??ris?? par ses deux points focaux; voir l'illustration. Ainsi, Kepler a rejet?? l'ancienne aristot??licienne, ptol??ma??que, et la croyance copernicienne dans un mouvement circulaire.
- Une ligne joignant une plan??te et le soleil balaie des aires ??gales pendant des intervalles de temps ??gaux que la plan??te se d??place le long de son orbite. Cela signifie que la plan??te se d??place plus rapidement tout pr??s du soleil et ralentit quand il est loin du soleil. Avec sa loi, Kepler d??truit la th??orie astronomique aristot??licienne que les plan??tes ont uniforme vitesse .
- Le places de la p??riodes orbitales des plan??tes sont directement proportionnelle ?? la cubes de la demi-grands axes (le ??demi-longueur" de l'ellipse) de leurs orbites. Cela signifie non seulement que les grandes orbites ont de plus longues p??riodes, mais aussi que la vitesse d'une plan??te sur une orbite plus grande est plus faible que dans une orbite plus petite.
Les lois de Kepler sont formul??es ci-dessous, et sont ??tablis ?? partir des lois de Newton, en utilisant h??liocentriques coordonn??es polaires . Cependant, les lois de Kepler peuvent ??galement ??tre formul??es et calcul??es ?? l'aide des coordonn??es cart??siennes .
Description math??matique
Premi??re loi


La premi??re loi dit: "Le orbite de chaque plan??te est une ellipse avec le soleil ?? l'un des foyers. "
Les math??matiques de l'ellipse est la suivante.
L'??quation est
o?? (r, θ) sont coordonn??es polaires h??liocentriques pour la plan??te, p est le rectum de semi-latus , et ε est le excentricit??, qui est sup??rieur ou ??gal ?? z??ro et inf??rieur ?? un.
Pour θ = 0 la plan??te est ?? la p??rih??lie ?? distance minimale:
pour θ = 90 ??: r = p et pour θ = 180 ?? de la plan??te est ?? la aph??lie ?? une distance maximale:
Le demi-grand axe est la moyenne arithm??tique entre r et r max min:
Le demi-petit axe est le moyenne g??om??trique entre r et r max min:
et ce est ??galement le moyenne g??om??trique entre le demi-grand axe et le demi latus rectum:
Deuxi??me loi


La deuxi??me loi: "Une ligne joignant une plan??te et le soleil balaie des aires ??gales pendant des intervalles de temps ??gaux. "
Ce est ??galement connu comme la loi des aires ??gales. Ce est une cons??quence directe de la loi de la conservation du moment cin??tique ; voir la d??rivation ci-dessous.
Supposons une plan??te prend un jour pour se rendre de point A ?? B. Les lignes du Soleil ?? A et B, ainsi que l'orbite de la plan??te, vont d??finir une (environ triangulaire r??gion). Cette m??me quantit?? de zone sera form?? chaque jour, peu importe o?? dans son orbite la plan??te est. Cela signifie que la plan??te se d??place plus vite quand elle est plus proche du soleil.
Ce est parce que la gravit?? du soleil acc??l??re la plan??te comme il tombe vers le soleil, et d??c??l??re sur le chemin du retour, mais Kepler ne savait pas que la raison.
Les deux lois autoris??s Kepler pour calculer la position, (r, θ), de la plan??te, bas??s sur le temps ??coul?? depuis p??rih??lie, t, et la p??riode orbitale, P. Le calcul se fait en quatre ??tapes.
- 1. Calculer l'anomalie moyenne M de la formule
- 2. Calculer la excentrique anomalie E en r??solvant num??riquement l'??quation de Kepler:
- 3. Calculer la anomalie vraie θ par l'??quation:
- 4. Calculez la distance r h??liocentrique de la premi??re loi:
La preuve de cette proc??dure est illustr?? ci-dessous.
Troisi??me loi
La troisi??me loi: "Le places de la p??riodes orbitales des plan??tes sont directement proportionnelle ?? la cubes de la demi-grand axe de l'orbite. "Ainsi, non seulement ne augmente la longueur de l'orbite avec la distance, la vitesse orbitale diminue, de sorte que l'augmentation de la p??riode orbitale est plus que proportionnelle.
= P??riode orbitale de la plan??te
= Demi-grand axe de l'orbite
Donc, l'expression P 2 ?? -3 a la m??me valeur pour toutes les plan??tes dans le syst??me solaire car elle a pour la Terre . Lorsque certaines unit??s sont choisies, ?? savoir P est mesur??e en ann??es sid??rales et un dans unit??s astronomiques, P 2 ?? -3 a la valeur 1 pour toutes les plan??tes du syst??me solaire.
