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Int??grale

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Le mot ??int??grale?? (adjectif) peut aussi signifier: "??tant un entier ".
Int??grale d??finie d'une fonction repr??sente la zone sign??e de la r??gion d??limit??e par son graphe

L'int??gration est un concept de base du avanc??es math??matiques , en particulier dans les domaines de calcul et l'analyse math??matique . Etant donn?? une fonction f (x) d'un v??ritable et une variable x intervalle [a, b] de la ligne r??elle, l'int??grale

\ Int_a ^ b f (x) \, dx

est ??gale ?? la superficie d'une r??gion dans la Plane xy d??limit??e par la graphe de f, l'axe des x, et la verticale lignes x = a et x = b, avec des zones ci-dessous l'axe des x ??tant soustraite.

Le terme ??partie int??grante?? peut ??galement se r??f??rer ?? la notion de primitive, une fonction F dont la d??riv??e est la fonction donn??e f. Dans ce cas, il est appel?? une int??grale ind??finie, tandis que les int??grales abord??es dans cet article sont appel??s int??grales d??finies. Certains auteurs soutiennent une distinction entre primitives et int??grales ind??finies.

Les principes d'int??gration ont ??t?? formul??es par Isaac Newton et Gottfried Leibniz ?? la fin du XVIIe si??cle. Par le biais du th??or??me fondamental du calcul , qui ils ont d??velopp?? ind??pendamment, l'int??gration est li??e ?? la diff??renciation, et l'int??grale d??finie d'une fonction peuvent ??tre facilement calcul??s fois une primitive est connue. Int??grales et d??riv??s sont devenus les outils de base de calcul , avec de nombreuses applications de la science et de l'ing??nierie.

Une d??finition math??matique rigoureuse de l'int??grale a ??t?? donn??e par Bernhard Riemann . Il est bas?? sur une limitation de proc??dure qui se rapproche de la surface d'une r??gion curviligne par rupture de la r??gion en brames minces verticaux. D??s le XIXe si??cle, les notions plus sophistiqu??es de int??grante ont commenc?? ?? appara??tre, o?? le type de la fonction ainsi que le domaine sur lequel l'int??gration est effectu??e a ??t?? g??n??ralis??e. Un int??grale curviligne est d??finie pour les fonctions de deux ou trois variables, et l'intervalle d'int??gration [a, b] est remplac?? par une certaine courbe reliant deux points sur le plan ou dans l'espace. Dans un int??grale de surface, la courbe est remplac?? par un morceau de surface dans l'espace ?? trois dimensions. Int??grales de formes diff??rentielles jouent un r??le fondamental dans moderne g??om??trie diff??rentielle . Ces g??n??ralisations int??grante premier d??coulaient des besoins de la physique , et ils jouent un r??le important dans la formulation de nombreuses lois physiques, notamment ceux de ??lectrodynamique. Les concepts modernes de l'int??gration sont bas??s sur la th??orie math??matique abstrait connu comme l'int??gration de Lebesgue , d??velopp?? par Henri Lebesgue.

Histoire

L'int??gration pr??-calcul

L'int??gration peut ??tre retrac??e aussi loin que l'Egypte ancienne, vers 1800 avant JC, avec le Papyrus de Moscou d??montrant des connaissances d'une formule pour le volume d'une pyramide tronc. La technique syst??matique premi??re document??e capable d'int??grales d??terminant est le m??thode de l'??puisement des Eudoxe (vers 370 avant JC), qui visait ?? trouver des aires et des volumes en les d??composant en un nombre infini de formes pour lesquelles la zone ou le volume ??tait connu. Cette m??thode a ??t?? d??velopp??e et utilis??e par Archim??de et utilis??e pour calculer les zones de paraboles et une approximation de la surface d'un cercle. Des m??thodes similaires ont ??t?? d??velopp??s ind??pendamment en Chine vers le 3e si??cle par Liu Hui, qui l'a utilis?? pour trouver la zone du cercle. Cette m??thode a ??t?? utilis?? plus tard par Zu Chongzhi pour trouver le volume d'une sph??re. Quelques id??es de calcul int??gral se trouvent dans le Siddhanta Shiromani, un texte de 12 l'astronomie si??cle par le math??maticien indien Bhāskara II.

Des avanc??es significatives sur des techniques telles que la m??thode de l'??puisement ne commencent ?? appara??tre jusqu'?? ce que le 16??me si??cle AD. A ce moment le travail de Cavalieri avec sa m??thode des indivisibles, et le travail par Fermat , a commenc?? ?? jeter les bases du calcul moderne. D'autres mesures ont ??t?? faites au d??but du 17e si??cle par Barrow et Torricelli, qui a fourni les premiers indices d'un lien entre l'int??gration et diff??renciation.

Newton et Leibniz

L'avanc??e majeure dans l'int??gration est venu dans le 17??me si??cle avec la d??couverte ind??pendante du th??or??me fondamental du calcul par Newton et Leibniz . Le th??or??me d??montre un lien entre l'int??gration et la diff??renciation. Cette connexion, combin??e avec la facilit?? comparative de diff??renciation, peut ??tre exploit??e pour calculer des int??grales. En particulier, le th??or??me fondamental du calcul permet de r??soudre une classe beaucoup plus large de probl??mes. ??gaux en importance est le cadre math??matique compl??te que les deux Newton et Leibniz d??velopp??s. ??tant donn?? le nom calcul infinit??simal, il a permis pour une analyse pr??cise des fonctions au sein des domaines continus. Ce cadre est finalement devenu moderne Calculus , dont la notation pour les int??grales est tir?? directement du travail de Leibniz.

Formaliser int??grales

Alors que Newton et Leibniz ont fourni une approche syst??matique ?? l'int??gration, leur travail ne avait pas un degr?? de rigueur. L'??v??que Berkeley m??morable attaqu?? infinit??simales que "les fant??mes de quantit?? Departed". Calcul acquis une base plus solide avec le d??veloppement de limites et a re??u une fondation appropri??e par Cauchy dans la premi??re moiti?? du 19??me si??cle. Int??gration a ??t?? rigoureusement formalis??, en utilisant des limites, par Riemann . Bien que tous les morceaux born?? fonctions continues sont Riemann int??grable sur un intervalle born??, par la suite des fonctions plus g??n??rales ont ??t?? consid??r??s, ?? laquelle la d??finition de Riemann ne se applique pas, et Lebesgue formul?? une d??finition diff??rente de l'int??grale, fond??e en th??orie de la mesure. D'autres d??finitions de int??grante, se ??tendant des approches de Riemann et Lebesgue'S, ont ??t?? propos??es.

Notation

Isaac Newton a utilis?? une petite barre verticale dessus d'une variable pour indiquer l'int??gration, ou plac?? la variable dans une bo??te. La barre verticale a ??t?? facilement confondu avec \ Dot {x} ou x '\, \! , Que Newton utilis?? pour indiquer la diff??renciation, et la notation de la bo??te ??tait difficile pour les imprimantes de reproduire, de sorte que ces notations ne ont pas ??t?? largement adopt??.

La notation moderne pour l'int??grale ind??finie a ??t?? introduit par Gottfried Leibniz en 1675 (Burton, 1988, p 359;. Leibniz 1899, p 154.). Il a adapt?? le symbole int??grante, "∫", ?? partir d'un lettre S allong??, debout pour summa (latin pour ??somme?? ou ??total??). La notation moderne de l'int??grale d??finie, avec des limites ci-dessus et ci-dessous le signe int??grante, a ??t?? d'abord utilis?? par Joseph Fourier de M??moires de l'Acad??mie fran??aise autour de 1819 ?? 1820, reproduit dans son livre de 1822 (Cajori 1929, pp 249-250;. Fourier 1822, ??231). En Notation math??matique arabe qui se ??crit de droite ?? gauche, un symbole int??grante invers?? 22px est utilis?? (W3C 2006).

