La th??orie des groupes

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En alg??bre abstraite , la th??orie des groupes ??tudie les structures alg??briques connus sous le nom des groupes . A est un groupe Set G (le jeu sous-jacent) ferm?? sous un binaire fonctionnement satisfaisant de trois axiomes:

L'op??ration est associative .
L'op??ration a un ??l??ment d'identit??.
Chaque ??l??ment a une ??l??ment inverse.

(Lire la suite pour des d??finitions plus pr??cises.)

Les groupes sont des blocs de construction plus ??labor??es structures alg??briques tels que bagues, les champs et les espaces vectoriels , et se reproduisent tout au long de math??matiques. La th??orie des groupes a de nombreuses applications dans la physique et la chimie , et est potentiellement applicable dans toute situation caract??ris??e par la sym??trie .

L'ordre d'un groupe est la cardinal de G; groupes peuvent ??tre de fini ou ordre infini. Le classification des groupes simples finis est une r??alisation majeure math??matique du 20e si??cle.

concepts de la th??orie de groupe

Pour les non-math??maticiens

Un groupe est constitu?? d'une collection de objets abstraits ou des symboles, et une r??gle pour les combiner. La r??gle de combinaison indique comment ces objets doivent ??tre manipul??s. Ainsi les groupes sont un moyen de faire des math??matiques avec des symboles ?? la place de chiffres concrets.

Plus pr??cis??ment, on peut parler d'un groupe ?? chaque fois qu'un d??finir, avec un op??ration qui combine toujours deux ??l??ments de cet ensemble, par exemple, un x b, remplit toujours les exigences suivantes:

La combinaison des deux ??l??ments de l'ensemble donne un ??l??ment du m??me ensemble ( fermeture);
Le bracketing est sans importance ( associativit?? ): a ?? (b ?? c) = (a ?? b) x c;
Il ya un ??l??ment qui ne provoque pas qu'il arrive quelque chose ( ??l??ment d'identit??): a ?? 1 = 1 ?? a = a;
Chaque ??l??ment a a une "image miroir" ( ??l??ment inverse) 1 / une qui a la propri??t?? pour obtenir l'??l??ment d'identit?? lorsqu'il est combin?? avec un: a ?? 1 / a = 1 / a ?? a = 1

Cas particulier: Si l'ordre des op??randes ne affecte pas le r??sultat, ce est si une ?? b = b ?? a d??tient ( commutativit?? ), nous parlons d'un groupe ab??lien.

Quelques exemples num??riques simples de groupes ab??liens sont:

Entiers $\ Z$ avec l'op??ration d'addition "+" comme op??ration binaire z??ro et comme ??l??ment d'identit??
Nombres rationnels $\ Bbb Q$ sans nul avec la multiplication ??x?? comme op??ration binaire et le num??ro un en tant qu'??l??ment d'identit??. Z??ro doit ??tre exclue parce qu'elle ne dispose pas d'un ??l??ment inverse. ("1/0" ne est pas d??fini.)

Cette d??finition des groupes est volontairement tr??s g??n??rale. Il permet de traiter que des groupes non seulement des ensembles de nombres avec des op??rations correspondantes, mais aussi d'autres objets abstraits et des symboles qui remplissent les propri??t??s requises, telles que des polygones avec leurs rotations et de r??flexions dans groupes di??dre.

James Newman r??sum?? la th??orie des groupes comme suit:

La th??orie des groupes est une branche des math??matiques dans lequel on fait quelque chose ?? quelque chose, puis compare les r??sultats avec le r??sultat de faire la m??me chose ?? autre chose, ou quelque chose d'autre ?? la m??me chose.

D??finition d'un groupe

Un groupe (G, *) est un Set G ferm??e en vertu d'un * op??ration binaire satisfaisant ?? la suite 3 axiomes:

Associativit?? : Pour tout a, b et c dans G, (a * b) * c = a * (b * c).
??l??ment de l'identit??: Il existe e ∈ G tel que pour tout a dans G, e * a = a * e = a.
??l??ment Inverse: Pour chaque un ?? G, il existe un ??l??ment b de G tel que b = a * b * a = e, o?? e est l'??l??ment d'identit??.

Dans la terminologie de alg??bre universelle, un groupe est un vari??t??, et un $\ Langle G, * \ rangle$ alg??bre de type $\ Langle 2,0 \ rangle$ .

Sous-groupes

Un ensemble H est un sous-groupe d'un groupe G si ce est un sous-ensemble de G et est un groupe en utilisant l'op??ration d??finie sur G. En d'autres termes, H est un sous-groupe de (G, *) si la restriction de * H est une op??ration de groupe sur H.

