Interpolation

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Dans le math??matique de la sous-zone analyse num??rique, l'interpolation est un proc??d?? de construction de nouveaux points de donn??es dans la plage de un ensemble discret de points de donn??es connus.

Dans l'ing??nierie et de la science on a souvent un certain nombre de points de donn??es, obtenue par ??chantillonnage ou exp??rience, et tente de construire une fonction qui se adapte ??troitement ces points de donn??es. Cela se appelle courbe d'ajustement ou de l'analyse de r??gression . L'interpolation est un cas particulier de montage de la courbe, dans lequel la fonction doit aller exactement par les points de donn??es.

Un autre probl??me qui est ??troitement li??e ?? l'interpolation est l'approximation d'une fonction compliqu??e par une fonction simple. Supposons que nous savons la fonction mais il est trop complexe ?? ??valuer efficacement. Ensuite, nous pourrions prendre quelques points de donn??es connues de la fonction compliqu??e, la cr??ation d'un Table de consultation, et essayer d'interpoler les points de donn??es pour construire une fonction simple. Bien s??r, lorsque vous utilisez la fonction simple ?? calculer de nouveaux points de donn??es nous avons l'habitude ne recevons pas le m??me r??sultat que lors de l'utilisation de la fonction d'origine, mais en fonction du domaine de probl??me et la m??thode d'interpolation utilis??s le gain dans la simplicit?? pourrait compenser l'erreur.

Il convient de mentionner qu'il existe un autre type tr??s diff??rent de l'interpolation en math??matiques, ?? savoir la " interpolation des op??rateurs ". Les r??sultats classiques sur interpolation des op??rateurs sont les Th??or??me de Riesz-Thorin et Th??or??me Marcinkiewicz. Il ya aussi beaucoup d'autres r??sultats ult??rieurs.

D??finition

De inter sens entre et le p??le, les points ou n??uds. Tout moyen de calculer un nouveau point entre deux points de donn??es existantes est donc interpolation.

Il existe de nombreuses m??thodes pour ce faire, dont beaucoup impliquent montage une sorte de fonction pour les donn??es et l'??valuation de cette fonction au point d??sir??. Cela ne exclut pas d'autres moyens tels que des m??thodes statistiques de calcul de donn??es interpol??es.

La forme la plus simple d'interpolation consiste ?? prendre la moyenne arithm??tique des $x$ et $y$ de deux points adjacents pour trouver le point ?? mi. Cela donnera le m??me r??sultat que l'interpolation lin??aire ??valu??e au point milieu.

Compte tenu d'une s??quence de n nombres distincts x _k appel??s n??uds et pour chaque x _k un second nombre y _k, nous sommes ?? la recherche d'une fonction f sorte que

$f (x_k) = y_k \ mbox {,} k = 1, \ ldots, n$

Une paire x _k, y _k est appel?? un point de donn??es et f est appel?? un interpolant les points de donn??es.

Lorsque le nombre _k y sont donn??s par une fonction connue f, nous ??crivons parfois f _k.

Exemple

Par exemple, supposons que nous ayons un tableau comme celui qui donne des valeurs d'une fonction inconnue f.

Terrain des points de donn??es comme indiqu?? dans le tableau.

x	f (x)
0	0
1	0	.	8415
2	0	.	9093
3	0	.	1411
4	-0	.	7568
5	-0	.	9589
6	-0	.	2794

Interpolation fournit un moyen d'estimation de la fonction aux points interm??diaires, telles que x = 2,5.

Il existe de nombreuses m??thodes d'interpolation diff??rentes, dont certaines sont d??crites ci-dessous. Certaines des pr??occupations ?? prendre en compte lors du choix d'un lieu algorithme sont: Quelle est la pr??cision de la m??thode? Quel est le co??t? Comment lisse est l'interpolant? Combien de points de donn??es sont n??cessaires?

Interpolation constante par morceaux

Morceaux interpolation constante ou plus proche voisin interpolation.