Terminologie et notation

Si une fonction a une int??grale, il est dit ??tre int??grable. La fonction pour laquelle l'int??grale est calcul??e est appel??e l'int??grale. La r??gion sur laquelle une fonction est int??gr??e est appel??e le domaine de l'int??gration. Si l'int??grale n'a pas un domaine de l'int??gration, il est consid??r?? ind??termin??e (une avec un domaine est consid??r??e comme d??finitive). En g??n??ral, l'int??grale peut ??tre une fonction de plusieurs variables, et le domaine d'int??gration peut ??tre une zone, volume, une r??gion de plus grande dimension, ou encore un espace abstrait qui ne poss??de pas une structure g??om??trique au sens habituel.

Le cas le plus simple, l'int??grale d'une fonction r??elle f d'une variable r??elle x sur l'intervalle [a, b], est d??sign?? par

\ Int_a ^ b f (x) \, dx.

Le signe de ∫, un "S" allong??, repr??sente l'int??gration; a et b sont la limite inf??rieure et la limite sup??rieure de l'int??gration, de d??finir le domaine de l'int??gration; f est la fonction ?? int??grer, d'??tre ??valu?? comme x varie sur l'intervalle [a, b ]; dx et peut avoir des interpr??tations diff??rentes en fonction de la th??orie utilis??es. Par exemple, il peut ??tre consid??r?? comme une simple notation indiquant que x est la ??variable fictive?? de l'int??gration, comme un reflet des poids dans la somme de Riemann, une mesure (dans l'int??gration de Lebesgue et ses extensions), un infinit??simal (en non -standard analyse) ou comme une quantit?? math??matique ind??pendante: un forme diff??rentielle. Plus les cas compliqu??s peuvent varier l??g??rement la notation.

Introduction

Int??grales apparaissent dans de nombreuses situations pratiques. Envisager une piscine. Si elle est rectangulaire, puis de sa longueur, la largeur, la profondeur et on peut facilement d??terminer le volume d'eau qu'il peut contenir (?? remplir), la zone de sa surface (pour le couvrir), et la longueur de son bord (?? ce c??ble). Mais se il est de forme ovale avec un fond arrondi, toutes ces quantit??s se nomment pour les int??grales. Approximations pratiques peuvent suffire au d??but, mais finalement nous exiger des r??ponses exactes et rigoureuses ?? ces probl??mes.

Approximations int??grante de √ x 0-1, avec 5 ??chantillons droite (ci-dessus) et 12 ??chantillons gauche (ci-dessous)

Pour commencer, pensez ?? la courbe y = f (x) entre x = 0 et x = 1, f (x) = √ x. Nous demandons:

Quel est l'aire sous la fonction f, dans l'intervalle de 0 ?? 1?

et d'appeler ce domaine (encore inconnue) l'int??grale de f. La notation pour cette int??grale sera

\ Int_0 ^ 1 \ sqrt x \, dx \, \ !.

En premi??re approximation, regardez l'unit?? carr?? donn?? par les c??t??s x = 0 ?? x = 1 et y = f (0) = 0 et y = f (1) = 1. Sa superficie est exactement 1. Comme il est, la vraie valeur de l'int??grale doit ??tre un peu moins. La diminution de la largeur des rectangles d'approximation donne un meilleur r??sultat; donc traverser l'intervalle en cinq ??tapes, en utilisant les points d'approximation 0, 1/5, 2/5, et ainsi de suite ?? 1. Monter une bo??te pour chaque ??tape en utilisant la hauteur de l'extr??mit?? droite de chaque pi??ce de la courbe, donc √ 1/5,2/5, et ainsi de suite pour √1 = 1. La somme des aires de ces rectangles, nous obtenons une meilleure approximation de l'int??grale recherch??s, ?? savoir

\ Textstyle \ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} - 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2 } {5} - \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} - \ frac {4} { 5} \ right) \ environ 0,7497 \, \!

Notez que nous prenons une somme d'un nombre fini de valeurs de la fonction de f, multipli?? avec les diff??rences de deux points d'approximation suivantes. Nous pouvons facilement voir que le rapprochement est encore trop grande. Utilisation de plusieurs ??tapes produit une approximation plus proche, mais ne sera jamais exacte: remplacer les cinq sous-intervalles par douze comme repr??sent??, nous aurons une valeur approximative pour le domaine de 0,6203, ce qui est trop petit. L'id??e cl?? est la transition d'ajouter un nombre fini de diff??rences de points de rapprochement multipli?? par leurs valeurs de la fonction respectifs ?? l'aide infiniment amende, ou ??tapes infinit??simales.

En ce qui concerne le calcul r??el des int??grales, le th??or??me fondamental du calcul , en raison de Newton et Leibniz, est le lien fondamental entre les op??rations de diff??renciation et d'int??gration. Appliqu?? ?? la courbe de la racine carr??e, f (x) = x 1/2, il est dit de regarder la fonction connexe F (x) = 2/3 x 3/2, et tout simplement prendre F (1) - F (0) , 0 et 1 sont les limites de la intervalle [0,1]. (Ce est un cas d'une r??gle g??n??rale, que pour f (x) = x q, avec q ≠ -1, la fonction connexe, le soi-disant primitive est F (x) = (x 1 q) / (q + 1).) Ainsi, la valeur exacte de l'aire sous la courbe est calcul??e officiellement comme

\ Int_0 ^ 1 \ sqrt x \ cdot dx = \ int_0 ^ 1 x ^ {1/2} \ cdot dx = \ int_0 ^ 1 d \ gauche ({\ textstyle \ frac 2 3 x} ^ {3/2} \ droite) = {\ textstyle \ frac 2 3}.

La notation

\ Int f (x) \, dx \, \!

con??oit l'int??grale comme une somme pond??r??e, d??sign?? par la "S" allong??, avec des valeurs de fonction, f (x), multipli?? par largeurs de pas infinit??simales, les soi-disant diff??rences, d??sign??s par dx. Le signe de multiplication est g??n??ralement omise.

Historiquement, apr??s l'??chec des premiers efforts pour interpr??ter rigoureusement infinit??simaux, Riemann formellement int??grales d??finie comme une limite des sommes pond??r??es, de sorte que le dx sugg??r?? la limite d'une diff??rence (?? savoir, la largeur de l'intervalle). Lacunes de la d??pendance de Riemann sur les intervalles et la continuit?? motiv?? d??finitions plus r??centes, en particulier l' int??grale de Lebesgue , qui est fond??e sur une capacit?? ?? ??tendre l'id??e de "mesure" de mani??re beaucoup plus souple. Ainsi, la notation

\ Int_A f (x) \, d \ mu \, \!

se r??f??re ?? une somme pond??r??e, dans lequel les valeurs de fonction sont partitionn??s, avec μ la mesure du poids ?? attribuer ?? chaque valeur. Ici A d??signe la r??gion d'int??gration.

G??om??trie diff??rentielle , avec son "tartre sur collecteurs ", donne encore la notation famili??re autre interpr??tation. Maintenant, f (x) dx et devenir forme diff??rentielle, ω = f (x) dx, une nouvelle op??rateur diff??rentiel d, connu sous le nom d??riv??e ext??rieure appara??t, et le th??or??me fondamental devient le plus g??n??ral Th??or??me de Stokes,

\ Int_ {A} \ gras {d} \ omega = \ int _ {\ partie A} \ omega, \, \!