Un sous-groupe H est un sous-groupe normal de G si pour tout h dans H et G dans G, ^-1 GES est ??galement en H. Une alternative (mais ??quivalent) d??finition est qu'un sous-groupe est normal si sa gauche et ?? droite cosets co??ncident. Les sous-groupes normaux jouent un r??le distingu?? en vertu du fait que la collection de classes ?? un sous-groupe de N normale dans un groupe G h??rite naturellement une structure de groupe, ce qui permet la formation de la groupe quotient, g??n??ralement not??e G / N (parfois aussi appel?? un groupe de facteur).

Op??rations impliquant des groupes

Un homomorphism est une carte entre deux groupes qui pr??serve la structure impos??e par l'op??rateur. Si la carte est bijective, alors ce est un isomorphisme. Un isomorphisme d'un groupe ?? lui-m??me est un automorphisme. L'ensemble des automorphismes d'un groupe est un groupe appel?? le groupe d'automorphismes. Le un noyau de homomorphisme est un sous-groupe du groupe.

Un action de groupe est une carte impliquant un groupe et un ensemble, o?? chaque ??l??ment dans le groupe d??finit une bijection sur un ensemble. actions de groupe sont utilis??s pour prouver la Sylow th??or??mes et de prouver que le centre d'un p-groupe ne est pas triviale.

Types particuliers de groupes

Un groupe est:

Abelian (ou commutative ) si ses d??placements de produits (ce est, pour tout a, b dans G, a * b = b * a). Un groupe non commutatif est un groupe qui ne est pas ab??lien. Le terme "ab??lien" honore le math??maticien Niels Abel.

Cyclique si elle est g??n??r?? par un seul ??l??ment.

Simple si elle n'a pas de sous-groupes normaux non triviaux.

Soluble (soluble ou) si elle a une s??rie normale dont groupes quotients sont tous ab??lien. Le fait que S _5, le groupe sym??trique en cinq ??l??ments, ne est pas r??soluble est utilis?? pour prouver que certains polyn??mes quintiques ne peuvent ??tre r??solus par les radicaux.

Libre se il existe un sous-ensemble de G, H, de telle sorte que tous les ??l??ments de G peuvent ??tre ??crites uniquement comme produits (ou cha??nes) d'??l??ments de H. Chaque groupe est le homomorphe l'image de certains groupe libre.

Certains th??or??mes utiles

Certains r??sultats de base ?? la th??orie des groupes ??l??mentaire :

Le th??or??me de Lagrange: si G est un groupe fini et H est un sous-groupe de G, alors l'ordre (ce est, le nombre d'??l??ments) de H divise l'ordre de G.
De Cayley Th??or??me: chaque groupe G est isomorphe ?? un sous-groupe de la groupe sym??trique sur G.
Sylow th??or??mes: si p ⁿ (et premier p) est la plus grande puissance de p divisant l'ordre d'un groupe fini G, alors il existe un sous-groupe d'ordre p ^n. Ce est peut-??tre le r??sultat de base la plus utile sur les groupes finis.
Le Papillon lemme est un r??sultat technique sur le r??seau de sous-groupes d'un groupe.
Le Th??or??me fondamental sur homomorphismes concerne la structure de deux objets entre lesquels un homomorphisme est donn??e, et le noyau et l'image de l'homomorphisme.
Jordan-H??lder th??or??me: une s??rie deux de composition d'un groupe donn?? sont ??quivalentes.
Krull-Schmidt th??or??me: un groupe G satisfaisant certaines conditions de finitude pour les cha??nes de ses sous-groupes, peut ??tre ??crit de mani??re unique comme un produit direct fini de sous-groupes ind??composables.
De Burnside lemme: le nombre d'orbites d'un action de groupe sur un ensemble est ??gal au nombre moyen de points fixes par chaque ??l??ment du groupe.

Connexion de groupes et de sym??trie

??tant donn?? un objet structur?? d'aucune sorte, une sym??trie est une cartographie de l'objet sur lui-m??me qui pr??serve la structure. Par exemple, les rotations d'une sph??re sont sym??tries de la sph??re. Si l'objet est un ensemble sans structure suppl??mentaire, une sym??trie est un bijection de l'ensemble lui-m??me. Si l'objet est un ensemble de points dans le plan de son Structure m??trique, une sym??trie est une bijection de l'ensemble ?? lui-m??me qui pr??serve les distances entre chaque paire de points (e isom??trie).

Les axiomes d'un groupe de formaliser les aspects essentiels de la sym??trie .