En Unit??s SI: .
La loi, lorsqu'il est appliqu?? ?? orbites circulaires o?? l' acc??l??ration est proportionnelle ?? une -2 ?? P, montre que l'acc??l??ration est proportionnelle ?? a ?? un -3 -2 = a, conform??ment ?? La loi de la gravitation de Newton.
L'??quation g??n??rale, que Kepler ne savait pas, est
o?? est la constante de gravitation,
est la masse du soleil, et
est la masse de la plan??te. Celui-ci appara??t dans l'??quation puisque l'??quation de mouvement comprend la masse r??duite. Notez que P est le temps par orbite et P / 2π est temps par radian .
Voir les chiffres r??els: attributs des grandes plan??tes.
Cette loi est ??galement connu comme la loi harmonique.
Position en fonction du temps

Le probl??me de Kepler suppose une orbite elliptique et les quatre points:
- s le soleil (?? un foyer d'ellipse);
- z p??rih??lie
- c le centre de l'ellipse
- p la plan??te
et
distance du centre de p??rih??lie, le demi-grand axe,
l'excentricit??,
les demi-petit axe,
la distance du soleil ?? la plan??te.
et l'angle
comme on le voit la plan??te du soleil, la anomalie vraie.
Le probl??me est de calculer les coordonn??es polaires (r, ν) de la plan??te ?? partir du moment depuis p??rih??lie, t.
Il est r??solu par ??tapes. Kepler a commenc?? par l'ajout de cercle auxiliaire de l'orbite (que l'axe majeur en tant que diam??tre) et d??finit les points suivants:
- x est la projection de la plan??te du cercle auxiliaire; puis la r??gion
- y est un point sur le cercle auxiliaire de telle sorte que la zone
et
, Y vu depuis le centre, le anomalie moyenne.
La superficie de la secteur circulaire Et l'aire balay??e depuis p??rih??lie,
,
est par la deuxi??me loi de Kepler proportionnelle au temps ??coul?? depuis p??rih??lie. Donc, l'anomalie moyenne, M, est proportionnelle au temps depuis p??rih??lie, t.
o?? T est la p??riode orbitale.
L'anomalie moyenne M est d'abord calcul??. Le but est de calculer la vraie ν d'anomalie. La fonction ν = f (M) est, cependant, pas ??l??mentaire. La solution de Kepler est d'utiliser
, X tel que vu depuis le centre, le anomalie excentrique
comme une variable interm??diaire, et le premier calcul E en fonction de M en r??solvant l'??quation de Kepler ci-dessous, puis calculer l'anomalie vraie ν de l'anomalie excentrique E. Voici les d??tails.
Division par un ?? / 2 donne l'??quation de Kepler
.
Le hic, ce est que l'??quation de Kepler ne peut ??tre r??arrang?? pour isoler E. La fonction E = f (M) ne est pas une formule ??l??mentaire. L'??quation de Kepler est r??solu soit it??rative par un root-algorithme de recherche ou, comme d??riv?? dans l'article sur anomalie excentrique, par un s??rie infinie
Pour la petite ε typique des plan??tes (sauf Pluton ), ces s??ries sont assez pr??cis avec seulement quelques termes.
Ayant calcul?? l'anomalie excentrique E ?? partir de l'??quation de Kepler, l'??tape suivante consiste ?? calculer l'anomalie vraie ν de l'anomalie excentrique E.
Note de la g??om??trie du probl??me que
Divisant par un et l'insertion de la premi??re loi de Kepler
obtenir
Il en r??sulte une relation utilisable entre l'anomalie excentrique E et ν de la vraie anomalie.
Un formulaire de calcul plus commode suit en substituant dans le identit?? trigonom??trique:
Obtenir
Multipliant par (1 + ε) / (1-ε) et prenant la racine carr??e donne le r??sultat
Nous avons maintenant termin?? la troisi??me ??tape de la connexion entre le temps et la position dans l'orbite.
On pourrait m??me d??velopper une s??rie informatique ν directement de M.