?? partir duquel Le th??or??me de Green, le th??or??me de la divergence et le th??or??me fondamental du calcul suivi.

Plus r??cemment, infinit??simales ont r??apparu avec rigueur, gr??ce ?? des innovations modernes telles que analyse non-standard. Non seulement ces m??thodes revendiquent les intuitions des pionniers, ils conduisent ??galement ?? de nouvelles math??matiques.

Bien qu'il existe des diff??rences entre ces conceptions de int??grale, il ya un chevauchement consid??rable. Ainsi, la zone de la surface de la piscine ovale peut ??tre manipul?? comme une ellipse g??om??trique, en tant que somme des infinit??simales, comme une int??grale de Riemann, comme une int??grale de Lebesgue, ou comme un collecteur avec une forme diff??rentielle. Le r??sultat calcul?? sera le m??me pour tous.

Les d??finitions officielles

Il ya beaucoup de fa??ons de d??finir formellement une int??grale, dont tous ne sont ??quivalents. Les diff??rences existent surtout pour faire face aux diff??rentes situations particuli??res qui peuvent ne pas ??tre int??grable dans d'autres d??finitions, mais aussi parfois pour des raisons p??dagogiques. Les d??finitions les plus couramment utilis??s sont int??grante int??grales de Riemann et int??grales Lebesgue.

Int??grale de Riemann

Integral abord??e comme Riemann somme bas??e sur la partition marqu??e, avec des positions irr??guli??res d'??chantillonnage et largeurs (max en rouge). Valeur r??elle est de 3,76; estimation est 3,648.

L'int??grale de Riemann est d??finie en termes de Sommes de Riemann de fonctions ?? l'??gard de partitions marqu??s d'un intervalle. Laissez [a, b] ??tre un intervalle ferm?? de la ligne r??elle; puis une partition marqu??s de [a, b] est une s??quence finie

a = x_0 \ le t_1 \ le x_1 \ le t_2 \ le x_2 \ le \ cdots \ le x_ {n-1} \ le t_n \ le x_n = b. \, \!
Sommes de Riemann convergentes que les intervalles de r??duire de moiti??, si ??chantillonn?? ?? droite ■, minimale, maximale ou gauche.

Ce partitionne l'intervalle [a, b] i en sous-intervalles [x i -1, x i], dont chacun est "marqu??" avec un point distingu?? t i[x i -1, x i]. Soit Δ i = x i - x i -1 ??tre la largeur de sous-intervalle i; puis les mailles d'un tel partage ??tiquet?? est la largeur du plus grand sous-intervalle form?? par la cloison, max i = 1 ... n Δ i. Une somme de Riemann d'une fonction f par rapport ?? une telle partition marqu??e est d??finie comme

\ Sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_i) \ Delta_i;

Ainsi, chaque terme de la somme est l'aire d'un rectangle ayant une hauteur ??gale ?? la valeur de la fonction au niveau du point de la sous-intervalle donn?? distingu??, et une largeur identique ?? la largeur de sous-intervalle. L'int??grale de Riemann d'une fonction f sur l'intervalle [a, b] est ??gal ?? S si:

Pour tous ε> 0, il existe δ> 0 tel que, pour ne importe quelle partition marqu??s [a, b] avec un maillage inf??rieur ?? δ, nous avons
\ Left | S - \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_i) \ Delta_i \ right | <\ epsilon.

Lorsque les balises choisies donnent le maximum (respectivement minimum) la valeur de chaque intervalle, la somme de Riemann devient sup??rieure (respectivement inf??rieure) Darboux somme, sugg??rant le lien ??troit entre l'int??grale de Riemann et Darboux int??grante.

Int??grale de Lebesgue

L'int??grale de Riemann ne est pas d??fini pour une large gamme de fonctions et de situations d'importance dans les applications (et d'int??r??t pour la th??orie). Par exemple, l'int??grale de Riemann peut facilement int??grer la densit?? de trouver la masse d'une poutre d'acier, mais ne peut pas accueillir une bille d'acier reposant sur elle. Cela motive d'autres d??finitions, en vertu duquel un assortiment plus vaste de fonctions est int??grable (Rudin, 1987). L'int??grale de Lebesgue, en particulier, r??alise une grande flexibilit?? en dirigeant l'attention sur les poids dans la somme pond??r??e.

La d??finition de l'int??grale de Lebesgue commence donc par une mesure, μ. Dans le cas le plus simple, le Mesure de Lebesgue μ (A) d'un intervalle A = [a, b] est sa largeur, b - a, de sorte que l'int??grale de Lebesgue accord avec la (bonne) int??grale de Riemann lorsque deux existent. Dans les cas plus complexes, les jeux ??tant mesur??es peuvent ??tre tr??s fragment??, sans continuit?? et aucune ressemblance avec des intervalles.

Pour exploiter cette flexibilit??, int??grales Lebesgue inverser l'approche de la somme pond??r??e. Comme Folland (1984, p. 56) le dit, ??Pour calculer l'int??grale de Riemann de f, on partitionne le domaine [a, b] en sous-intervalles", tandis que dans l'int??grale de Lebesgue, "une est en vigueur partitionner la gamme de f ??.

Une approche commune d??finit d'abord l'int??grale de la fonction indicatrice d'un mesurables ensemble A par:

\ int 1_A d \ mu = \ mu (A) .

Ceci prolonge par une lin??arit?? de mesurable fonction simple s, qui atteint seulement un nombre fini, n, des valeurs non-n??gatives distinctes:

\ Begin {align} \ int s \, d \ mu & {} = \ int \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} {1_ a_i A_i} \ right) d \ mu \\ & = {} \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \ int 1_ {A_i} \, d \ mu \\ & {} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \, \ mu (a_i) \ end {align}

(O?? l'image de A i sous la simple fonction s est la valeur constante a i). Ainsi si E est un ensemble mesurable on d??finit

\ Int_E de la \, d \ mu = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \, \ mu (A_i \ cap E).

Alors pour tout non-n??gative fonction mesurable f d??finit une

\ Int_E f \, d \ mu = \ sup \ \ left {\ \, d \ mu de int_E \, \ colon 0 \ leq s \ leq f \ text {et \ le texte} {est une fonction simple} \ right \};

ce est l'int??grale de f est r??gl??e pour ??tre la borne sup??rieure de toutes les int??grales de fonctions simples qui sont inf??rieures ou ??gales ?? f. Une fonction f mesurable g??n??ral, est divis?? en ses valeurs positives et n??gatives, en d??finissant

\ Begin {align} f ^ + (x) & {} = \ begin {} cas f (x), et \ text {if} f (x)> 0 \\ 0, & \ text {contraire} \ end { cas} \\ f ^ - (x) & {} = \ begin {} cas -f (x), et \ text {if} f (x) <0 \\ 0, & \ text {contraire} \ end { cas} \ end {align}

Enfin, f est Lebesgue int??grable si

\ Int_E | f | \, d \ mu <\ infty, \, \!

et ensuite l'int??grale est d??finie par

\ Int_E f \, d \ mu = \ f ^ int_E + \, d \ mu - \ f ^ int_E - \, d \ mu. \, \!