Cl??ture de la loi de groupe - Cette dit que si vous prenez une sym??trie d'un objet, puis appliquez une autre sym??trie, le r??sultat sera toujours une sym??trie.
L'existence d'une identit?? - Ceci indique que le maintien de l'objet fixe est toujours une sym??trie d'un objet.
L'existence des inverses - Ce dit que chaque sym??trie peut ??tre annul??e.
Associativit?? - Depuis sym??tries sont des fonctions sur un espace, et la composition de fonctions sont associative, cet axiome est n??cessaire pour faire un groupe formel se comportent comme des fonctions.

Le th??or??me de Frucht dit que chaque groupe est le groupe de sym??trie de certaines graphique. Ainsi, chaque groupe abstraite est en fait les sym??tries d'un objet explicite.

Applications de la th??orie de groupe

Certaines applications importantes de la th??orie de groupe comprennent:

Les groupes sont souvent utilis??es pour capturer la sym??trie interne d'autres structures. Une sym??trie de la structure interne est g??n??ralement associ??e ?? une invariant; l'ensemble de transformations qui conservent cette propri??t?? invariante, conjointement avec l'op??ration de composition de transformations, forment un groupe appel?? groupe de sym??trie. Voir aussi groupe d'automorphismes.

Galois th??orie , qui est l'origine historique de la notion de groupe, utilise des groupes pour d??crire les sym??tries des racines d'un polyn??me (ou plus pr??cis??ment les automorphismes des alg??bres g??n??r??s par ces racines). Les groupes solubles sont ainsi nomm?? en raison de leur r??le de premier plan dans cette th??orie. La th??orie de Galois a ??t?? initialement utilis??e pour prouver que les polyn??mes de la cinqui??me degr?? et plus ne peuvent pas, en g??n??ral, ??tre r??solus sous forme ferm??e par les radicaux, la fa??on dont les polyn??mes de degr?? inf??rieur peuvent.

Groupes ab??liens, qui ajoutent de la propri??t?? commutative a * b = b * a, ?? la base de plusieurs autres structures dans l'alg??bre abstraite, tels que des bagues, des champs et des modules.

En topologie alg??brique, les groupes sont utilis??s pour d??crire des invariants espaces topologiques. Ils sont appel??s "invariants", car ils sont d??finis de telle mani??re qu'ils ne changent pas si l'espace est soumis ?? une certaine d??formation. Les exemples incluent le groupe fondamental, groupes d'homologie et groupes de cohomologie. Le nom du sous-groupe de torsion d'un groupe infini montre l'h??ritage de la topologie en th??orie des groupes.

Le concept de la groupe de Lie (du nom du math??maticien Sophus Lie) est important dans l'??tude des ??quations diff??rentielles et collecteurs ; ils d??crivent les sym??tries de structures g??om??triques et analytiques continues. Analyse sur ces et d'autres groupes est appel?? analyse harmonique.

Dans la combinatoire , la notion de permutation groupe et la notion d'action de groupe sont souvent utilis??s pour simplifier le comptage d'un ensemble d'objets; voir en particulier Lemme de Burnside.

Une bonne compr??hension de la th??orie des groupes est ??galement important en physique et en chimie et science des mat??riaux. En physique, les groupes sont importants car ils d??crivent les sym??tries laquelle les lois de la physique semblent ob??ir. Les physiciens sont tr??s int??ress??s par les repr??sentations du groupe, en particulier des groupes de Lie, car ces repr??sentations font souvent la voie aux th??ories physiques "possibles". Des exemples de l'utilisation de groupes en physique comprennent: mod??le standard , th??orie de jauge, Groupe de Lorentz, Groupe de Poincar??

Dans la chimie , les groupes sont utilis??s pour classer les structures cristallines, poly??dres r??guliers, et de la sym??tries de mol??cules. Les groupes de points attribu??s peuvent ensuite ??tre utilis??es pour d??terminer les propri??t??s physiques (telles que polarit?? et chiralit??), propri??t??s spectroscopiques (particuli??rement utile pour Spectroscopie Raman et La spectroscopie infrarouge), et de construire des orbitales mol??culaires.

La th??orie des groupes est largement utilis?? dans cryptographie ?? cl?? publique. En Elliptic Curve Cryptography-, tr??s grands groupes d'ordre premier sont construits en d??finissant les courbes elliptiques sur les corps finis.

Histoire

Il ya trois racines historiques de la th??orie des groupes: la th??orie de ??quations alg??briques, la th??orie des nombres et de la g??om??trie . Euler , Gauss , Lagrange , Abel et math??maticien fran??ais Galois ??taient premiers chercheurs dans le domaine de la th??orie des groupes. Galois est honor?? comme la th??orie de premier groupe de liaison et math??maticien th??orie des champs, avec la th??orie qui est maintenant appel?? la th??orie de Galois .