La quatri??me ??tape consiste ?? calculer la distance r heliocentric de l'anomalie vraie ν selon la premi??re loi de Kepler:
D??rivation ?? partir des lois de Newton
Les lois de Kepler sont sur le mouvement des plan??tes autour du soleil, tandis que les lois de Newton sont plus g??n??ralement sur le mouvement des particules ponctuelles attirer l'autre par la force de la gravitation . Dans le cas particulier o?? il n'y a que deux particules, et l'un d'eux est beaucoup plus l??ger que l'autre, et la distance entre les particules reste limit??e, puis la particule se d??place plus l??gers autour de la particule lourde comme une plan??te autour du soleil selon les lois de Kepler , comme indiqu?? ci-dessous. Les lois de Newton mais admettent ??galement d'autres solutions, o?? la trajectoire de la particule l??g??re est un ou une parabole hyperbole. Ces solutions montrent qu'il existe une limitation de l'applicabilit?? de la premi??re loi de Kepler, qui stipule que la trajectoire sera toujours une ellipse. Dans le cas o?? une particule ne est pas beaucoup plus l??ger que l'autre, il se av??re que chaque particule se d??place autour de leur commune centre de masse , de sorte que le grand probl??me de deux corps est r??duit au cas particulier o?? une particule est beaucoup plus l??ger que l'autre. Bien que les lois de Kepler sont exprim??es en langage g??om??trique ou ??quations reliant les coordonn??es de la plan??te et la variable de temps avec le ??l??ments orbitaux, la deuxi??me loi de Newton est une ??quation diff??rentielle . Ainsi, les d??rivations ci-dessous concernent l'art de r??soudre des ??quations diff??rentielles. La seconde loi est d??riv??e premi??re, que le calcul de la premi??re loi d??pend de la d??rivation de la seconde loi.
Issu seconde loi de Kepler
La loi de la gravitation de Newton dit que ??chaque objet dans l'univers attire chaque autre objet le long d'une ligne des centres des objets, proportionnelles ?? la masse de chaque objet, et inversement proportionnelle au carr?? de la distance entre les objets," et son deuxi??me loi de motion dit que ??les temps de masse, l'acc??l??ration est ??gale ?? la force." Donc, la masse des satellites fois le vecteur d'acc??l??ration de la plan??te est ??gale ?? la masse des temps de chaises la masse de la plan??te, divis?? par le carr?? de la distance, le temps de moins radial vecteur unitaire, fois une constante de proportionnalit??. Ce est ??crit:
o?? un point au-dessus de la variable signifie diff??rentiation par rapport au temps, et le second point indique la d??riv??e seconde.
Supposons que la plan??te est tellement plus l??ger que le soleil que l'acc??l??ration du soleil peut ??tre n??glig??.
o?? est le vecteur unitaire tangentiel, et
Ainsi, le vecteur de position
est diff??renci??e deux fois pour donner le vecteur vitesse et le vecteur d'acc??l??ration
Notez que pour distance constante, , La plan??te est soumise ?? l' acc??l??ration centrip??te ,
Et pour la vitesse angulaire constante,
, La plan??te est soumise ?? la acc??l??ration de Coriolis,
.
L'insertion du vecteur d'acc??l??ration dans les lois de Newton, et en divisant par m, donne le vecteur ??quation du mouvement
Assimiler composant, nous obtenons les deux ??quations diff??rentielles ordinaires du mouvement, une pour l'acc??l??ration radiale et une pour l'acc??l??ration tangentielle:
Afin de tirer seconde loi de Kepler ne l'??quation d'acc??l??ration tangentielle est n??cessaire. Diviser par
et d'int??grer:
o?? est un constante d'int??gration, et exponentiate:
Ce dit que le moment angulaire sp??cifique est un constante du mouvement, m??me si les deux la distance
et le vitesse angulaire
varier.
La zone balay??e ?? partir de l'instant t 1 ?? l'instant t 2,
ne d??pend que de la dur??e t 2 - t 1. Ce est la deuxi??me loi de Kepler.
Issu premi??re loi de Kepler
L'expression
a la dimension de longueur et est utilis??e pour rendre les ??quations de mouvement sans dimension. Nous d??finissons
et obtenir
et
La diff??renciation par rapport au temps est transform?? en d??rivation par rapport ?? l'angle:
Diff??rencier
deux fois:
Substituer dans l'??quation radiale de mouvement
et obtenir
Divisez par pour obtenir un simple, ??quation diff??rentielle lin??aire non homog??ne de l'orbite de la plan??te:
Une solution ??vidente ?? cette ??quation est l'orbite circulaire
D'autres solutions sont obtenues en ajoutant ?? la solution ??quation diff??rentielle lin??aire homog??ne ?? coefficients constants
Ces solutions sont
o?? et
sont des constantes arbitraires de l'int??gration. Donc le r??sultat est
Le choix de l'axe de la syst??me de coordonn??es tel que Et insertion
, Donne:
Si ce est la premi??re loi de Kepler.