Lorsque l'espace de mesure sur laquelle les fonctions sont d??finies est aussi un localement compact espace topologique (comme ce est le cas avec le nombres r??els R), mesure compatible avec la topologie dans un sens appropri?? ( Mesures de Radon, dont la mesure de Lebesgue est un exemple) et solidaire ?? leur ??gard peut ??tre d??fini diff??remment, ?? partir des int??grales de fonctions continues avec support compact. Plus pr??cis??ment, les fonctions support compact forment un espace vectoriel qui porte un naturel topologie, et un (Radon) mesure peuvent ??tre d??finis comme ne importe quelle continue fonctionnelle lin??aire sur cet espace; la valeur d'une mesure ?? une fonction support compact est alors aussi, par d??finition, l'int??grale de la fonction. On proc??de ensuite ?? ??tendre la mesure (l'int??grale) ?? des fonctions plus g??n??rales par la continuit??, et d??finit la mesure d'un ensemble comme l'int??grale de sa fonction d'indicateur. Ce est l'approche adopt??e par Bourbaki (2004) et un certain nombre d'autres auteurs. Pour plus de d??tails voir Mesures de Radon.

Autres int??grales

Bien que les int??grales de Riemann et Lebesgue les d??finitions les plus importants de l'int??grale, un certain nombre d'autres existent, notamment:

  • Le Int??grale de Stieltjes, une extension de l'int??grale de Riemann.
  • Le Lebesgue-Stieltjes int??grante, d??velopp?? par Johann Radon, qui g??n??ralise le Riemann-Stieltjes et Lebesgue int??grales .
  • Le Daniell int??grante, qui subsume l' int??grale de Lebesgue et Lebesgue-Stieltjes int??grante sans la d??pendance mesures.
  • Le Henstock-Kurzweil int??grante, diversement d??finie par Arnaud Denjoy, Oskar Perron, et (le plus ??l??gamment, comme la jauge int??grante) Jaroslav Kurzweil, et d??velopp?? par Ralph Henstock.

Propri??t??s de l'int??gration

Lin??arit??

  • La collection de fonctions int??grables Riemann sur un intervalle ferm?? [a, b] forme un espace vectoriel dans les op??rations d'addition et de multiplication ponctuelle par un scalaire, et l'op??ration d'int??gration
f \ mapsto \ int_a ^ b f \; dx
est un lin??aire fonctionnel sur cet espace vectoriel. Ainsi, d'une part, l'ensemble des fonctions int??grables est ferm?? sous prise combinaisons lin??aires; et, d'autre part, l'int??grale d'une combinaison lin??aire est la combinaison lin??aire des int??grales,
\ Int_a ^ b (\ alpha f + \ beta g) (x) \, dx = \ alpha \ int_a ^ bf (x) \, dx + \ beta \ int_a ^ bg (x) \, dx. \,
  • De m??me, l'ensemble des biens ?? valeurs fonctions int??grables Lebesgue sur une donn??e mesure l'espace E avec mesure μ est ferm?? sous prenant combinaisons lin??aires et donc former un espace vectoriel, et l'int??grale de Lebesgue
f \ mapsto \ int_E f d \ mu
est une fonction lin??aire dans cet espace de vecteur, de sorte que
\ Int_E \, d \ mu (\ alpha f + \ beta g) = \ alpha \ int_E f \, d \ mu + \ beta \ int_E g \, d \ mu.
  • Plus g??n??ralement, pensez ?? l'espace vectoriel de tous fonctions mesurables sur un espace de mesure (E μ,), prenant des valeurs dans un localement compact complet espace vectoriel topologique V sur une localement compact champ topologique K, f: EV. Puis on peut d??finir un plan d'int??gration abstraite attribuant ?? chaque fonction f un ??l??ment de V ou le symbole ∞,
f \ mapsto \ int_E f d \ mu, \,
qui est compatible avec les combinaisons lin??aires. Dans ce cas, la lin??arit?? est valable pour le sous-espace de fonctions dont l'int??grale est un ??l??ment de V (ce est ?? dire ??fini??). Les cas particuliers les plus importants se posent lorsque K repr??sente un groupe R, C, ou une extension finie du champ Q de p nombres p-adiques, et V est un espace vectoriel de dimension finie sur K, et quand K = C et V est un complexe Espace de Hilbert.

Lin??arit??, avec quelques propri??t??s de continuit?? naturelles et la normalisation pour une certaine classe de fonctions "simples", peut ??tre utilis?? pour donner une autre d??finition de l'int??grale. Ce est l'approche de Daniell pour le cas de fonctions r??elles sur un ensemble X, g??n??ralis??e par Nicolas Bourbaki ?? des fonctions ?? valeurs dans un espace vectoriel topologique localement compact. Voir (Hildebrandt 1953) pour une caract??risation axiomatique de l'int??grale.

In??galit??s pour des int??grales

Un certain nombre d'in??galit??s g??n??rales pour tenir Riemann-int??grables fonctions d??finies sur un ferm?? et d??limit??e intervalle [a, b] et peut ??tre g??n??ralis??e ?? d'autres notions de Lebesgue int??grante (et Daniell).

  • Limites sup??rieure et inf??rieure. Une fonction f int??grable sur [a, b], est n??cessairement d??limit??e sur cet intervalle. Ainsi il ya des nombres r??els m et M de sorte que mf (x)M pour tout x dans [a, b]. Etant donn?? que les montants inf??rieur et sup??rieur de f sur [a, b] sont donc d??limit??s respectivement par m (b - a) et M (b - a), il se ensuit que
m (b - a) \ leq \ int_a ^ b f (x) \, dx \ leq M (b - a).
  • Les in??galit??s entre les fonctions. Si f (x)g (x) pour chaque x dans [a, b], puis chacune des sommes sup??rieures et inf??rieures de f est major??e par les sommes sup??rieures et inf??rieures, respectivement, de g. Ainsi
\ Int_a ^ b f (x) \, dx \ leq \ int_a ^ b g (x) \, dx.
Il se agit d'une g??n??ralisation des in??galit??s ci-dessus, que M (b - a) est l'int??grale de la fonction constante ayant une valeur M sur [a, b].
  • Sous-intervalles. Si [c, d] est un sous-intervalle de [a, b] et f (x) est non-n??gatif pour tous x, puis
\ Int_c ^ d f (x) \, dx \ leq \ int_a ^ b f (x) \, dx.
  • Produits et valeurs absolues des fonctions. Si f et g sont deux fonctions alors nous pouvons consid??rer leur produits ponctuelles et pouvoirs, et des valeurs absolues :
(Fg) (x) = f (x) g (x), \; f ^ 2 (x) = (f (x)) 2 ^, \; | F | (x) = | f (x) |. \,
Si f est Riemann-int??grable sur [a, b] alors la m??me chose est vraie pour | f |, et
\ Left | \ int_a ^ bf (x) \, dx \ right | \ leq \ int_a ^ b | f (x) | \, dx.
De plus, si f et g sont deux Riemann-int??grable alors f 2, g 2, et fg sont ??galement Riemann-int??grable, et
\ Left (\ int_a ^ b (fg) (x) \, dx \ right) ^ 2 \ leq \ left (\ int_a ^ bf (x) ^ 2 \, dx \ right) \ left (\ int_a ^ bg (x ) ^ 2 \, dx \ right).
Cette in??galit??, connu sous le nom In??galit?? de Cauchy-Schwarz, joue un r??le important dans La th??orie de l'espace de Hilbert, o?? le c??t?? gauche est interpr??t?? comme le produit scalaire de deux fonctions de carr?? int??grable f et g sur l'intervalle [a, b].
  • L'in??galit?? de H??lder. Supposons que p et q sont deux nombres r??els, 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1 / + 1 p / q = 1 et F et G sont deux fonctions Riemann-int??grables. Ensuite, la fonctions | f | p et | g | q sont ??galement int??grable et la suivante L'in??galit?? de H??lder d??tient:
\ Left | \ int f (x) g (x) \, dx \ right | \ leq \ left (\ int \ left | f (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int \ left | g (x) \ right | ^ q \, dx \ right) ^ {1 / q}.
Pour p = q = 2, l'in??galit?? de H??lder devient l'in??galit?? de Cauchy-Schwarz.
  • L'in??galit?? de Minkowski. Supposons que p ≥ 1 est un nombre r??el et f et g sont des fonctions de Riemann-int??grables. Puis | f | p, | g | p et | f + g | p sont ??galement Riemann int??grable et la suivante Minkowski in??galit?? est:
\ Left (\ int \ left | f (x) + g (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} \ leq \ left (\ int \ left | f (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ int \ left | g (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p}.
Un analogue de cette in??galit?? pour int??grale de Lebesgue est utilis?? dans la construction de L espaces p.