La m??thode d'interpolation la plus simple est de localiser la valeur de donn??es le plus proche, et attribuer la m??me valeur. Dans une dimension, il ya rarement de bonnes raisons de choisir celui sur interpolation lin??aire, qui est presque aussi pas cher, mais dans des dimensions plus ??lev??es, dans interpolation multivari??e, cela peut ??tre un choix favorable pour sa rapidit?? et simplicit??.

Interpolation lin??aire

Terrain des donn??es avec une interpolation lin??aire superpos??

Une des m??thodes les plus simples est interpolation lin??aire (parfois connu sous le nom lerp). Prenons l'exemple ci-dessus de d??termination de f (2,5). Depuis 2.5 est ?? mi-chemin entre 2 et 3, il est raisonnable de prendre f (2,5) mi-chemin entre f (2) = 0,9093 et f (3) = 0,1411, ce qui donne 0,5252.

En g??n??ral, une interpolation lin??aire prend deux points de donn??es, par exemple (x _a, y _a) et (x _b, y _b), et l'interpolant est donn??e par:

$y = ??_?? + \ frac {(x-x_a) (y_b-??_??)} {(X_B-x_a)}$ au point (x, y).

Interpolation lin??aire est rapide et facile, mais il ne est pas tr??s pr??cis. Un autre inconv??nient est que l'interpolant ne est pas d??rivable au point x _k.

L'estimation d'erreur suivant montre que l'interpolation lin??aire ne est pas tr??s pr??cis. Notons la fonction que nous voulons pour interpoler par g, et supposons que x se situe entre x et x _{un b} et g est deux fois contin??ment diff??rentiable. Ensuite, l'erreur d'interpolation lin??aire est

$| F (x) -g (x) | \ le C (X_B-x_a) ^ 2 \ quad \ mbox {} o?? \ quad C = \ frac18 \ max_ {y \ in [x_a, X_B]} | g '' (y) |.$

En termes, l'erreur est proportionnelle au carr?? de la distance entre les points de donn??es. L'erreur de certaines autres m??thodes, y compris l'interpolation polynomiale et interpolation spline (d??crit ci-dessous), est proportionnelle ?? des puissances plus ??lev??es de la distance entre les points de donn??es. Ces m??thodes produisent ??galement interpolants lisses.

Interpolation polynomiale

Terrain des donn??es avec interpolation polynomiale appliqu??e

Interpolation polynomiale est une g??n??ralisation de l'interpolation lin??aire. Notez que l'interpolant lin??aire est un fonction lin??aire. Nous rempla??ons maintenant ce interpolant par un polyn??me du sup??rieur degr??.

Consid??rons ?? nouveau le probl??me ci-dessus. La sixi??me polyn??me de degr?? ?? la suite passe par toutes les sept points:

$f (x) = x ^ -0,0001521 6 ?? 0,003130 x ^ 5 + 0,07321 x ^ 4 ?? 0,3577 x ^ 3 + 0,2255 x ^ 2 + 0,9038 x.$

En substituant x = 2.5, nous constatons que f (2,5) = 0,5965.

En g??n??ral, si on a n points de donn??es, il est tout ?? fait une polyn??me de degr?? au plus n-1 en passant par tous les points de donn??es. L'erreur d'interpolation est proportionnelle ?? la distance entre les points de donn??es ?? la puissance n. En outre, l'interpolant est un polyn??me et donc infiniment diff??rentiables. Donc, on voit que l'interpolation polynomiale permet de r??soudre tous les probl??mes d'interpolation lin??aire.

Cependant, l'interpolation polynomiale a aussi quelques inconv??nients. Le calcul du polyn??me d'interpolation est relativement tr??s co??teux en calcul (voir complexit?? de calcul). En outre, l'interpolation polynomiale peut ne pas ??tre si exact apr??s tout, notamment au niveau des points d'extr??mit?? (voir Ph??nom??ne de Runge). Ces inconv??nients peuvent ??tre ??vit??s en utilisant une interpolation spline.