La troisi??me loi de Kepler
Newton a utilis?? la troisi??me loi comme l'un des ??l??ments de preuve utilis??s pour construire le cadre conceptuel et math??matique de sa loi de la gravitation. Si nous prenons les lois du mouvement de Newton comme donn??, et d'envisager une hypoth??tique plan??te qui se trouve ??tre dans une orbite parfaitement circulaire de rayon r, nous avons pour la force de soleil sur la plan??te. La vitesse est proportionnelle ?? r / T, par lequel la troisi??me loi de Kepler varie comme une au-dessus de la racine carr??e de r. En substituant cette dans l'??quation de la force, nous constatons que la force gravitationnelle est proportionnelle ?? une plus r carr??. R??elle de la cha??ne historique de Newton de raisonnement ne est pas connue avec certitude, parce que dans son ??criture, il avait tendance ?? effacer toute trace de la fa??on dont il avait atteint ses conclusions. Inversion du sens de raisonnement, nous pouvons consid??rer cela comme une preuve de la troisi??me loi de Kepler sur la base de la loi de la gravitation de Newton, et de prendre soin des facteurs de proportionnalit?? qui ont ??t?? n??glig??s dans l'argument ci-dessus, nous avons:
o??:
- T = plan??te de p??riode sid??rale
- r = rayon de l'orbite circulaire de la plan??te
- G = le constante gravitationnelle
- M = masse du soleil
Les m??mes arguments peuvent ??tre appliqu??s ?? ne importe quel objet en orbite autour de tout autre objet. Cette discussion suppose implicitement que la plan??te orbite autour du soleil fixe, mais en r??alit??, la plan??te et le soleil tournent autour de leur centre de gravit?? commun. Newton a reconnu, et a modifi?? cette troisi??me loi, notant que la p??riode est ??galement affect??e par le corps en orbite autour de la masse . Cependant g??n??ralement le corps central est si beaucoup plus massive que la masse du corps en orbite peut ??tre ignor??. Newton a ??galement prouv?? que dans le cas d'une orbite elliptique, le demi-grand axe pourrait ??tre remplac?? par le rayon. Le r??sultat le plus g??n??ral est la suivante:
o??:
- T = objet de p??riode sid??rale
- d'un objet = demi-grand axe
- G = le constante gravitationnelle = 6,67 ?? 10 -11 N ??? m?? / kg??
- M = masse d'un objet
- m = masse de l'autre objet
Pour les objets en orbite autour du soleil, il peut ??tre pratique d'utiliser des unit??s d'ann??es, l'UA, et masses solaires, de sorte que G, 4π?? et les divers les facteurs de conversion se annulent. Aussi avec m << M nous pouvons mettre en m + M = M, nous avons donc tout simplement . Notez que les valeurs de G et masses plan??taires ne sont pas connus avec une bonne pr??cision; Toutefois, les produits g??n??tiquement modifi??s (l'attraction de Kepler) sont connus pour une pr??cision extr??mement ??lev??e.
D??finir le point A ?? la p??riastre, et le point B comme apog??e de la plan??te quand orbite du soleil.
La deuxi??me loi de Kepler indique que le corps en orbite balaie des aires ??gales dans des quantit??s ??gales de temps. Si nous regardons maintenant ?? un tr??s petites p??riodes de temps ?? des moments o?? la plan??te est aux points A et B, alors nous pouvons rapprocher la zone balay??e par un triangle avec une altitude ??gale ?? la distance entre la plan??te et le soleil, et la base ??gale ?? l'??poque de temps la vitesse de la plan??te.
En utilisant le loi de conservation de l'??nergie pour l' ??nergie totale de la plan??te aux points A et B,
Maintenant que nous avons , Nous pouvons trouver la vitesse ?? laquelle la plan??te balaie sur zone dans l'ellipse. Ce taux reste constante, donc nous pouvons d??river de ne importe quel point nous voulons, en particulier du point B.
Cependant, la surface totale de l'ellipse est ??gale ?? . (Ce est la m??me chose que
, Parce
). Le temps de la plan??te sortir pour balayer toute la zone de l'ellipse est ??gale ?? l'aire de l'ellipse, de sorte,
Toutefois, si la masse m ne est pas n??gligeable par rapport ?? M, alors la plan??te orbite le soleil avec la m??me vitesse et la position exacte comme un tr??s petit corps en orbite un objet de masse (Voir masse r??duite). Pour int??grer que dans la formule ci-dessus, M doit ??tre remplac?? par
, Donner
CQFD