Conventions

Dans cette section f est une valeur r??elle de Riemann-int??grable fonction . L'int??grale

\ Int_a ^ b f (x) \, dx

sur un intervalle [a, b] est d??finie si a <b. Cela signifie que les montants sup??rieur et inf??rieur de la fonction f sont ??valu??s sur une partition a = x 0x1. . . ≤ x n = b dont les valeurs x i sont en augmentation. G??om??triquement, cela signifie que l'int??gration a lieu "gauche ?? droite", l'??valuation de f dans les intervalles [x i, x i 1] o?? un intervalle avec un indice plus ??lev?? se trouve ?? droite de l'un avec un indice inf??rieur. Les valeurs a et b, les points terminaux de la intervalle, qu'on appelle la limites de l'int??gration de f. Int??grales peuvent ??galement ??tre d??finis si un> b:

  • Inverser limites de l'int??gration. Si a> b puis d??finissez
\ Int_a ^ b f (x) \, dx = - \ ^ int_b un f (x) \, dx.

Ce, avec a = b, implique:

  • Int??grales sur des intervalles de longueur nulle. Si A est un nombre r??el puis
\ Int_a ^ un f (x) \, dx = 0.

La premi??re convention est n??cessaire de prendre en consid??ration des int??grales sur sous-intervalles de [a, b]; le second dit que une int??grale prise sur un intervalle d??g??n??r??e, ou d'un stade, devrait ??tre de z??ro . Une des raisons de la premi??re convention est que l'int??grabilit?? de f sur un intervalle [a, b] implique que f est int??grable sur ne importe quel sous-intervalle [c, d], mais dans int??grales particuli??res ont la propri??t?? que:

  • Additivit?? de l'int??gration sur les intervalles. Si c est tout ??l??ment, [, b a], puis
\ Bf int_a ^ (x) \, dx = \ int_a ^ cf (x) \, dx + \ int_c ^ bf (x) \, dx.

Avec la premi??re convention de la relation r??sultant

\ Begin {align} \ int_a ^ cf (x) \, dx & {} = \ int_a ^ bf (x) \, dx - \ ^ int_c bf (x) \, dx \\ & {} = \ int_a ^ bf (x) \, dx + \ int_b ^ cf (x) \, dx \ end {align}

est alors bien d??finie pour ne importe quelle permutation cyclique de a, b, et c.

Au lieu de consid??rer ce qui pr??c??de que les conventions, on peut aussi adopter le point de vue que l'int??gration est effectu??e sur vari??t??s orient??es seulement. Si M est une telle vari??t?? M de dimension orient??e, et M 'est le m??me collecteur avec une orientation oppos??e et ω est une m -forme, alors on a (voir ci-dessous pour l'int??gration des formes diff??rentielles):

\ Int_M \ omega = - \ int_ {M '} \ omega \ ,.

Th??or??me fondamental du calcul

Le th??or??me fondamental du calcul est la d??claration que la diff??renciation et l'int??gration sont des op??rations inverses: si un fonction continue est d'abord int??gr??e et diff??renci??e, la fonction d'origine est r??cup??r??. Une cons??quence importante, parfois appel?? le deuxi??me th??or??me fondamental du calcul, permet de calculer des int??grales en utilisant un primitive de la fonction ?? int??grer.

Des ??nonc??s de th??or??mes

  • Th??or??me fondamental du calcul. Soit f une valeur r??elle int??grable fonction d??finie sur un intervalle ferm?? [a, b]. Si F est d??fini par x dans [a, b] par
F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, dt.
alors F est continue sur [a, b]. Si f est continue en x dans [a, b], alors F est diff??rentiable en x, et F '(x) = f (x).
  • Deuxi??me th??or??me fondamental du calcul. Soit f une fonction int??grable ?? valeurs r??elles d??finie sur un intervalle ferm?? [a, b]. Si F est une fonction telle que F '(x) = f (x) pour tout x dans [a, b] (ce est-F est une primitive de f), puis
\ Int_a b ^ f (t) \, dt = F (b) - f (a).
  • Corollaire. Si f est une fonction continue sur [a, b], alors f est int??grable sur [a, b], et F, d??fini par
F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, dt
est un anti-d??riv??e de f sur [a, b]. Par ailleurs,
\ Int_a b ^ f (t) \, dt = F (b) - f (a).

Extensions

Int??grales impropres

Le int??grale impropre
\ Int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {} {dx (x + 1) \ sqrt {x}} = \ pi
a intervalles non born??s ?? la fois pour le domaine et.

Un int??grante "bonne" Riemann assume la fonction ?? int??grer est d??finie et finie sur un intervalle ferm?? et born??, encadr??e par les limites de l'int??gration. Une int??grale impropre se produit lorsque l'un ou plusieurs de ces conditions ne est pas satisfaite. Dans certains cas, ces int??grales peuvent ??tre d??finies en tenant compte de la limite d'une s??quence appropri??e de Riemann int??grales sur des intervalles progressivement plus grands.

Si l'intervalle est de bornes, par exemple ?? son extr??mit?? sup??rieure, puis l'int??grale impropre est la limite en tant que point d'extr??mit?? tend vers l'infini.

\ Int_ {a} ^ {\ infty} f (x) dx = \ {lim_ b \ ?? \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx

Si l'int??grale ne est d??fini ou finie sur un intervalle de demi-ouverte, par exemple (a, b], puis de nouveau une limite peut fournir un r??sultat fini.

\ Int_ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ epsilon \ 0} \ int_ {a + \ epsilon} ^ {b} f (x) dx

Ce est, l'int??grale impropre est la limite d'int??grales appropri??es comme un point final de l'intervalle d'int??gration se rapproche soit une indication nombre r??el ou ∞ ou -∞. Dans les cas plus complexes, des limites sont n??cessaires aux deux extr??mit??s, ou ?? des points int??rieurs.

