Hom??omorphisme

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Une d??formation permanente entre un tasse de caf?? et un beigne illustrant qu'ils sont hom??omorphes. Mais il n'a pas besoin d'??tre une d??formation continue pour deux espaces soient hom??omorphes.

Dans la math??matique domaine de la topologie , un hom??omorphisme ou isomorphisme topologique (des grecs mots homoios = similaire et μορφή (morphe) = = forme forme (d??formation latin de morphe)) est une sp??ciale isomorphisme entre espaces topologiques qui respecte propri??t??s topologiques. Deux espaces avec un hom??omorphisme entre eux sont appel??s hom??omorphes. Du point de vue topologique, ils sont les m??mes.

Grosso modo, un espace topologique est un g??om??trique objet, et l'hom??omorphisme est un ??tirement continu et la flexion de l'objet dans une nouvelle forme. Ainsi, un carr?? et un cercle sont hom??omorphes ?? l'autre, mais une sph??re et un beigne ne sont pas. Une blague souvent r??p??t??e est que topologues ne peuvent pas dire la tasse de caf?? dont ils boivent de la beigne qu'ils mangent, depuis un beignet suffisamment pliable pourrait ??tre remodel?? ?? la forme d'une tasse de caf?? en cr??ant une fossette et progressivement agrandissant , tout en r??duisant le trou dans une poign??e.

Intuitivement, une Cartes hom??omorphisme points dans le premier objet qui sont "rapproch??s" ?? des points dans le deuxi??me objet qui sont rapproch??s, et les points dans le premier objet qui ne sont pas rapproch??s des points dans le deuxi??me objet qui ne sont pas rapproch??s. La topologie est l'??tude de ces propri??t??s des objets qui ne changent pas quand hom??omorphismes sont appliqu??es.

D??finition

Une fonction f entre deux espaces topologiques X et Y est appel?? un hom??omorphisme si elle a les propri??t??s suivantes:

f est un bijection ( 1-1 et sur),
f est continu,
la fonction inverse F ^-1 est continue (f est un cartographie ouverte).

Si une telle fonction existe, nous disons X et Y sont hom??omorphes. Un auto-hom??omorphisme est un hom??omorphisme d'un espace topologique et lui-m??me. Les hom??omorphismes forment une relation d'??quivalence sur le classe de tous les espaces topologiques. La r??sultante classes d'??quivalence sont appel??s classes de hom??omorphisme.

Exemples

Un N??ud de tr??fle est hom??omorphe ?? un tore . M??me si cela peut para??tre illogique, en quatre dimensions, ils peuvent facilement ??tre d??form??es en permanence.

L'unit?? 2- disque D ² et la carr?? unit?? dans R ² sont hom??omorphes.

Le ouverte intervalle (-1, 1) est hom??omorphe ?? l' nombres r??els R.

Le l'espace produit S ¹ ?? S ¹ et le deux dimensions tore sont hom??omorphes.

Chaque isomorphisme uniforme et isomorphisme isom??trique est un hom??omorphisme.

Toute 2-sph??re avec un seul point retir?? est hom??omorphe ?? l'ensemble de tous les points de R ² (2 dimensions planes ).

$\ Mathbb {R} ^ {n}$ et $\ Mathbb {R} ^ {m}$ ne sont pas pour hom??omorphe $n \ neq m$

Propri??t??s

Deux espaces hom??omorphes partagent le m??me propri??t??s topologiques. Par exemple, si l'un d'eux est compact , alors que l'autre est ainsi; si l'un d'entre eux est reli??e, alors que l'autre est ainsi; si l'un d'entre eux est Hausdorff, alors l'autre est aussi; leur groupes d'homologie co??ncideront. Notez cependant que cela ne se applique pas aux propri??t??s d??finies par un m??trique; il ya des espaces m??triques hom??omorphes m??me si l'un d'entre eux est compl??ter et l'autre non.

Un hom??omorphisme est ?? la fois un cartographie ouverte et une cartographie ferm??, ce est qu'il maps ouverts pour ouvrir et ensembles ensembles ferm??s ?? ensembles ferm??s.

Chaque auto-hom??omorphisme dans $S ^ 1$ peut ??tre ??tendu ?? une auto-hom??omorphisme de l'ensemble du disque $D ^ 2$ ( Trick Alexander).

La discussion informelle

Le crit??re intuitive d'??tirement, pliage, d??coupage et collage de retour ensemble prend une certaine quantit?? de la pratique d'appliquer correctement - il peut ne pas ??tre ??vident de la description ci-dessus que la d??formation d'une segment de ligne ?? un point est inadmissible, par exemple. Il est donc important de r??aliser que ce est la d??finition formelle donn??e ci-dessus qui compte.

Cette caract??risation d'un hom??omorphisme conduit souvent ?? confusion avec la notion d' homotopie , qui est en fait d??fini comme une d??formation continue, mais d'une fonction ?? une autre, plut??t que d'un espace ?? un autre. Dans le cas d'un hom??omorphisme, envisageant une d??formation continue est un outil mental pour garder la trace de qui pointe sur l'espace X correspondances entre points sur Y - on les suit tout comme X d??forme. Dans le cas d'homotopie, la d??formation continue d'une carte ?? l'autre est de l'essence, et il est ??galement moins restrictive, car aucune des cartes concern??es doivent ??tre one-to-one ou sur. Homotopie ne m??ne ?? une relation sur des espaces: ??quivalence d'homotopie .

Il ya un nom pour le type de d??formation impliqu?? dans la visualisation d'un hom??omorphisme. Il est (sauf lors de la coupe et de recollage sont obligatoires) une isotopie entre le carte d'identit?? sur X et l'hom??omorphisme de X ?? Y.

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