Une source t??t se produit dans le probl??me de la formation d'une $m$ ??quation e degr?? ayant que ses racines m des racines d'un donn??es $n$ ??quation e degr?? ( $m <n$ ). Pour les cas simples le probl??me remonte ?? Hudde (1659). Saunderson (1740) a indiqu?? que la d??termination des facteurs d'une expression quadratique biquadratique conduit n??cessairement ?? une ??quation du sixi??me degr??, et Le S??ur (1748) et Waring (1762-1782) encore ??labor?? l'id??e.

Une base commune pour la th??orie des ??quations sur la base du groupe de permutations a ??t?? trouv?? par le math??maticien Lagrange (1770, 1771), et cela a ??t?? construit la th??orie de substitutions. Il a d??couvert que les racines de toutes les r??solvantes (r??solvantes, r??duites) qu'il examina sont des fonctions rationnelles des racines des ??quations respectives. Pour ??tudier les propri??t??s de ces fonctions, il a invent?? un Calcul des Combinaisons. Le travail contemporain de Vandermonde (1770) pr??figure ??galement la th??orie ?? venir.

Ruffini (1799) a tent?? une preuve de l'impossibilit?? de r??soudre le quintique et ??quations plus ??lev??s. Ruffini distingue ce qu'on appelle aujourd'hui et intransitif transitive, et imprimitive et groupes primitifs, et (1801) utilise le groupe d'une ??quation sous le nom de l'assieme delle permutazioni. Il a ??galement publi?? une lettre de Abbati ?? lui-m??me, dans laquelle l'id??e de groupe est importante.

Galois constat?? que si $r_1, r_2, \ ldots, r_n$ sont les $n$ racines d'une ??quation, il ya toujours un groupe de permutations de la $r$ 'S tel que (1) toutes les fonctions des racines invariables par les substitutions du groupe est rationnellement connu, et (2), ?? l'inverse, chaque fonction rationnelle d??terminable des racines est invariant sous les substitutions du groupe. Galois a ??galement contribu?? ?? la th??orie de ??quations modulaires et ?? celle de fonctions elliptiques. Sa premi??re publication sur la th??orie des groupes a ??t?? faite ?? l'??ge de dix-huit ans (1829), mais ses contributions attir?? peu d'attention jusqu'?? la publication de ses papiers collect??s en 1846 (Liouville, vol. XI).

Arthur Cayley et Augustin Louis Cauchy ont ??t?? parmi les premiers ?? appr??cier l'importance de la th??orie, et ?? celui-ci en particulier sont dus un certain nombre de th??or??mes importants. Le sujet a ??t?? popularis?? par Serret, qui a consacr?? la section IV de son alg??bre ?? la th??orie; par Camille Jordan, dont le Trait?? des substitutions est un classique; et ?? Eugen Netto (1882), dont la th??orie de substitutions et de ses applications ?? l'alg??bre a ??t?? traduit en anglais par Cole (1892). D'autres th??oriciens du groupe du XIXe si??cle ??taient Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker, et Emile Mathieu.

Walther von Dyck a ??t?? le premier (en 1882) pour d??finir un groupe dans le sens abstrait compl??te de cette entr??e.

L'??tude de ce qu'on appelle aujourd'hui Groupes de Lie, et de leur les sous-groupes distincts, que groupes de transformation, ont commenc?? en 1884 avec syst??matiquement Sophus Lie; suivi par le travail des Tuer, ??tude, Schur, Maurer, et Cartan. Le discontinue ( groupe discret) de la th??orie a ??t?? construit par Felix Klein, Lie, Poincar??, et Charles ??mile Picard, dans le cadre en particulier formes modulaires et monodromie.

Le classification des groupes simples finis est un vaste ensemble de travaux ?? partir du milieu du 20??me si??cle, classer tous les fini groupes simples.

Autres contributeurs importants ?? la th??orie de groupe comprennent Emil Artin, Emmy Noether , Sylow, et bien d'autres.

Alfred Tarski prouv?? la th??orie de groupe ??l??mentaire ind??cidable.

Recueil

Une application de la th??orie des groupes est la th??orie des ensembles de musique.

Dans la philosophie , Ernst Cassirer th??orie des groupes li??s ?? la th??orie de la perception de Gestalt psychologie. Il a pris la Constance perceptive de cette psychologie comme analogue ?? la invariants de la th??orie des groupes.

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