Consid??rons, par exemple, la fonction \ Frac {1} {(x + 1) \ sqrt {x}} int??gr?? de 0 ?? ∞ (?? droite). ?? la limite inf??rieure, comme x passe ?? 0 la fonction va ?? ∞, et la limite sup??rieure est elle-m??me ∞, si la fonction passe ?? 0. Ainsi, ce est un doublement int??grale impropre. Int??gr??, par exemple, 1-3, une somme de Riemann ordinaire suffit pour produire un r??sultat de \ Frac {\ pi} {6} . Pour int??grer de 1 ?? ∞, une somme de Riemann ne est pas possible. Cependant, toute borne sup??rieure finie, disent t (avec t> 1), donne un r??sultat bien d??fini, \ Frac {\ pi} {2} - 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {t}} . Cela a une limite finie lorsque t tend vers l'infini, ?? savoir \ Frac {\ pi} {2} . De m??me, l'int??grale du tiers-1 permet une somme de Riemann ainsi, par co??ncidence produire ?? nouveau \ Frac {\ pi} {6} . Remplacement tiers par une valeur arbitraire positif s (avec s <1) est tout aussi s??re, donnant - \ Frac {\ pi} {2} + 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {s}} . Cela, aussi, a une limite finie comme s tend vers z??ro, ?? savoir \ Frac {\ pi} {2} . La combinaison de la limite des deux fragments, le r??sultat de cette int??grale est incorrecte

\ Begin {align} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {} {dx (x + 1) \ sqrt {x}} et {} = \ lim_ {s \ 0} \ int_ {s} ^ {1} \ frac {} {dx (x + 1) \ sqrt {x}} + \ {lim_ t \ to \ infty} \ int_ {1} ^ {t} \ frac {} {dx (x + 1) \ sqrt {x}} \\ & {} = \ lim_ {s \ 0} \ left (- \ frac {\ pi} {2} + 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {s}} \ droite) + \ {lim_ t \ to \ infty} \ left (\ frac {\ pi} {2} - 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {t}} \ right) \\ & {} = \ frac {\ pi} {2} + \ frac {\ pi} {2} {} \\ & = \ pi. \ End {align}

Ce processus ne est pas garantie de succ??s; une limite peut ??chouer d'exister, ou peut ??tre sans limite. Par exemple, sur l'intervalle born?? 0-1 l'int??grale de \ Frac {1} {x ^ 2} ne converge pas; et sur l'intervalle bornes 1 ?? ∞ l'int??grale de \ Frac {1} {\ sqrt {x}} ne converge pas.

Il peut ??galement arriver que l'int??grande est pas born?? ?? un point int??rieur, auquel cas l'int??grale doit ??tre divis?? ?? ce point, et les int??grales limites des deux c??t??s doit exister et doit ??tre limit??e. Ainsi

\ Begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} \ frac {dx} {\ sqrt [3] {x ^ 2}} et {} = \ lim_ {s \ 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} \ frac {dx} {\ sqrt [3] {x ^ 2}} + \ lim_ {t \ 0} \ {t} int_ ^ {1} \ frac {dx} {\ sqrt [3 ] {x ^ 2}} \\ & {} = \ lim_ {s \ 0} 3 (1- \ sqrt [3] {s}) + \ lim_ {t \ 0} 3 (1- \ sqrt [ 3] {t}) \\ & {} = 3 + 3 \\ & {} = 6. \ end {align}

Mais l'intégrale similaire

\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} \,\!

ne peut pas être attribué une valeur de cette façon, comme les intégrales au-dessus et au-dessous de zéro faire converger pas de façon autonome. (Toutefois, voir Cauchy valeur principale.)

Intégration multiple

Double intégrante que le volume sous une surface.

Intégrales peuvent être prises sur des régions autres que les intervalles. En général, une intégrale sur un ensemble E d'une fonction f est écrit:

\int_E f(x) \, dx

Voici x ne doit pas être un nombre réel, mais peut être une autre quantité appropriée, par exemple, un vecteur de R 3 . le théorème de Fubini montre que ces intégrales peuvent être réécrites comme une partie intégrante réitéré . En d'autres termes, l'intégrale peut être calculée en intégrant une coordonnée à la fois.

Tout comme l'intégrale définie d'une fonction positive de la variable représente unezonede la région située entre le graphique de la fonction et lexaxe des, ladouble intégraled'une fonction de deux variables positif représente levolume dela région de la surface définie entre par la fonction et le plan qui contient son domaine.(Le même volume peut être obtenu par l'intermédiaire duintégrale triple- l'intégrale d'une fonction à trois variables - de la constante fonctionf(x,y,z) = 1 sur la région mentionnée ci-dessus entre la surface et le plan). Si le nombre de variables est élevé, alors l'intégrale représente unhypervolume, un volume d'un solide de plus de trois dimensions qui ne peuvent pas être représentées graphiquement.

Par exemple, le volume duparallélépipède de côtés 4 x 6 x 5 peut être obtenu de deux façons:

  • Par l'intégrale double
\iint_D 5 \ dx\, dy
de la fonctionf(x,y) = 5 calculée dans la régionDenxy-Plane qui est la base du parallélépipède.
  • Par l'intégrale triple
\iiint_\mathrm{parallelepiped} 1 \, dx\, dy\, dz
de la fonction constante 1 calculé sur le parallélépipède lui-même.

Parce qu'il est impossible de calculer laprimitive d'une fonction de plusieurs variables,indéfinisintégrales multiples existent pas, alors ces intégrales sont tousdéfinitive.

intégrales de ligne

Une ligne sommes solidaires ensemble des éléments le long d'une courbe.

Le concept d'une intégrale peut être étendu à des domaines plus généraux de l'intégration, tels que des lignes et des surfaces courbes. Ces intégrales sont connus comme des intégrales de ligne et intégrales de surface respectivement. Celles-ci ont d'importantes applications en physique, que lorsqu'ils traitent avec des champs de vecteurs.

Une intégrale de ligne (parfois appelée intégrale de chemin ) est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée le long d'une courbe . Diverses différentes intégrales de ligne sont utilisés. Dans le cas d'une courbe fermée, il est aussi appelé une intégrale de contour .

La fonction à être intégrée peut être un champ scalaire ou un champ de vecteurs. , la valeur de l'intégrale de ligne est la somme des valeurs du champ en tout point de la courbe, pondérée par une fonction scalaire sur la courbe (généralement la longueur d'arc ou, pour un vecteur domaine, le produit scalaire du champ de vecteurs avec un vecteur différentiel de la courbe). Cette pondération distingue la ligne intégrante de simples intégrales définies sur des intervalles. Beaucoup de formules simples de la physique ont analogues naturels continus en termes d'intégrales de ligne; par exemple, le fait que le travail est égale à la force multipliée par la distance peut être exprimé (en termes de quantités vectoriels) que:

W=\vec F\cdot\vec d ;

qui va de pair avec l'intégrale de ligne:

W=\int_C \vec F\cdot d\vec s ;

qui résume composantes de vecteur le long d'un chemin continu, et donc trouve le travail effectué sur un objet se déplaçant à travers un champ, comme un champ électrique ou gravitationnelle

intégrales de surface

La définition de l'intégrale de surface repose sur la surface diviser en petits éléments de surface.

Une intégrale de surface est une intégrale définie pris sur une surface (qui peut être une courbe ensemble dans l'espace); il peut être considéré comme l' analogique intégrale double de l' intégrale de ligne. La fonction à être intégrée peut être un champ scalaire ou un champ de vecteurs. La valeur de l'intégrale de surface est la somme du champ en tout point de la surface. Ceci peut être réalisé en divisant la surface en éléments de surface, qui fournissent la séparation de sommes de Riemann.

Pour un exemple d'applications des intégrales de surface, envisager un champ de vecteurs v sur une surface S ; qui est, pour chaque point x dans S , v ( x ) est un vecteur. Imaginons que nous avons un fluide circulant à travers S , de telle sorte que v ( x ) détermine la vitesse du fluide à x . Le flux est défini comme la quantité de fluide circulant à travers S dans le montant de l'unité de temps. Pour trouver le flux, nous devons prendre le produit scalaire de v avec l'unité de surface normale à S à chaque point, ce qui nous donnera un champ scalaire, que nous intégrons sur la surface:

\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} .

Le flux de fluide dans cet exemple peut être d'un fluide telles que l'eau ou de l'air, ou de flux électrique ou magnétique. Ainsi intégrales de surface ont des applications dans la physique , en particulier avec la théorie classique de l'électromagnétisme .