Interpolation Spline

Terrain des donn??es avec interpolation Spline appliqu??e

Rappelez-vous que interpolation lin??aire utilise une fonction lin??aire pour chacun des intervalles [x _{k, k} x _{+ 1].} Interpolation Spline utilise des polyn??mes de bas degr?? dans chacun des intervalles, et choisit les morceaux de polyn??mes de telle sorte qu'ils se adaptent sans probl??me ensemble. La fonction r??sulte est appel?? spline.

Par exemple, le spline cubique naturelle est morceaux cube et deux fois contin??ment diff??rentiable. En outre, sa d??riv??e seconde est ??gale ?? z??ro au niveau des points d'extr??mit??. Le spline cubique naturelle interpoler les points dans le tableau ci-dessus est donn??e par

$f (x) = \ \ \ {gauche begin {matrix} -0,1522 x ^ 3 + 0,9937 x, & \ mbox {if} x \ in [0,1], \\ -0,01258 x ^ 3 ?? 0,4189 x ^ 2 + 1,4126 x - 0,1396, et \ mbox {if} x \ in [1,2], \\ 0,1403 x ^ 3 ?? 1,3359 x ^ 2 + 3,2467 x - 1,3623, et \ mbox {if} x \ in [2, 3], \\ 0,1579 x ^ 3 ?? 1,4945 x ^ 2 + 3,7225 x - 1,8381, et \ mbox {if} x \ in [3,4], \\ 0,05375 x ^ 3 -0,2450 x ^ 2 ?? 1,2756 x + 4,8259, et \ mbox {if} x \ in [4,5], \\ -0,1871 x ^ 3 + 3,3673 x ^ 2 ?? 19,3370 34,9282 x +, & \ mbox {if} x \ in [5,6]. \\ \ End {matrix} \ right.$

Dans ce cas, nous obtenons f (2,5) = 0,597262.

Comme l'interpolation polynomiale, interpolation spline encourt une erreur inf??rieure ?? interpolation lin??aire et l'interpolant est plus lisse. Cependant, l'interpolant est plus facile ?? ??valuer que les polyn??mes-degr?? ??lev?? utilis??s dans l'interpolation polynomiale. Elle ne souffre pas de Ph??nom??ne de Runge.

D'autres formes d'interpolation

D'autres formes d'interpolation peuvent ??tre construites en choisissant une classe diff??rente de interpolants. Par exemple, interpolation rationnelle est l'interpolation par fonctions rationnelles, et interpolation trigonom??trique est par interpolation polyn??mes trigonom??triques. La transform??e de Fourier discr??te est un cas particulier d'interpolation trigonom??trique. Une autre possibilit?? consiste ?? utiliser ondelettes.

Le Formule d'interpolation de Whittaker-Shannon peut ??tre utilis?? si le nombre de points de donn??es est infini.

Interpolation ?? plusieurs variables est l'interpolation des fonctions de plusieurs variables. Les m??thodes comprennent interpolation bilin??aire et interpolation bicubique en deux dimensions, et interpolation trilin??aire en trois dimensions.

Parfois, nous savons non seulement la valeur de la fonction que nous voulons pour interpoler, ?? certains moments, mais aussi son d??riv??. Cela conduit ?? Probl??mes d'interpolation d'Hermite.

Concepts associ??s

Le terme extrapolation est utilis?? si nous voulons trouver des points de donn??es en dehors de la gamme de points de donn??es connus.

En courbe des probl??mes de montage, la contrainte que l'interpolant doit aller exactement par les points de donn??es est d??tendue. Il est seulement n??cessaire de se approcher des points de donn??es le plus ??troitement possible. Cela n??cessite le param??trage des interpolants potentiels et ayant un moyen de mesurer l'erreur. Dans le cas le plus simple ce qui conduit ?? moins carr??s rapprochement.

??tudes de th??orie de l'approximation comment trouver la meilleure approximation d'une fonction donn??e par une autre fonction de certains classe pr??d??termin??e, et comment cette approximation est bonne. Cela donne clairement un bond sur la fa??on dont l'interpolant peut se rapprocher de la fonction inconnue.

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