Intégrales de formes différentielles

Un forme différentielle est un concept mathématique dans les domaines de lafonction de plusieurs variables,la topologie différentielle et tenseurs.La notation moderne pour la forme différentielle, ainsi que l'idée des formes différentielles comme étant lesproduits de coin dedérivés extérieurs formant unealgèbre extérieure, a été présenté par ??lie Cartan.

Nous travaillons d'abord dans un ensemble ouvert dans R n . A 0-forme est définie comme une fonction lisse f . Lorsque nous intégrons une fonction f sur une m - dimensions sous-espace S de R n , nous l'écrivons comme

\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.

(Les exposants sont des indices, et non des exposants.) On peut considérer dx 1 travers dx n être objets formels eux-mêmes, plutôt que les étiquettes annexées à faire intégrales ressemblent Riemann r??sume. Alternativement, nous pouvons les considérer comme covecteurs, et donc une mesure de la «densité» (d'où intégrable dans un sens général). Nous appelons le dx 1 , ..., dx n base 1- formes .

Nous définissons leproduit de coin, "???", bilinéaire "multiplication" opérateur sur ces éléments, avec l'alternancedes biens qui

dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!

pour tous les indices a . On notera que l'alternance avec linéarité implique dx b ??? dx une = - dx une ??? dx b . Cela garantit également que le résultat du produit en forme de coin a une orientation.

Nous définissons l'ensemble de tous ces produits d'être de base 2- formes , et de même, nous définissons l'ensemble des produits de la forme dx une ??? dx b ??? dx c être base 3- formes . Un général k -forme est alors une somme pondérée de base k- formes, où les poids sont des fonctions lisses f . Ensemble, ils forment un espace vectoriel de base avec k -Formulaires que les vecteurs de base, et 0-formes (fonctions lisses) que le champ de scalaires. Le produit de coin se prolonge ensuite à k -Formulaires de façon naturelle. Plus de R n dans la plupart n covecteurs peut être linéairement indépendant, donc un k- forme avec k > n sera toujours zéro, par l'établissement alternatif.

En plus du produit de calage, il existe également le dérivé opérateur extérieur d . Cette carte de l'opérateur k -Formulaires à ( k +1) -Formulaires. Pour un k ?? de -forme = f dx une sur R n , on définit l'action de d par:

{\bold d}{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.

avec extension au généralk-Formulaires survenant linéairement.

Cette approche plus générale permet une approche plus naturelle de coordonner-libre de l'intégration sur les collecteurs . Il permet également une généralisation naturelle du théorème fondamental du calcul , appelé Théorème de Stokes, que nous pouvons affirmer que

\int_{\Omega} {\bold d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!

où ?? est un général k -form, et ????? désigne la limite de la région ??. Ainsi, dans le cas où ?? est un 0-forme et ?? est un intervalle fermé de la ligne réelle, ce qui réduit le théorème fondamental du calcul . Dans le cas où ?? est une forme 1 et ?? est une région en 2 dimensions dans le plan, le théorème réduit à le théorème de Green. De même, en utilisant 2-formes, et 3-formes et dualité de Hodge, nous pouvons arriver à Théorème de Stokes et de la th??or??me de la divergence. De cette façon, nous pouvons voir que les formes différentielles fournissent une vue unificateur puissant d'intégration.

Les méthodes et applications

intégrales Informatique

La technique la plus base pour calculer des intégrales d'une variable réelle est basée sur le théorème fondamental du calcul . Il procède comme ceci:

  1. Choisir une fonctionf(x) et un intervalle [a,b].
  2. Trouver une primitive def, autrement dit, une fonctionFtelle queF '=f.
  3. Par le théorème fondamental du calcul, à condition que la fonction à intégrer et intégrale ont passingularités sur la voie de l'intégration,
    \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  4. Par conséquent, la valeur de l'intégrale estF(b) -F(a).

Notez que l'intégrale est pas réellement la primitive, mais le théorème fondamental nous permet d'utiliser des primitives pour évaluer les intégrales définies.

L'étape est souvent difficile de trouver une primitive de f . Il est rarement possible de regard sur une fonction et écrivez sa primitive. Le plus souvent, il est nécessaire d'utiliser l'une des nombreuses techniques qui ont été développées pour évaluer les intégrales. La plupart de ces techniques réécrire une intégrale comme un autre qui est je l'espère plus docile. Les techniques comprennent:

  • Intégration par substitution
  • Intégration par parties
  • Intégration par substitution trigonométrique
  • Intégration par fractions partielles
  • Intégration par les formules de réduction

Même si ces techniques échouent, il peut toujours être possible d'évaluer une intégrale donnée. La prochaine technique la plus courante est le calcul des résidus, tandis que pour les intégrales non élémentaire série de Taylor peut parfois être utilisé pour trouver la primitive. Il ya aussi beaucoup moins courantes façons de calculer des intégrales définies; par exemple, l'identité de Parseval peut être utilisé pour transformer une intégrale sur une zone rectangulaire en une somme infinie. Parfois, une intégrale peut être évaluée par un tour; pour un exemple de cela, voir intégrante gaussienne.

Calculs de volumes desolides de révolution peuvent normalement être faites avecl'intégration de disque oul'intégration shell.

Les résultats spécifiques qui ont été travaillées par différentes techniques sont recueillies dans laliste des intégrales.

Algorithmes symboliques

Beaucoup de problèmes en mathématiques, la physique et l'ingénierie impliquent l'intégration où une formule explicite pour l'intégrale est souhaitée. Extensif tables d'intégrales ont été compilées et publiées au fil des ans à cet effet. Avec la propagation des ordinateurs , de nombreux professionnels, les éducateurs et les étudiants se sont tournés vers des systèmes de calcul formel qui sont spécifiquement conçus pour effectuer des tâches difficiles ou pénibles, y compris l'intégration. L'intégration symbolique présente un défi particulier dans le développement de ces systèmes.

Une difficulté mathématique majeur dans l'intégration symbolique est que dans de nombreux cas, une formule fermée pour la primitive d'une fonction plutôt regardant innocemment existe tout simplement pas. Par exemple, il est connu que les primitives des fonctions exp ( x 2 ), x X et sin x / x ne peut être exprimé sous la forme fermée impliquant seulement rationnelles et exponentielles fonctions logarithme , trigonométriques et fonctions trigonométriques inverses, et les opérations de multiplication et la composition; en d'autres termes, aucun des trois fonctions données est intégrable dans fonctions ??l??mentaires. la théorie de Galois différentiel fournit des critères généraux qui permettent de déterminer si la primitive d'une fonction élémentaire est élémentaire. Malheureusement, il se trouve que les fonctions avec des expressions fermées de primitives sont l'exception plutôt que la règle. Par conséquent, les systèmes d'algèbre informatisés ont aucun espoir d'être en mesure de trouver une primitive d'une fonction élémentaire construit au hasard. Sur le côté positif, si les «blocs de construction» pour primitives sont fixés à l'avance, il peut être encore possible de décider si la primitive d'une fonction donnée peut être exprimée en utilisant ces blocs et les opérations de multiplication et de la composition, et de trouver le réponse symbolique à chaque fois qu'il existe. Le algorithme Risch, mis en ??uvre dans les Mathematica et ??rable systèmes de calcul formel, ne vient que pour les fonctions et primitives construites à partir de fonctions rationnelles, radicaux, logarithme, et les fonctions exponentielles.

Certains intégrandes spéciales se produisent assez souvent pour justifier une étude spéciale. En particulier, il peut être utile d'avoir, dans l'ensemble des primitives, les fonctions spéciales de la physique (comme les fonctions de Legendre, la fonction hypergéométrique, la fonction Gamma et ainsi de suite). Extension de l'algorithme Risch-normand de sorte qu'il comprend ces fonctions est possible, mais difficile.

La plupart des humains ne sont pas en mesure d'intégrer ces formules générales, donc dans un sens ordinateurs sont plus habiles à intégrer des formules très compliquées. Très formules complexes sont peu susceptibles d'avoir-forme fermée primitives, alors comment beaucoup d'un avantage fait ce présent est une question philosophique qui est ouvert pour le débat.

Quadrature numérique

Les intégrales rencontrés dans un cours de calcul de base sont délibérément choisis pour la simplicité; ceux trouvés dans des applications réelles ne sont pas toujours très arrangeant. Certains intégrales ne peuvent pas être trouvés exactement, certains nécessitent des fonctions spéciales qui sont eux-mêmes un défi à calculer, et d'autres sont si complexes que trouver la réponse exacte est trop lent. Cela motive l'étude et l'application de méthodes numériques pour les intégrales approchant, qui utilisent aujourd'hui l'arithmétique flottante sur électroniques numériques ordinateurs . Beaucoup d'idées se leva beaucoup plus tôt, pour les calculs à la main; mais la vitesse des ordinateurs à usage général comme l' ENIAC a créé un besoin d'améliorations.

Les objectifs d'intégration numérique sont l'exactitude, la fiabilité, l'efficacité et la généralité. Des méthodes sophistiquées peuvent largement surperformer une méthode naïve par les quatre mesures (Dahlquist & Björck venir; Kahaner, Moler & Nash 1989; Stoer & Bulirsch 2002). Considérons, par exemple, l'intégrale

\int_{-2}^{2} \tfrac15 \left( \tfrac{1}{100}(322 + 3 x (98 + x (37 + x))) - 24 \frac{x}{1+x^2} \right) dx ,

qui a la réponse exacte 94 / 25 = 3,76. (Dans la pratique ordinaire, la réponse ne sait pas à l'avance, donc une tâche importante - pas exploré ici -. Est de décider quand une approximation est assez bon) Un «livre de calcul" approche divise la plage de l'intégration dans, disons, 16 morceaux égaux, et calcule les valeurs de fonction.

Valeurs de la fonction espacés
x -2.00-1.50-1.00-0.50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
f(x)2,228002,456632,672002,324750,64400-0,92575-0,94000-0,169630,83600
x -1.75-1.25-0.75-0.25 0,25 0,75 1,25 1,75
f(x)2,330412,585622,629341,64019-0,32444-1,09159-0,603870,31734
Méthodes de quadrature numériques:???Rectangle,???Trapèze,???Romberg,???Gauss

Utilisation de l'extrémité gauche de chaque pièce, la méthode de rectangle résume 16 valeurs et multiplie fonction de la largeur de l'étape, h , ici 0,25, pour obtenir une valeur approximative de 3,94325 pour l'intégrale. La précision est pas impressionnant, mais le calcul utilise formellement morceaux de largeur infinitésimale, donc d'abord cela peut sembler peu préoccupante. En effet, à plusieurs reprises de doubler le nombre d'étapes finit par produire une approximation de 3,76001. Cependant 2 18 pièces sont nécessaires, une grande dépense de calcul pour si peu de précision; et une portée plus grande précision peut forcer étapes si petite que la précision arithmétique devient un obstacle.

Une meilleure approche remplace les sommets horizontales des rectangles avec des sommets inclinés touchant la fonction aux extrémités de chaque pièce. Cette règle de trapèze est presque aussi facile à calculer; il résume l'ensemble des 17 valeurs de la fonction des poids, mais le premier et le dernier par une moitié, et encore multiplie par la largeur de pas. Cela améliore immédiatement le rapprochement à 3,76925, ce qui est nettement plus précis. En outre, seuls 2 10 pièces sont nécessaires pour atteindre 3,76000, sensiblement moins de calculs que la méthode de rectangle pour une précision comparable.

La méthode de Romberg se fonde sur la méthode de trapèze à grand effet. Tout d'abord, les longueurs de pas sont réduites de moitié de manière incrémentielle, ce qui donne des approximations trapézoïdales désignés par T ( h 0 ), T ( h 1 ), et ainsi de suite, où h k1 est la moitié de h k . Pour chaque nouvelle taille de pas, seulement la moitié des nouvelles valeurs de fonction doivent être calculés; les autres portent au-dessus de la taille précédente (comme indiqué dans le tableau ci-dessus). Mais l'idée est vraiment puissant pour interpoler un polynôme à travers les approximations, et d'extrapoler à T (0). Avec cette méthode numériquement exacte réponse ici ne nécessite que quatre pièces (cinq valeurs de fonction)! Le Lagrange de polynôme d'interpolation { h k , T ( h k )} k= 0 ... 2 = {(4.00,6.128), (2.00,4.352), (1.00,3.908)} est 3,76 + 0,148 h 2 , produisant la valeur extrapolée à 3,76 h = 0.

La quadrature de Gauss nécessite souvent nettement moins de travail pour une précision supérieure. Dans cet exemple, il peut calculer les valeurs de fonction à seulement deux x positions, ± 2 / ???3 , puis double chaque valeur et la somme pour obtenir la réponse numériquement exacte. L'explication de ce succès spectaculaire réside dans l'analyse des erreurs, et un peu de chance. Un n- point de la méthode de Gauss est exacte pour les polynômes de degré jusqu'à 2 n -1. La fonction dans cet exemple est un polynôme de degré 3, plus un terme qui annule parce que les critères d'évaluation choisis sont symétriques autour de zéro. (Annulation bénéficie également de la méthode de Romberg.)

Déplacement de la plage a laissé un peu, donc l'intégrale est de -2,25 à 1,75, supprime la symétrie. Néanmoins, la méthode de trapèze est plutôt lent, la méthode d'interpolation polynomiale de Romberg est acceptable, et la méthode de Gauss nécessite le moins de travail - si le nombre de points est connu à l'avance. Ainsi, l'interpolation rationnelle peut utiliser les mêmes évaluations trapézoïdales que la méthode Romberg avec plus d'effet.

comparaison méthode du coût de Quadrature
M??thode Trapèze Romberg Rationnel Gauss
Points 1048577 257 129 36
Rel.Err.-5.3 × 10-13 -6,3 × 10-15 8,8 × 10-15 3,1 × 10-15
Valeur \textstyle \int_{-2.25}^{1.75} f(x)\,dx = 4.1639019006585897075\ldots

Dans la pratique, chaque méthode doit utiliser les évaluations supplémentaires pour assurer une erreur liée à une fonction inconnue; ce qui tend à compenser une partie de l'avantage de la méthode gaussienne pure, et motive l'hybride populaire Gauss-Kronrod. La symétrie peut encore être exploité en divisant cette intégrale en deux gammes, de -2,25 à -1,75 (pas de symétrie) et de -1,75 à 1,75 (symétrie). Plus largement, quadrature adaptative partitionne une gamme en morceaux basés sur les propriétés de la fonction, de sorte que les points de données sont concentrées là où elles sont le plus nécessaires.

Cette brève introduction omet intégrales de dimensions supérieures (par exemple, la superficie et les calculs de volume), où les alternatives telles quel'intégration de Monte Carlo ont une grande importance.

Un texte de calcul est pas de substitut à l'analyse numérique, mais l'inverse est également vrai. Même le meilleur code numérique adaptative nécessite parfois un utilisateur pour aider avec les intégrales les plus exigeants. Par exemple, intégrales impropres peuvent nécessiter un changement de variable ou méthodes qui peuvent éviter des valeurs de la fonction infinies; et les propriétés connues comme la symétrie et la périodicité peuvent constituer un levier essentiel.

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